Newton’sche Axiome
Die drei Newton’schen Axiome erklären, wann sich ein Körper gleichförmig bewegt, wie Kraft, Masse und Beschleunigung zusammenhängen und warum Kräfte immer paarweise auftreten.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Newton’schen Axiome sind Trägheitsprinzip, Grundgesetz der Dynamik und Wechselwirkungsprinzip. Sie verknüpfen Kräfte mit Bewegung.
- Ohne resultierende Kraft verharrt ein Körper in Ruhe oder in gleichförmig geradliniger Bewegung. Kräftegleichgewicht bedeutet also nicht zwingend Ruhe.
- Die träge Masse ist das Maß der Trägheit. Es gilt \(F = m \cdot a\) bzw. \(a = F/m\) mit \(1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s^2}\), bei senkrechten Kräften \(a = \sqrt{F_1^2+F_2^2}/m\).
- Eine konstante Kraft erzeugt eine konstante Beschleunigung. Aus der Ruhe gilt \(v = \frac{F}{m} \cdot t\).
- Eine Kraft längs der Bahn ändert nur den Geschwindigkeitsbetrag. Eine konstante Kraft senkrecht zur Anfangsgeschwindigkeit ergibt eine tangential anschließende Parabel.
- Actio = reactio: Kraft und Gegenkraft sind gleich groß, entgegengesetzt und greifen an verschiedenen Körpern an.
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Worum es geht
Die drei Newton’schen Axiome verbinden Kräfte mit Bewegung. Sie sind das Fundament der Dynamik und tragen alles Weitere, von der schiefen Ebene bis zur Zentrifuge, mit der man im Labor Suspensionen trennt.
Trägheitsprinzip
Das Trägheitsprinzip ist das erste Newton’sche Axiom. Es beschreibt, was ein Körper tut, wenn ihn nichts antreibt und nichts bremst.
Ein Körper, auf den keine Kraft oder keine resultierende Kraft wirkt, verharrt in Ruhe oder in gleichförmig geradliniger Bewegung. Seine Geschwindigkeit bleibt nach Betrag und Richtung konstant.
Ein kräftefreier Körper kann also ruhen. Er kann sich aber genauso gut mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden bewegen. Wird ein bewegter Körper plötzlich kräftefrei, fliegt er mit der zuletzt erreichten Geschwindigkeit geradlinig weiter. Ein Puck auf glattem Eis kommt diesem Idealfall nahe.
In der Praxis zählt nicht, ob überhaupt Kräfte angreifen, sondern ihre Summe. Heben sich alle Kräfte auf, ist die resultierende Kraft null. Man spricht von Kräftegleichgewicht. Das Buch auf dem Tisch ruht, weil Stützkraft und Gewichtskraft gleich groß sind. Das Auto bei konstantem Tempo ist ebenfalls im Gleichgewicht. Seine Antriebskraft gleicht Luftwiderstand und Rollreibung genau aus.
Umgekehrt wirkt auf einen gleichförmig geradlinig bewegten Körper keine resultierende Kraft. Das Prinzip gilt auch für einzelne Richtungen. Heben sich die horizontalen Kräfte auf, wird der Körper horizontal nicht beschleunigt.
Das Trägheitsprinzip wird im Examen gerne gefragt. Resultierende null heißt Ruhe oder gleichförmig geradlinige Bewegung. Nur ein Körper, der bereits ruht, bleibt bei Kräftegleichgewicht sicher in Ruhe.
Träge Masse
Jeder Körper widersetzt sich einer Änderung seines Bewegungszustands. Diese Eigenschaft heißt Trägheit, ihr Maß ist die träge Masse \(m\). Je größer die Masse, desto größer die Trägheit gegenüber einer beschleunigenden Kraft. Einen vollen Einkaufswagen bringt man schwerer in Fahrt als einen leeren. Wie viel Beschleunigung eine Kraft genau bewirkt, sagt das zweite Axiom.
Grundgesetz der Dynamik
Das Grundgesetz der Dynamik ist das zweite Newton’sche Axiom. Es verknüpft Kraft, Masse und Beschleunigung. Eine Kraft beschleunigt einen frei beweglichen Körper, und zwar umso stärker, je kleiner seine Masse ist.
\[\vec{F} = m \cdot \vec{a}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\vec{F}\) | resultierende Kraft auf den Körper | N |
| \(m\) | träge Masse | kg |
| \(\vec{a}\) | Beschleunigung | m/s² |
Die Gleichung ist eine Vektorgleichung. Die Beschleunigung zeigt immer in Richtung der resultierenden Kraft. Nach der Beschleunigung aufgelöst gilt \(a = F/m\). Da die Beschleunigung die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit ist, gilt auch \(F = m \cdot \Delta v/\Delta t\). Masse mal Geschwindigkeit pro Zeit ist also ebenfalls eine Kraft. Daraus folgt die Einheit \(1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s^2}\).
- Doppelte Kraft bei gleicher Masse ergibt doppelte Beschleunigung.
- Doppelte Masse bei gleicher Kraft ergibt halbe Beschleunigung.
- Resultierende null ergibt \(a = 0\). Das ist der Grenzfall des Trägheitsprinzips.
Das Umstellen von \(F = m \cdot a\) nach Kraft oder Beschleunigung wird im Examen gerne gefragt. Rechne dabei konsequent in kg, m/s² und N.
Konstante Kraft, konstante Beschleunigung
Bleibt die Kraft konstant, bleibt auch \(a\) konstant. Der Körper führt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus. Startet er aus der Ruhe, wächst seine Geschwindigkeit linear mit der Zeit \(t\):
\[v = \frac{F}{m} \cdot t\]
Rechenbeispiel mit senkrechten Kräften
Zwei Personen ziehen einen Schlitten von 30 kg reibungsfrei über Eis. Die eine zieht mit 12 N nach Norden, die andere mit 9 N nach Osten. Gesucht sind Beschleunigung und Geschwindigkeit nach 4 s.
- Resultierende: Die Kräfte stehen senkrecht, also gilt der Satz des Pythagoras: \(F = \sqrt{(12\ \mathrm{N})^2 + (9\ \mathrm{N})^2} = \sqrt{225\ \mathrm{N^2}} = 15\ \mathrm{N}\).
- Beschleunigung: \(a = F/m = 15\ \mathrm{N} / 30\ \mathrm{kg} = 0{,}5\ \mathrm{m/s^2}\) in Richtung der Resultierenden.
- Endgeschwindigkeit: \(v = a \cdot t = 0{,}5\ \mathrm{m/s^2} \cdot 4\ \mathrm{s} = 2\ \mathrm{m/s}\).
Umgekehrt geht es ebenso. Ein reibungsfrei angeschobener Wagen von 800 kg beschleunigt mit 0,25 m/s². Auf ihn wirkt die Kraft \(F = 800\ \mathrm{kg} \cdot 0{,}25\ \mathrm{m/s^2} = 200\ \mathrm{N}\).
Typische Fehler sind schnell vermieden. Senkrechte Kräfte addiert man vektoriell: 12 N und 9 N ergeben 15 N, nicht 21 N. Massen in Gramm rechnet man vorher in Kilogramm um. In \(F = m \cdot a\) gehört immer die resultierende Kraft, nicht eine einzelne Teilkraft.
Bahnkurven unter konstanter Kraft
Das Grundgesetz bestimmt auch die Form der Bahn. Entscheidend ist, in welche Richtung die Kraft relativ zur Geschwindigkeit zeigt.
Wirkt eine konstante Kraft in Bewegungsrichtung, bleibt die Bahn eine Gerade. Nur der Betrag der Geschwindigkeit nimmt zu. In gleichen Zeitabständen legt der Körper immer längere Strecken zurück.
Wirkt eine konstante Kraft senkrecht zur Anfangsgeschwindigkeit, krümmt sich die Bahn zur Parabel. Die ursprüngliche Geschwindigkeitskomponente bleibt nach dem Trägheitsprinzip erhalten. Quer dazu wächst die Geschwindigkeit gleichmäßig an. Dasselbe Muster kennst du vom waagerechten Wurf, bei dem die Gewichtskraft die Querkraft liefert. Die Parabel schließt ohne Knick tangential an die bisherige Bahn an.
Allgemein gilt: Die Bahn ändert ihre Richtung nur, wenn eine Kraftkomponente senkrecht zur Geschwindigkeit wirkt. Eine Kraft längs der Bahn macht den Körper nur schneller oder langsamer.
So prüfst du skizzierte Bahnen, etwa die einer Rakete, deren Triebwerk zeitweise eine konstante Kraft liefert:
- Vor der Kraft: Der kräftefreie Körper fliegt geradlinig und gleichförmig.
- Während der Kraft: Eine Querkraft erzeugt einen Parabelbogen, eine Längskraft eine Gerade mit wachsenden Punktabständen.
- Übergänge: Jeder Übergang ist tangential, ohne Knick.
- Nach dem Abschalten: Der Körper fliegt geradlinig in der Richtung weiter, die er am Ende des Bogens hatte. In die alte Richtung kehrt er nicht zurück.
Wechselwirkungsprinzip
Das Wechselwirkungsprinzip ist das dritte Newton’sche Axiom, kurz actio = reactio. Übt ein Körper A auf einen Körper B eine Kraft aus, wirkt B auf A mit einer gleich großen, entgegengesetzt gerichteten Kraft. Kräfte treten also nie einzeln auf, sondern immer paarweise.
- Zusammenstoß: Auf beide Stoßpartner wirken Kräfte gleichen Betrags, auch wenn einer viel schwerer ist.
- Aufprall: Prallt ein Pkw gegen eine Mauer, ist die Kraft auf die Mauer betragsgleich der Bremskraft auf den Pkw.
- Gravitation: Die Erde zieht einen Satelliten an, und der Satellit zieht die Erde mit gleich großer Kraft an.
- Aufhängung: Über eine ruhende Rolle läuft ein Seil, an dessen Enden je die Kraft \(G\) zieht. Die Achse zieht mit \(2G\) an der Aufhängung, die Aufhängung hält mit \(2G\) nach oben dagegen.
Gleiche Kräfte bedeuten keine gleiche Wirkung. Nach \(a = F/m\) wird die Erde durch den Satelliten praktisch nicht beschleunigt, weil ihre Masse riesig ist. Wie solche Kräfte beim Stoß über die Zeit wirken, behandelt die Einheit zu Impuls und Kraftstoß. Mehr zu Rollen findest du bei den Seilkräften.
Actio und reactio greifen an zwei verschiedenen Körpern an und heben sich deshalb nie gegenseitig auf. Kräftegleichgewicht betrifft dagegen Kräfte am selben Körper. Gewichts- und Stützkraft am Buch sind daher kein actio-reactio-Paar.
Quiz
Aussage 1
Bei gleicher Kraft erfährt ein Körper mit doppelter Masse die doppelte Beschleunigung.
Nach \(a = F/m\) halbiert sich die Beschleunigung bei doppelter Masse.
Aussage 2
Eine konstante Kraft senkrecht zur Anfangsgeschwindigkeit zwingt einen Körper auf eine Kreisbahn.
Die Bahn wird eine Parabel, weil die Querkomponente der Geschwindigkeit gleichmäßig zunimmt und die Längskomponente erhalten bleibt.
Aussage 3
Ein kräftefreier Körper behält seine Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung bei.
Genau das besagt das Trägheitsprinzip: Ohne resultierende Kraft ändert sich die Geschwindigkeit nicht.
Aussage 4
Prallt ein Pkw gegen eine Mauer, ist die Kraft auf die Mauer kleiner als die Bremskraft auf den Pkw.
Nach actio = reactio sind beide Kräfte betragsgleich und entgegengesetzt gerichtet.
Aussage 5
Ein Körper, auf den keine resultierende Kraft wirkt, muss sich in Ruhe befinden.
Bei resultierender Kraft null ruht der Körper oder bewegt sich gleichförmig geradlinig weiter.
Aussage 6
Zwei senkrecht zueinander wirkende Kräfte von 6 N und 8 N beschleunigen einen Körper von 2 kg mit 5 m/s².
Die Resultierende ist \(\sqrt{36+64}\ \mathrm{N} = 10\ \mathrm{N}\), also \(a = 10\ \mathrm{N}/2\ \mathrm{kg} = 5\ \mathrm{m/s^2}\).
Aussage 7
Endet eine konstante Querkraft, fliegt der Körper geradlinig in der Richtung weiter, die er am Ende des Parabelbogens hatte.
Ab dann ist der Körper kräftefrei und bewegt sich nach dem Trägheitsprinzip tangential zum Bogenende weiter.
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