Reibung und Kräfte an der schiefen Ebene
Wie man die Gewichtskraft auf einer geneigten Ebene zerlegt, wie groß Haft- und Gleitreibung sind und wann ein Körper liegen bleibt.
Das Wichtigste in Kürze
- An der schiefen Ebene zerlegt man die Gewichtskraft in die Hangabtriebskraft \(m g \sin\alpha\) parallel und die Normalkraft \(m g \cos\alpha\) senkrecht zur Ebene.
- Bei 45° sind Hangabtrieb und Normalkomponente gleich groß, reibungsfrei braucht man die Zugkraft \(F = m g \sin\alpha\).
- Gleitreibung und maximale Haftreibung gelten \(F_\mathrm{R} = \mu \cdot F_\mathrm{N}\) mit der dimensionslosen Reibungszahl \(\mu\).
- Eine senkrecht nach oben wirkende Zugkomponente verringert Normalkraft und Gleitreibung.
- Ein Körper haftet, wenn \(\mu_\mathrm{H} \geq \tan\alpha\), unabhängig von seiner Masse.
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Worum es geht
Auf einer geneigten Fläche zieht nur ein Teil der Gewichtskraft einen Körper bergab. Der andere Teil drückt ihn auf die Unterlage und bestimmt so die Reibung. Beides zusammen entscheidet, ob eine Tablette auf einem schrägen Förderband haftet oder rutscht.
Hangabtrieb und Normalkraft
Die Gewichtskraft \(F_\mathrm{G} = m g\) wirkt senkrecht nach unten. Man zerlegt sie in zwei Komponenten. Parallel zur Ebene wirkt die Hangabtriebskraft \(F_\mathrm{H}\). Senkrecht dazu presst die Normalkomponente den Körper an, und die Unterlage drückt mit der gleich großen Normalkraft \(F_\mathrm{N}\) zurück.
\[F_\mathrm{H} = m g \sin\alpha \qquad F_\mathrm{N} = m g \cos\alpha\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(F_\mathrm{H}\) | Hangabtriebskraft | N |
| \(F_\mathrm{N}\) | Normalkraft | N |
| \(m\) | Masse | kg |
| \(g\) | Fallbeschleunigung, 9,81 m/s² | m/s² |
| \(\alpha\) | Neigungswinkel | ° |
Der Neigungswinkel taucht zwischen Gewichtskraft und Normalenrichtung wieder auf. Im Kräfteparallelogramm liegt er deshalb an der Normalkomponente an, sie bekommt den Kosinus.
Die Grenzfälle prüfen jede Rechnung. Bei \(\alpha = 0°\) ist \(F_\mathrm{H} = 0\) und \(F_\mathrm{N} = m g\). Bei \(90°\) ist es umgekehrt. Je steiler die Ebene, desto größer der Hangabtrieb. Bei 45° gilt \(\sin\alpha = \cos\alpha\), beide Komponenten sind gleich groß. Wer sin und cos vertauscht, merkt es sofort am Fall \(\alpha = 0°\).
Um einen Körper reibungsfrei gleichmäßig hinaufzuziehen, braucht man parallel zur Ebene genau \(F = m g \sin\alpha\).
- Gewicht: \(m = 20\ \mathrm{kg}\), \(g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}\), also \(F_\mathrm{G} = 200\ \mathrm{N}\).
- Zugkraft: Bei \(\alpha = 30°\) ist \(F = 200\ \mathrm{N} \cdot 0{,}5 = 100\ \mathrm{N}\).
- Normalkraft: \(F_\mathrm{N} = 200\ \mathrm{N} \cdot 0{,}87 \approx 173\ \mathrm{N}\).
Haft- und Gleitreibung
Die Haftreibung hält einen ruhenden Körper fest. Sie wächst mit der angreifenden Kraft mit, aber nur bis zu einem Höchstwert. Die Gleitreibung bremst einen rutschenden Körper. Beide sind proportional zur Normalkraft:
\[F_\mathrm{R} = \mu \cdot F_\mathrm{N}\]
Die Reibungszahl \(\mu\) ist dimensionslos und hängt von der Materialpaarung ab. Mit \(\mu_\mathrm{H}\) erhält man die maximale Haftreibungskraft, mit \(\mu_\mathrm{G}\) die Gleitreibungskraft. Die Reibung zeigt stets entgegen der Bewegung oder der drohenden Bewegung.
Zusatzkräfte ändern die Normalkraft. Zieht man schräg nach oben, entlastet die senkrechte Zugkomponente die Unterlage. Normalkraft und Gleitreibung sinken. Drückt man von oben, steigen beide.
Für die Bewegung zählt die Resultierende nach dem Grundgesetz der Dynamik. Ein Block mit 5 kg und \(\mu_\mathrm{G} = 0{,}2\) hat \(F_\mathrm{N} = 50\ \mathrm{N}\) und \(F_\mathrm{R} = 10\ \mathrm{N}\). Bei 30 N Zugkraft bleiben 20 N, also \(a = 4\ \mathrm{m/s^2}\). Mehrere Blöcke ordnet man nach \(F_\mathrm{res}/m\).
Haften auf der schiefen Ebene
Ein Körper bleibt liegen, solange die maximale Haftreibung den Hangabtrieb ausgleicht. Die Haftbedingung folgt in drei Schritten.
- Ansatz: \(\mu_\mathrm{H} F_\mathrm{N} \geq F_\mathrm{H}\).
- Einsetzen: \(\mu_\mathrm{H}\, m g \cos\alpha \geq m g \sin\alpha\).
- Kürzen: \(\mu_\mathrm{H} \geq \tan\alpha\).
Masse und \(g\) fallen heraus. Bei \(\mu_\mathrm{H} = 0{,}5\) haftet jeder Körper bis etwa 26,6°, egal wie schwer.
Rutscht der Körper, gilt: Auf einer steileren Ebene gleicher Höhe erreicht er das untere Ende schneller. Der Hangabtrieb ist größer und der Weg kürzer.
Quiz
Aussage 1
Auf einer schiefen Ebene mit 30° Neigung ist die Hangabtriebskraft größer als die Normalkraft.
Bei 30° ist \(\sin\alpha = 0{,}5\) kleiner als \(\cos\alpha \approx 0{,}87\). Erst oberhalb von 45° überwiegt der Hangabtrieb.
Aussage 2
Ein schwererer Körper haftet auf derselben schiefen Ebene bei größeren Neigungswinkeln als ein leichterer aus gleichem Material.
In der Haftbedingung kürzt sich die Masse heraus. Beide haften, solange \(\mu_\mathrm{H} \geq \tan\alpha\) gilt.
Aussage 3
Zieht man einen Block schräg nach oben statt waagerecht, sinkt bei gleicher Materialpaarung die Gleitreibungskraft.
Die senkrechte Zugkomponente entlastet die Unterlage. Die Normalkraft sinkt und mit ihr \(F_\mathrm{R} = \mu \cdot F_\mathrm{N}\).
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