Trägheitsmoment, Rotationsenergie und Drehimpuls
Trägheitsmoment, Rotationsenergie und Drehimpuls beschreiben drehende Körper so, wie Masse, kinetische Energie und Impuls die geradlinige Bewegung beschreiben.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Trägheitsmoment \(J\) ist das Rotationsanalogon der Masse. Für eine Punktmasse gilt \(J = m r^2\), für weiter außen liegende Masse wird es größer.
- Bei gleicher Masse gilt um die Längsachse: dünner Vollzylinder < dicker Vollzylinder < Hohlzylinder, mit \(J = \frac{1}{2} m R^2\) bzw. \(J = \frac{1}{2} m (R_1^2 + R_2^2)\).
- Die Rotationsenergie beträgt \(E_{rot} = \frac{1}{2} J \omega^2\). Ein rollendes Rad hat Translations- plus Rotationsenergie und damit mehr Energie als ein gleitendes.
- Der Drehimpuls ist \(L = J\omega\) mit der Einheit kg·m²/s, für eine Punktmasse \(L = m r^2 \omega\).
- Ohne äußeres Drehmoment bleibt \(L\) konstant: Wächst \(J\), sinkt \(\omega\). Bei der Pirouette steigt die Rotationsenergie beim Anlegen der Arme.
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Worum es geht
Drehende Körper beschreibt man mit eigenen Größen: Trägheitsmoment, Rotationsenergie und Drehimpuls. Sie folgen denselben Regeln wie Masse, kinetische Energie und Impuls der geradlinigen Bewegung. In der Pharmazie begegnen sie dir überall, wo etwas rotiert, vom Magnetrührer bis zum Rotor der Zentrifuge.
Rotation analog zur Translation
Jede Größe der geradlinigen Bewegung (Translation) hat ein Gegenstück bei der Drehbewegung (Rotation). An die Stelle des Wegs tritt der Drehwinkel, an die Stelle der Geschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\). Die Kraft wird zum Drehmoment. Wer diese Zuordnung kennt, kann die Formeln dieser Einheit fast selbst aufstellen.
| Translation | Rotation |
|---|---|
| Weg \(s\) | Drehwinkel \(\varphi\) |
| Geschwindigkeit \(v\) | Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) |
| Masse \(m\) | Trägheitsmoment \(J\) |
| Kraft \(F\) | Drehmoment \(M\) |
| Kinetische Energie \(\frac{1}{2}mv^2\) | Rotationsenergie \(\frac{1}{2}J\omega^2\) |
| Impuls \(p = mv\) | Drehimpuls \(L = J\omega\) |
Das Trägheitsmoment \(J\) übernimmt die Rolle der Masse. Es misst, wie stark sich ein Körper einer Änderung seiner Drehung widersetzt. Anders als die Masse hängt es nicht nur davon ab, wie viel Masse da ist, sondern auch davon, wo sie sitzt.
Trägheitsmoment
Am einfachsten ist eine Punktmasse \(m\), die im Abstand \(r\) um eine Achse kreist.
\[J = m\,r^2\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(J\) | Trägheitsmoment | kg·m² |
| \(m\) | Masse des Punkts | kg |
| \(r\) | Abstand zur Drehachse | m |
Der Abstand geht im Quadrat ein. Doppelter Abstand ergibt vierfaches Trägheitsmoment, doppelte Masse nur doppeltes. Bei gleicher Masse hat also der Massenpunkt weiter außen das größere \(J\). Für ausgedehnte Körper addiert man die Beiträge aller Massenteilchen. Daraus folgt die Grundregel: Je weiter die Masse von der Drehachse entfernt verteilt ist, desto größer ist \(J\). Eine Hantel mit den Gewichten an den Enden lässt sich deshalb schwerer andrehen als eine gleich schwere mit den Gewichten in der Mitte.
Voll- und Hohlzylinder
Für Zylinder, die um ihre Längsachse rotieren, gelten zwei Formeln. Der Vollzylinder mit Radius \(R\) hat \(J = \frac{1}{2} m R^2\). Der Hohlzylinder mit Innenradius \(R_1\) und Außenradius \(R_2\) hat \(J = \frac{1}{2} m (R_1^2 + R_2^2)\).
Bei gleicher Masse vergleicht man nur noch die Radiusterme. Der dünne Vollzylinder liefert \(R_1^2\), der dicke \(R_2^2\), der Hohlzylinder \(R_1^2 + R_2^2\). Daraus folgt die Rangfolge dünner Vollzylinder < dicker Vollzylinder < Hohlzylinder. Anschaulich sitzt beim Hohlzylinder die ganze Masse im Mantel, also weit außen.
Rotationsenergie
Ein drehender Körper speichert Bewegungsenergie. Sie entspricht der kinetischen Energie, nur mit \(J\) statt \(m\) und \(\omega\) statt \(v\):
\[E_{rot} = \frac{1}{2} J \omega^2\]
Das Produkt \(J\omega^2\) ist also die doppelte Rotationsenergie. Die Winkelgeschwindigkeit geht quadratisch ein: Doppelte Drehgeschwindigkeit bedeutet vierfache Energie. Für eine Punktmasse setzt man \(J = m r^2\) ein und erhält \(E_{rot} = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2\). Mit der Bahngeschwindigkeit \(v = \omega r\) ist das genau \(\frac{1}{2} m v^2\). Kreist ein Körper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit, bleibt seine kinetische Energie deshalb konstant, obwohl sich die Richtung der Geschwindigkeit ständig ändert.
- Gegeben: Punktmasse \(m = 0{,}2\) kg, Abstand \(r = 0{,}5\) m, \(\omega = 4\) rad/s.
- Trägheitsmoment: \(J = 0{,}2\ \text{kg} \cdot (0{,}5\ \text{m})^2 = 0{,}05\) kg·m².
- Energie: \(E_{rot} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}05\ \text{kg·m}^2 \cdot (4\ \text{s}^{-1})^2 = 0{,}4\) J.
- Kontrolle: \(v = \omega r = 2\) m/s, also \(\frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 2^2 = 0{,}4\) J.
Typische Fehler sind ein vergessenes Quadrat beim Radius und eine Drehzahl in U/min statt \(\omega\) in rad/s. Die Umrechnung lautet \(\omega = 2\pi n\).
Rollende Körper
Ein rollendes Rad bewegt sich vorwärts und dreht sich zugleich. Seine kinetische Gesamtenergie ist die Summe beider Anteile:
\[E_{ges} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} J \omega^2\]
Ein baugleiches Rad, das ohne Drehung gleitet, hat nur den ersten Term. Bei gleicher Geschwindigkeit trägt das rollende Rad daher mehr Energie. Für diesen Vergleich muss man \(J\) nicht kennen, denn der Rotationsterm ist immer positiv.
Drehimpuls
Der Impuls \(p = mv\) hat ebenfalls ein Drehgegenstück. Der Drehimpuls ist das Produkt aus Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit.
\[L = J \cdot \omega\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(L\) | Drehimpuls | kg·m²/s |
| \(J\) | Trägheitsmoment | kg·m² |
| \(\omega\) | Winkelgeschwindigkeit | rad/s = 1/s |
Für eine Punktmasse gilt \(L = m r^2 \omega\). Mit den Zahlen von oben ergibt sich \(L = 0{,}05\ \text{kg·m}^2 \cdot 4\ \text{s}^{-1} = 0{,}2\) kg·m²/s. Rückt dieselbe Masse bei gleichem \(\omega\) doppelt so weit nach außen, vervierfacht sich \(L\).
Achte auf die Einheiten. Der Drehimpuls hat kg·m²/s, die Rotationsenergie kg·m²/s², also Joule. Der Unterschied liegt im einfachen gegenüber dem quadrierten \(\omega\).
Drehimpulserhaltung
Wirkt kein äußeres Drehmoment, bleibt der Drehimpuls eines Systems konstant. Das ist der Drehimpulserhaltungssatz, das Gegenstück zur Impulserhaltung. Ein kräftefreier Körper kann daher beliebig lange mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine Achse durch seinen Schwerpunkt rotieren.
\[L = J_1 \omega_1 = J_2 \omega_2 = \text{const.}\]
Spannend wird es, wenn sich die Massenverteilung ändert. Konstant bleibt nur das Produkt. \(J\) und \(\omega\) einzeln sind keine Erhaltungsgrößen. Wächst das Trägheitsmoment, muss die Winkelgeschwindigkeit im selben Verhältnis sinken. Bei einer rotierenden Stange, auf der zwei Massen nach außen gleiten, bleibt \(L\) deshalb gleich, \(J\) steigt und \(\omega\) fällt.
Pirouette
Die Eiskunstläuferin nutzt genau diesen Effekt. Breitet sie die Arme aus, wächst ihr Trägheitsmoment und sie dreht langsamer. Legt sie die Arme an, sinkt \(J\) und die Drehung wird schneller. Der Drehimpuls bleibt dabei stets gleich, denn das Eis übt praktisch kein Drehmoment aus.
- Arme außen: \(J_1 = 3\) kg·m², \(\omega_1 = 2\) rad/s, also \(L = 6\) kg·m²/s.
- Arme angelegt: \(J_2 = 1\) kg·m², also \(\omega_2 = L/J_2 = 6\) rad/s.
- Energie vorher: \(E_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2^2 = 6\) J.
- Energie nachher: \(E_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 6^2 = 18\) J.
Die Rotationsenergie bleibt also nicht erhalten. Sie steigt im selben Verhältnis, in dem \(J\) sinkt. Die zusätzliche Energie stammt aus der Muskelarbeit beim Heranziehen der Arme.
Quiz
Aussage 1
Legt eine Eiskunstläuferin in der Pirouette die Arme an, bleibt ihre Rotationsenergie erhalten.
Erhalten bleibt der Drehimpuls. Die Rotationsenergie steigt, weil \(\omega\) zunimmt; die Energie stammt aus der Muskelarbeit.
Aussage 2
Der Drehimpuls hat die Einheit kg·m²/s².
Aus \(L = J\omega\) folgt kg·m²/s. Die Einheit kg·m²/s² ist das Joule, die Einheit der Rotationsenergie.
Aussage 3
Verdoppelt man den Abstand einer Punktmasse von der Drehachse, verdoppelt sich ihr Trägheitsmoment.
Wegen \(J = m r^2\) geht der Abstand quadratisch ein. Doppelter Abstand ergibt das vierfache Trägheitsmoment.
Aussage 4
Ein Hohlzylinder mit Innenradius \(R_1\) und Außenradius \(R_2\) hat ein größeres Trägheitsmoment um seine Längsachse als ein gleich schwerer Vollzylinder mit Radius \(R_2\).
\(\frac{1}{2} m (R_1^2 + R_2^2)\) ist größer als \(\frac{1}{2} m R_2^2\), weil beim Hohlzylinder die Masse weiter außen sitzt.
Aussage 5
Ein rollendes Rad besitzt bei gleicher Geschwindigkeit eine größere kinetische Gesamtenergie als ein baugleiches Rad, das ohne Drehung gleitet.
Zur Translationsenergie kommt beim rollenden Rad die stets positive Rotationsenergie \(\frac{1}{2} J \omega^2\) hinzu.
Aussage 6
Gleiten auf einer rotierenden Stange ohne äußeres Drehmoment zwei Massen nach außen, bleibt der Drehimpuls gleich und die Winkelgeschwindigkeit nimmt ab.
Das Trägheitsmoment wächst, und da \(L = J\omega\) konstant bleibt, muss \(\omega\) sinken.
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