Radialbeschleunigung und Winkelbeschleunigung
Wie groß die Beschleunigung auf einer Kreisbahn ist, wohin sie zeigt und wie sich die Winkelbeschleunigung beim Anlaufen und Abbremsen davon unterscheidet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Radialbeschleunigung ist die zum Kreismittelpunkt gerichtete Beschleunigung eines Körpers auf einer Kreisbahn, die Winkelbeschleunigung beschreibt die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit.
- Es gilt \(a_r = v^2/r = \omega^2 r\): Bei festem \(r\) vervierfacht doppeltes \(v\) die Radialbeschleunigung, bei festem \(v\) halbiert doppelter Radius sie.
- \(\omega r\) ist die Umfangsgeschwindigkeit, keine Beschleunigung; der Faktor \(2\pi\) erscheint nur bei der Umrechnung aus der Drehzahl.
- Die gleichförmige Kreisbewegung ist beschleunigt, weil sich die Richtung von \(\vec v\) ändert; die Tangentialbeschleunigung ist dabei null.
- \(\alpha = d\omega/dt\) hat die Dimension Zeit\(^{-2}\), ist bei konstantem \(\omega\) null und entspricht der Steigung im \(\omega\)-\(t\)-Diagramm.
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Worum es geht
Ein Körper auf einer Kreisbahn ändert ständig seine Bewegungsrichtung. Er ist deshalb beschleunigt, selbst bei gleichbleibendem Tempo. Diese Radialbeschleunigung und die Winkelbeschleunigung beim Anlaufen oder Abbremsen gehören zur Kinematik der Drehbewegung, und in der Pharmazie begegnen sie dir vor allem bei der Zentrifuge.
Betrag der Radialbeschleunigung
Die Radialbeschleunigung \(a_r\) beschreibt, wie stark ein Körper auf einer Kreisbahn zur Mitte hin beschleunigt wird. Sie hängt von der Bahngeschwindigkeit \(v\) und vom Kreisradius \(r\) ab. Mit \(v = \omega r\) lässt sich \(v\) durch die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ersetzen. So entstehen zwei gleichwertige Formen.
\[a_r = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(a_r\) | Radialbeschleunigung (auch Zentripetalbeschleunigung) | \(\mathrm{m/s^2}\) |
| \(v\) | Bahngeschwindigkeit | \(\mathrm{m/s}\) |
| \(\omega\) | Winkelgeschwindigkeit | \(\mathrm{rad/s} = \mathrm{s^{-1}}\) |
| \(r\) | Kreisradius | \(\mathrm{m}\) |
Proportionalitäten
Welche Form man nimmt, hängt davon ab, welche Größe konstant bleibt. Bei festem Radius geht \(v\) quadratisch ein: Doppelte Bahngeschwindigkeit bedeutet vierfache Radialbeschleunigung. Bei fester Bahngeschwindigkeit steht \(r\) im Nenner: Doppelter Radius bedeutet halbe Radialbeschleunigung.
Bei fester Winkelgeschwindigkeit wächst \(a_r\) dagegen proportional mit \(r\). Alle Punkte eines Rotors drehen sich mit demselben \(\omega\). Ein Teilchen am Boden eines Zentrifugenröhrchens wird deshalb stärker beschleunigt als eines nahe der Achse.
Die Abhängigkeit der Radialbeschleunigung von \(v\) und \(r\) wird im Examen gerne gefragt. Prüfe vor jeder Antwort, ob \(v\) oder \(\omega\) konstant bleibt: Bei konstantem \(v\) gilt \(a_r \sim 1/r\), bei konstantem \(\omega\) gilt \(a_r \sim r\).
Typische Fehler
Ein häufiger Fehler ist \(a_r = \omega r\). Dieses Produkt ist aber die Umfangsgeschwindigkeit \(v\) in m/s, keine Beschleunigung. Die Einheitenkontrolle zeigt es sofort: Erst \(\omega^2 r\) ergibt \(\mathrm{m/s^2}\).
Ebenso gehört kein zusätzlicher Faktor \(2\pi\) in die Formel, wenn \(\omega\) schon gegeben ist. Der Faktor \(2\pi\) taucht nur auf, wenn man \(\omega\) erst aus der Drehzahl \(n\) berechnen muss: \(\omega = 2\pi n\).
Rechenbeispiel
Ein Rotor dreht mit der Drehzahl \(n = 50\ \mathrm{s^{-1}}\). Die Probe sitzt im Abstand \(r = 10\) cm von der Achse.
- Winkelgeschwindigkeit: \(\omega = 2\pi n = 2\pi \cdot 50\ \mathrm{s^{-1}} \approx 314\ \mathrm{s^{-1}}\)
- Einsetzen: \(a_r = \omega^2 r = (314\ \mathrm{s^{-1}})^2 \cdot 0{,}10\ \mathrm{m} \approx 9{,}87 \cdot 10^3\ \mathrm{m/s^2}\)
- Einordnen: Das ist rund das 1000-Fache der Fallbeschleunigung \(g \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}\).
Welche Kräfte dabei wirken, behandelt die Einheit Zentripetal- und Zentrifugalkraft.
Richtung und Ursache
Die Radialbeschleunigung zeigt stets zum Kreismittelpunkt. Das folgt aus der Vektornatur der Geschwindigkeit. Der Geschwindigkeitsvektor liegt immer tangential an der Bahn. Auch wenn sein Betrag gleich bleibt, dreht sich seine Richtung ständig mit.
Vergleicht man \(\vec v\) an zwei benachbarten Punkten, zeigt die Differenz \(\Delta\vec v\) nach innen. Beschleunigung ist als \(\Delta\vec v/\Delta t\) definiert. Also zeigt auch \(\vec a_r\) zur Mitte und steht senkrecht auf \(\vec v\).
Daraus folgt: Auch die gleichförmige Kreisbewegung mit konstantem \(\omega\) ist eine beschleunigte Bewegung. Man kann sich einen Stein an einer Schnur vorstellen. Lässt man los, fliegt er geradeaus weiter. Nur der ständige Zug nach innen hält ihn auf dem Kreis.
Ursache der Radialbeschleunigung ist allein die Richtungsänderung von \(\vec v\). Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit liegt dagegen auf der Drehachse. Bei konstantem \(\omega\) bleibt er vollständig konstant und kann deshalb keine Beschleunigung erzeugen.
Die Tangentialbeschleunigung \(a_t\) ist die Beschleunigungskomponente entlang der Bahn. Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit bleibt \(v = \omega r\) gleich, deshalb gilt \(a_t = 0\). Die Beschleunigung ist dann rein radial.
Radial ändert die Richtung, tangential den Betrag der Geschwindigkeit.
Winkelbeschleunigung
Ändert sich die Drehgeschwindigkeit selbst, braucht man eine weitere Größe. Die Winkelbeschleunigung \(\alpha\) gibt an, wie schnell sich die Winkelgeschwindigkeit ändert. Sie ist die zeitliche Ableitung von \(\omega\), bei gleichmäßiger Änderung einfach der Quotient aus Änderung und Zeitintervall:
\[\alpha = \frac{d\omega}{dt} \qquad \alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}\]
Der Radiant ist dimensionslos. Deshalb hat \(\alpha\) die Einheit \(\mathrm{rad/s^2} = \mathrm{s^{-2}}\) und die Dimension Zeit\(^{-2}\). Jede Zeiteinheit ist erlaubt, also auch \(\mathrm{min^{-2}}\) oder \(\mathrm{h^{-2}}\). Diese Dimension wird im Examen gerne gefragt: Achte darauf, dass nur eine Zeit hoch minus zwei auftaucht.
Einheiten wie \(\mathrm{m/s^2}\), \(\mathrm{m/min^2}\) oder \(\mathrm{mm/h^2}\) enthalten eine Länge. Sie gehören zu einer Bahnbeschleunigung wie \(a_r\) oder \(a_t\), nie zu einer Winkelbeschleunigung.
Gleichförmig oder ungleichförmig
Eine Winkelbeschleunigung tritt nur bei der ungleichförmigen Kreisbewegung auf, etwa beim Anlaufen oder Abbremsen eines Rotors. Bei konstantem \(\omega\) ist \(\alpha = 0\). Ist \(\alpha\) konstant, wächst \(\omega\) linear mit der Zeit:
\[\omega(t) = \omega_a + \alpha\,(t - t_1)\]
Dabei ist \(\omega_a\) die Winkelgeschwindigkeit zum Startzeitpunkt \(t_1\). Das entspricht dem Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der geradlinigen Bewegung, nur mit Drehgrößen.
Mit \(\omega\) wächst auch \(v = \omega r\). Der Punkt erfährt deshalb zusätzlich eine Tangentialbeschleunigung \(a_t = \alpha r\) in Bahnrichtung. Radiale und tangentiale Komponente stehen senkrecht aufeinander. Sie addieren sich zur Gesamtbeschleunigung \(a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}\), die schräg nach innen zeigt.
| Merkmal | gleichförmige Kreisbewegung | ungleichförmige Kreisbewegung |
|---|---|---|
| \(\omega\) | konstant | ändert sich |
| \(\alpha\) | null | ungleich null |
| \(a_t = \alpha r\) | null | ungleich null |
| \(a_r = \omega^2 r\) | konstant, zur Mitte | zur Mitte, Betrag ändert sich |
Winkelbeschleunigung im ω-t-Diagramm
Im \(\omega\)-\(t\)-Diagramm ist \(\alpha\) die Steigung der Kurve, genau wie die Beschleunigung im v-t-Diagramm. Eine waagerechte Linie bedeutet \(\alpha = 0\). Eine ansteigende Gerade bedeutet konstantes \(\alpha\). Eine gekrümmte Kurve zeigt eine veränderliche Winkelbeschleunigung.
Setzt eine konstante Winkelbeschleunigung erst ab \(t_1\) ein, verläuft die Linie bis \(t_1\) waagerecht. Dort knickt sie in eine ansteigende Gerade ab.
Die Steigung liest man über ein Steigungsdreieck ab. Steigt \(\omega\) in 4 s von \(10\ \mathrm{s^{-1}}\) auf \(30\ \mathrm{s^{-1}}\), gilt \(\alpha = 20\ \mathrm{s^{-1}} / 4\ \mathrm{s} = 5\ \mathrm{s^{-2}}\).
Quiz
Aussage 1
Die Radialbeschleunigung berechnet sich als Produkt aus Winkelgeschwindigkeit und Radius, \(a_r = \omega r\).
\(\omega r\) ist die Umfangsgeschwindigkeit in m/s. Richtig ist \(a_r = \omega^2 r\).
Aussage 2
Ein Körper, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn umläuft, bewegt sich unbeschleunigt.
Die Richtung von \(\vec v\) ändert sich ständig. Die gleichförmige Kreisbewegung ist beschleunigt, mit einer zum Mittelpunkt gerichteten Radialbeschleunigung.
Aussage 3
Ein \(\omega\)-\(t\)-Diagramm, das bis \(t_1\) waagerecht verläuft und danach als ansteigende Gerade weitergeht, beschreibt eine konstante Winkelbeschleunigung ab \(t_1\).
Die Steigung ist die Winkelbeschleunigung: bis \(t_1\) null, danach konstant und positiv.
Aussage 4
Bleibt die Bahngeschwindigkeit gleich, verdoppelt sich die Radialbeschleunigung, wenn man den Radius verdoppelt.
Bei konstantem \(v\) steht \(r\) im Nenner von \(a_r = v^2/r\). Doppelter Radius halbiert die Radialbeschleunigung.
Aussage 5
Verdoppelt sich bei gleichem Kreisradius die Bahngeschwindigkeit, so steigt die Radialbeschleunigung auf das Vierfache.
Nach \(a_r = v^2/r\) geht \(v\) quadratisch ein, also \(2^2 = 4\).
Aussage 6
Die Winkelbeschleunigung hat die Dimension Zeit\(^{-2}\) und kann zum Beispiel in \(\mathrm{min^{-2}}\) angegeben werden.
\(\alpha = d\omega/dt\) hat die Einheit \(\mathrm{rad/s^2} = \mathrm{s^{-2}}\). Jede Zeiteinheit ist zulässig.
Aussage 7
Bei einer Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ist die Tangentialbeschleunigung null.
Bei konstantem \(\omega\) bleibt \(v = \omega r\) gleich. Die Beschleunigung ist rein radial.
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