Mechanische Leistung und Hubleistung
Leistung beschreibt, wie schnell Arbeit verrichtet oder Energie umgesetzt wird, und lässt sich aus Arbeit und Zeit oder aus Kraft und Geschwindigkeit berechnen, besonders beim Heben von Lasten.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Leistung ist Arbeit oder Energie pro Zeit, \(P = W/t = E/t\), mit der Einheit Watt (1 W = 1 J/s).
- Die Leistung hängt von der Arbeit pro Zeit ab, nicht von der Strecke; auch Wärmemenge pro Zeit ist eine Leistung.
- Bei konstanter Leistung gilt \(W = P \cdot t\); das Produkt aus Energie und Zeit ist dagegen eine Wirkung.
- Bei konstanter Geschwindigkeit gilt \(P = F \cdot v\); Masse und Strecke werden dafür nicht gebraucht.
- Die Hubleistung ist \(P = m g v = m g h/t\) und proportional zur Hubgeschwindigkeit; daraus folgen \(v = P/(m g)\) für den Aufzug und \(v = P/(m g \sin\alpha)\) bergauf.
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Worum es geht
Zwei Kräne können dieselbe Last gleich hoch heben und trotzdem verschieden stark sein: Der stärkere schafft es schneller. Diesen Unterschied erfasst die Leistung. Sie verbindet Arbeit, Energie und Zeit und taucht überall auf, wo Motoren, Heizplatten oder Pumpen arbeiten.
Leistung als Arbeit pro Zeit
Die Leistung sagt, wie viel Arbeit in einer bestimmten Zeit verrichtet wird. Wer eine Kiste in 5 s auf ein Regal hebt, leistet doppelt so viel wie jemand, der dafür 10 s braucht. Die Arbeit selbst ist in beiden Fällen gleich. Wie man sie berechnet, steht bei Arbeit und Hubarbeit.
\[P = \frac{W}{t} = \frac{F \cdot s}{t}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(P\) | (mittlere) Leistung | W = J/s |
| \(W\) | verrichtete Arbeit | J = N·m |
| \(t\) | benötigte Zeit | s |
| \(F\) | Kraft in Wegrichtung | N |
| \(s\) | zurückgelegter Weg | m |
Die Einheit ist das Watt: 1 W = 1 J/s. Mehr zu den Einheiten findest du bei Energie und Leistung. Ändert sich die Leistung während des Vorgangs, liefert die Formel die mittlere Leistung.
Da Arbeit eine Form übertragener Energie ist, gilt allgemein \(P = E/t\). Leistung ist also Energie pro Zeit, gleich welcher Art. Auch eine Heizplatte, die pro Sekunde eine bestimmte Wärmemenge abgibt, hat eine Leistung.
Entscheidend ist allein das Verhältnis von Arbeit zu Zeit. Die zurückgelegte Strecke bestimmt die Leistung nicht direkt. Ein langer Weg in langer Zeit kann dieselbe Leistung ergeben wie ein kurzer Weg in kurzer Zeit. Dass Leistung von der Arbeit pro Zeit und nicht von der Strecke abhängt, wird im Examen gerne gefragt: Achte darauf, ob eine Angabe überhaupt in \(W/t\) eingeht.
Arbeit aus Leistung und Zeit
Stellt man die Definition um, erhält man bei konstanter Leistung die Arbeit oder Energie:
\[W = P \cdot t \qquad E = P \cdot t\]
Daher stammt auch die Energieeinheit Kilowattstunde: 1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3,6 MJ. Multipliziert man dagegen Energie mit Zeit, entsteht keine Leistung. Das Produkt hat die Einheit J·s und damit die Dimension einer Wirkung, wie sie etwa das Planck’sche Wirkungsquantum trägt.
Mit \(t = E/P\) berechnet man, wie lange ein Gerät für eine bestimmte Energiemenge braucht. Ein Wasserkocher mit 2000 W benötigt für 300 kJ also 150 s, wenn alle Energie ins Wasser geht. In einer festen Zeit überträgt er immer dieselbe Wärmemenge, egal wie viel Wasser im Gefäß ist. Die Wassermenge entscheidet nur, wie stark sich die Temperatur ändert.
Auch Endgeschwindigkeiten lassen sich so bestimmen. Fließt die gesamte Leistung in die kinetische Energie, gilt \(P \cdot t = \frac{1}{2} m v^2\), also \(v = \sqrt{2Pt/m}\). Ein Wagen mit 1000 kg, der 10 s lang reibungsfrei mit 20 kW beschleunigt wird, erreicht so \(v = \sqrt{2 \cdot 20\,000 \cdot 10 / 1000}\) m/s = 20 m/s.
Leistung, Kraft und Geschwindigkeit
Bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit, lässt sich die Leistung noch einfacher ausdrücken. In \(P = F \cdot s/t\) steckt der Quotient \(s/t\), und der ist genau die Geschwindigkeit \(v\) der gleichförmigen Bewegung:
\[P = \frac{F \cdot s}{t} = F \cdot v\]
Die mechanische Leistung ist also das Produkt aus Kraft und Geschwindigkeit. Für diese Rechnung braucht man weder die Masse des Körpers noch die zurückgelegte Strecke. Steht eine solche Angabe in der Aufgabe, ist sie überflüssig.
Eine Lokomotive zieht einen Zug mit 150 kN bei konstant 72 km/h. Mit 72 km/h = 20 m/s folgt \(P\) = 150 000 N · 20 m/s = 3 MW. Wie schwer der Zug ist, spielt dafür keine Rolle, denn die Zugkraft gleicht bereits alle Widerstände aus. Dasselbe gilt im Kleinen: Eine Kugel, die gegen eine Reibungskraft von 2 mN gleichförmig mit 5 mm/s durch eine Flüssigkeit sinkt, setzt 2 · 10⁻³ N · 5 · 10⁻³ m/s = 10 µW um. Die Fallstrecke ist dabei gleichgültig.
Bei konstanter Kraft ist die Leistung proportional zur Geschwindigkeit. Im Diagramm ergibt das eine Ursprungsgerade, deren Steigung die Kraft ist.
Fährt ein Fahrzeug eine reibungsfreie Steigung mit doppelter Geschwindigkeit hinauf, bleibt die nötige Kraft gleich. Die Leistung verdoppelt sich deshalb.
Geschwindigkeiten in km/h vor dem Einsetzen durch 3,6 teilen, Massen in kg und Kräfte in N angeben. Nur dann kommt die Leistung direkt in Watt heraus.
Hubleistung
Beim Heben mit konstanter Geschwindigkeit wird die Last nicht beschleunigt. Die Hubkraft muss daher genau die Gewichtskraft \(F_G = m g\) ausgleichen. Setzt man das in \(P = F \cdot v\) ein, erhält man die Hubleistung. Mit \(v = h/t\) folgt die zweite Form:
\[P = F_G \cdot v = m g v = \frac{m g h}{t}\]
Die Hubleistung wächst proportional zur Hubgeschwindigkeit. Wird dieselbe Last in der halben Zeit auf dieselbe Höhe gebracht, bleibt die Hubarbeit gleich, die Leistung verdoppelt sich aber.
Die Hubleistung \(P = m g v = m g h/t\) ist ein Examensklassiker. Rechne mit der Masse in kg und \(g\) = 9,81 m/s², und denk daran: gleiche Arbeit in halber Zeit bedeutet doppelte Leistung.
Ein Kran hebt 500 kg in 20 s um 12 m:
- Hubarbeit: \(W = m g h\) = 500 kg · 9,81 m/s² · 12 m = 58 860 J.
- Leistung: \(P = W/t\) = 58 860 J / 20 s ≈ 2,9 kW.
- Kontrolle: \(v\) = 12 m / 20 s = 0,6 m/s, also \(m g v\) = 500 · 9,81 · 0,6 W ≈ 2,9 kW.
Beim Klettern gilt dasselbe. Wer mit 700 N Gewichtskraft 15 m in 30 s hinaufsteigt, leistet im Mittel \(P = F_G \cdot h/t\) = 350 W.
Oft ist umgekehrt die Geschwindigkeit gesucht. Ein Aufzugsmotor mit gegebener Leistung hebt eine Kabine höchstens mit \(v = P/(m g)\). Bei 6 kW und 800 kg sind das 6000 W / (800 kg · 9,81 m/s²) ≈ 0,76 m/s. Doppelte Masse bedeutet bei gleicher Leistung halbe Geschwindigkeit.
Fährt ein Fahrzeug bergauf, gewinnt es nur mit der senkrechten Komponente \(v \cdot \sin\alpha\) an Höhe. Gleichwertig kann man sagen: Ohne Reibung muss der Motor nur die Hangabtriebskraft \(m g \sin\alpha\) überwinden.
Daraus folgt die maximale Bergauf-Geschwindigkeit:
\[v = \frac{P}{m g \sin\alpha}\]
Ein Auto mit 1200 kg und 30 kW auf einer Steigung mit \(\sin\alpha\) = 0,1 schafft so 30 000 W / (1200 kg · 9,81 m/s² · 0,1) ≈ 25,5 m/s. Mal 3,6 ergibt das rund 92 km/h.
Hubleistung ist Gewichtskraft mal senkrechte Geschwindigkeit. Wer nach \(v\) fragt, teilt die Leistung durch die Kraft, die tatsächlich überwunden werden muss.
Quiz
Aussage 1
Eine Heizplatte mit fester Leistung überträgt in einer Minute dieselbe Wärmemenge, gleich ob 0,5 L oder 2 L Wasser im Topf sind.
Die übertragene Wärmemenge ist \(E = P \cdot t\). Die Wassermenge bestimmt nur die Temperaturänderung.
Aussage 2
Bei gleicher verrichteter Arbeit und gleicher Zeit ist die Leistung umso größer, je länger die zurückgelegte Strecke ist.
Die Leistung hängt nur von Arbeit und Zeit ab. Bei gleicher Arbeit in gleicher Zeit ist sie gleich, unabhängig von der Strecke.
Aussage 3
Hebt ein Kran dieselbe Last in der halben Zeit auf dieselbe Höhe, verdoppelt sich seine Hubleistung.
Die Hubarbeit \(m g h\) bleibt gleich, die Zeit halbiert sich. Nach \(P = m g h/t\) verdoppelt sich die Leistung.
Aussage 4
Um die Leistung einer Lokomotive bei konstanter Geschwindigkeit aus der Zugkraft zu berechnen, braucht man zusätzlich die Masse des Zuges.
Bei konstanter Geschwindigkeit gilt \(P = F \cdot v\). Zugkraft und Geschwindigkeit genügen, die Masse ist überflüssig.
Aussage 5
Die Leistung ist die verrichtete Arbeit pro Zeit und wird in Watt angegeben, wobei 1 W = 1 J/s gilt.
So ist die Leistung definiert: \(P = W/t\), Einheit J/s = W.
Aussage 6
Fährt ein Fahrzeug reibungsfrei mit konstanter Geschwindigkeit eine Steigung hinauf, gilt für die maximale Geschwindigkeit \(v = P/(m g \sin\alpha)\).
Der Motor muss nur die Hangabtriebskraft \(m g \sin\alpha\) überwinden. Aus \(P = F \cdot v\) folgt die angegebene Formel.
Aussage 7
Multipliziert man eine Energie mit einer Zeit, erhält man eine Leistung.
Energie mal Zeit hat die Einheit J·s und die Dimension einer Wirkung. Eine Leistung ist Energie geteilt durch Zeit.
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