Volumenstrom und Kontinuitätsgleichung
Wie man Volumenströme berechnet und mit der Kontinuitätsgleichung bestimmt, wie schnell eine Flüssigkeit in engen und weiten Rohrabschnitten fließt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Kontinuitätsgleichung \(A_1 v_1 = A_2 v_2\) besagt, dass bei stationärer, unverzweigter Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit durch jeden Querschnitt derselbe Volumenstrom fließt.
- Der Volumenstrom ist Volumen pro Zeit, \(\dot V = V/t\), und zugleich Querschnitt mal mittlere Geschwindigkeit, \(\dot V = A \cdot \bar v\). Die Füllzeit eines Behälters ist \(t = V/\dot V\).
- Stationär heißt: An jedem festen Ort bleibt die Geschwindigkeit zeitlich konstant. Inkompressibel heißt: Die Dichte bleibt konstant.
- Die Geschwindigkeit ist umgekehrt proportional zur Fläche: An einer Verengung nimmt sie zu, an einer Erweiterung ab, bei konstantem Querschnitt bleibt sie gleich.
- Bei runden Rohren gilt \(v \propto 1/r^2\): halber Radius, vierfache Geschwindigkeit, doppelter Radius ein Viertel. Durchmesserverhältnisse lassen sich direkt wie Radienverhältnisse verwenden.
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Worum es geht
Fließt eine Flüssigkeit durch ein Rohr, eine Kanüle oder ein Blutgefäß, geht unterwegs nichts verloren. Daraus folgt die Kontinuitätsgleichung: Wo der Querschnitt enger wird, strömt die Flüssigkeit schneller. Sie ist die Grundlage für die Bernoulli-Gleichung, das Hagen-Poiseuille-Gesetz und jede Rechnung mit Spritzen, Infusionen und Gefäßen.
Strömende Fluide
Ein Fluid ist alles, was fließen kann, also Flüssigkeiten und Gase (mehr dazu bei Druck und Schweredruck). Strömt ein Fluid durch ein Rohr, interessiert vor allem, wie viel davon pro Zeit transportiert wird. Diese Menge lässt sich auf drei Arten angeben.
| Größe | Definition | Einheit |
|---|---|---|
| Volumenstrom | \(\dot V = V/t\) | \(\mathrm{m^3/s}\), L/s, mL/min |
| Massenstrom | \(\dot m = m/t\) | kg/s |
| Stoffmengenstrom | \(\dot n = n/t\) | mol/s |
Der Punkt über dem Symbol bedeutet „pro Zeit“. Die drei Größen hängen über die Dichte \(\rho\) und die molare Masse \(M\) zusammen: \(\dot m = \rho \cdot \dot V\) und \(\dot n = \dot m / M\). Für Rohrströmungen rechnet man fast immer mit dem Volumenstrom.
Damit die Rechnungen einfach bleiben, setzt man zwei Idealisierungen voraus.
Eine Strömung ist stationär, wenn sich Geschwindigkeit und Druck an jedem festen Ort zeitlich nicht ändern. Ein Fluid ist inkompressibel, wenn es sich nicht zusammendrücken lässt und seine Dichte konstant bleibt.
Stationär heißt also nicht, dass das Fluid überall gleich schnell ist. An einer Engstelle darf es schneller fließen als davor. Es muss dort nur zu jedem Zeitpunkt gleich schnell bleiben. Flüssigkeiten wie Wasser oder Blut gelten in sehr guter Näherung als inkompressibel. Gase sind kompressibel, lassen sich bei mäßigen Strömungsgeschwindigkeiten aber oft ähnlich behandeln.
Volumenstromstärke
Die Volumenstromstärke \(I_V\), kurz Volumenstrom \(\dot V\), gibt an, welches Volumen pro Zeit durch einen Querschnitt fließt. Sie ist der Quotient aus Volumen und Zeit. Kennt man sie, folgt direkt die Füllzeit eines Behälters: \(t = V/\dot V\). Der Rohrquerschnitt wird dafür nicht gebraucht, denn er steckt schon im Volumenstrom.
Wie hängt der Volumenstrom mit der Geschwindigkeit zusammen? Man verfolgt eine Flüssigkeitsfront. In der Zeit \(t\) rückt sie um die Strecke \(s = \bar v \cdot t\) vor, wie bei einer gleichförmigen Bewegung. Das durchgeflossene Volumen ist ein Zylinder mit Grundfläche \(A\) und Länge \(s\). Es gilt also \(V = A \cdot \bar v \cdot t\).
Teilt man durch \(t\), erhält man den zweiten Ausdruck für den Volumenstrom. Man nimmt die mittlere Geschwindigkeit \(\bar v\), weil die Flüssigkeit in der Rohrmitte schneller fließt als am Rand. Dieses Geschwindigkeitsprofil gehört zum Hagen-Poiseuille-Gesetz.
\[\dot V = I_V = \frac{V}{t} = A \cdot \bar v\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\dot V\), \(I_V\) | Volumenstrom(stärke) | \(\mathrm{m^3/s}\) |
| \(V\) | durchgeflossenes Volumen | \(\mathrm{m^3}\) |
| \(t\) | Zeit | s |
| \(A\) | Querschnittsfläche des Rohres | \(\mathrm{m^2}\) |
| \(\bar v\) | mittlere Strömungsgeschwindigkeit | m/s |
Die meisten Fehler passieren bei den Einheiten. Es gilt \(1\ \mathrm{m^3} = 1000\) L und 1 L = 1000 mL = \(1000\ \mathrm{cm^3}\). Fläche und Geschwindigkeit müssen zur selben Längeneinheit gehören. \(\mathrm{cm^2}\) mal cm/s ergibt \(\mathrm{cm^3/s}\), also mL/s.
Zwei kurze Beispiele: Eine Presse liefert 30 mL in 6 s. Das sind \(\dot V\) = 0,030 L / 6 s = 0,005 L/s. Ein Tank mit 1,2 \(\mathrm{m^3}\) = 1200 L füllt sich bei 0,5 L/s in \(t\) = 1200 L / (0,5 L/s) = 2400 s = 40 min.
Will man mehrere Rohre vergleichen, multipliziert man für jedes Fläche und Geschwindigkeit. Das schnellste Rohr führt nicht automatisch am meisten:
| Rohr | \(A\) | \(\bar v\) | \(\dot V\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 \(\mathrm{cm^2}\) | 3 cm/s | 6 mL/s |
| 2 | 4 \(\mathrm{cm^2}\) | 1 cm/s | 4 mL/s |
| 3 | 1 \(\mathrm{cm^2}\) | 5 cm/s | 5 mL/s |
Die Reihenfolge lautet also Rohr 1 > Rohr 3 > Rohr 2. Auch rückwärts lässt sich rechnen. In 10 s fließen 1,57 L durch ein zylindrisches Rohr, die mittlere Geschwindigkeit beträgt 0,5 m/s. Gesucht ist der Radius.
- Volumenstrom: \(\dot V\) = \(1{,}57 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^3}\) / 10 s = \(1{,}57 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}\).
- Fläche: \(A = \dot V / \bar v\) = \(1{,}57 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}\) / (0,5 m/s) = \(3{,}14 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\).
- Radius: Aus \(A = \pi r^2\) folgt \(r^2 = A/\pi = 1 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\), also \(r\) = 0,01 m = 1 cm.
Kontinuitätsgleichung
Fließt eine inkompressible Flüssigkeit stationär durch ein unverzweigtes Rohr, kann sie sich nirgends stauen und nirgends verdichten. Was vorne hineinfließt, muss in derselben Zeit hinten herauskommen. Deshalb strömt durch jeden Querschnitt pro Sekunde dasselbe Volumen. Das ist die Kontinuitätsgleichung, im Kern ein Erhaltungssatz für die Masse.
\[A_1 \cdot \bar v_1 = A_2 \cdot \bar v_2 = \dot V = \text{konstant}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(A_1\), \(A_2\) | Querschnittsflächen an den Stellen 1 und 2 | \(\mathrm{m^2}\) |
| \(\bar v_1\), \(\bar v_2\) | mittlere Geschwindigkeiten an diesen Stellen | m/s |
| \(\dot V\) | Volumenstrom, überall gleich | \(\mathrm{m^3/s}\) |
Oft schreibt man einfach \(v\) statt \(\bar v\). Gemeint ist dasselbe. Stellt man um, sieht man: Die Geschwindigkeit ist umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche, \(v \propto 1/A\). Halbe Fläche bedeutet doppelte Geschwindigkeit. Daraus ergeben sich drei Fälle:
- Verengung: Die Geschwindigkeit nimmt zu. In der Engstelle ist sie größer als im weiten Teil.
- Erweiterung: Die mittlere Geschwindigkeit nimmt ab.
- Konstanter Querschnitt: Die Geschwindigkeit ist überall gleich, egal wie lang das Rohr ist.
Den ersten Fall kennt jeder vom Gartenschlauch. Drückt man den Daumen auf die Öffnung, spritzt das Wasser schneller und weiter. Die Abbildung zeigt, warum. Dasselbe Volumen bildet im weiten Teil einen kurzen, breiten Zylinder und in der Engstelle einen langen, schmalen. Die Länge pro Zeit ist die Geschwindigkeit. Was dabei mit dem Druck geschieht, klärt die Bernoulli-Gleichung.
Verzweigt sich ein Rohr, verteilt sich der Volumenstrom des Stamms auf die Äste. Im Kreislauf ist der Gesamtquerschnitt aller Kapillaren viel größer als der der Aorta. Deshalb fließt das Blut dort langsam. Bei Gasen mit veränderlicher Dichte bleibt statt des Volumenstroms der Massenstrom \(\rho \cdot A \cdot v\) konstant.
Beispiel Erweiterung: Ein Rohr mit \(A_1\) = 2 \(\mathrm{cm^2}\) führt Wasser mit 0,9 m/s. Es weitet sich auf \(A_2\) = 6 \(\mathrm{cm^2}\).
- Ansatz: Aus \(A_1 v_1 = A_2 v_2\) folgt \(v_2 = v_1 \cdot A_1/A_2\).
- Flächenverhältnis: \(A_1/A_2\) = 2/6 = 1/3. Die Einheiten kürzen sich, man muss also nicht in \(\mathrm{m^2}\) umrechnen.
- Ergebnis: \(v_2\) = 0,9 m/s · 1/3 = 0,3 m/s. Plausibel, denn im weiteren Rohr fließt es langsamer.
Bei einer Engstelle mit einem Viertel der Fläche liefert derselbe Weg die vierfache Geschwindigkeit.
Die Kontinuitätsgleichung \(A_1 v_1 = A_2 v_2\) ist ein Examensklassiker. Achte auf die Voraussetzungen stationär, inkompressibel und unverzweigt und auf die Richtung: kleinere Fläche, größere Geschwindigkeit.
Geschwindigkeit und Rohrradius
Rohre, Kanülen und Gefäße haben meist einen kreisförmigen Querschnitt mit \(A = \pi r^2\). Setzt man das in die Kontinuitätsgleichung ein, kürzt sich \(\pi\) heraus:
\[r_1^2 \cdot v_1 = r_2^2 \cdot v_2 \quad\Rightarrow\quad v_2 = v_1 \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\]
Die Geschwindigkeit ist also umgekehrt proportional zum Quadrat des Radius, \(v \propto 1/r^2\). Der Radius wirkt doppelt, weil er in der Fläche quadratisch steckt. Halber Radius ergibt ein Viertel der Fläche und damit die vierfache Geschwindigkeit. Doppelter Radius senkt sie auf ein Viertel, dreifacher Radius auf ein Neuntel.
Dass ein halbierter Radius die Geschwindigkeit vervierfacht, wird im Examen gerne gefragt. Entscheidend ist das Quadrat, nicht der einfache Faktor.
In Skizzen stehen oft Durchmesser statt Radien. Das ist kein Problem, denn das Verhältnis \(d_1/d_2\) ist gleich \(r_1/r_2\). Nur wer eine absolute Fläche mit \(A = \pi r^2\) ausrechnet, muss den Durchmesser vorher halbieren. Sonst wird die Fläche viermal zu groß.
Beispiel: Wasser fließt mit 0,2 m/s durch ein Rohr mit 12 mm Durchmesser in eine Engstelle mit 4 mm Durchmesser.
- Verhältnis bilden: \(r_1/r_2 = d_1/d_2\) = 12 mm / 4 mm = 3.
- Quadrieren: \(3^2\) = 9. Die Fläche der Engstelle ist neunmal kleiner.
- Ergebnis: \(v_2\) = 0,2 m/s · 9 = 1,8 m/s.
Der häufigste Fehler ist das vergessene Quadrat: Halber Radius ergibt die vierfache, nicht die doppelte Geschwindigkeit. Der zweite ist der vertauschte Bruch, deshalb am Ende prüfen, ob die Flüssigkeit im engeren Abschnitt wirklich schneller ist.
Quiz
Aussage 1
Um die Füllzeit eines Tanks bei bekanntem Volumenstrom zu berechnen, braucht man zusätzlich den Querschnitt der Zuleitung.
Es gilt einfach \(t = V/\dot V\). Der Querschnitt steckt bereits im Volumenstrom.
Aussage 2
Bei stationärer, unverzweigter Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit fließt durch jeden Rohrquerschnitt pro Sekunde dasselbe Volumen.
Das ist die Kontinuitätsgleichung \(A_1 v_1 = A_2 v_2\): Die Flüssigkeit kann sich weder stauen noch verdichten.
Aussage 3
Eine Strömung heißt stationär, wenn die Strömungsgeschwindigkeit an allen Orten des Rohres gleich groß ist.
Stationär bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit an jedem festen Ort zeitlich nicht ändert. An einer Engstelle darf sie größer sein als davor.
Aussage 4
Ein Rohr mit 4 \(\mathrm{cm^2}\) Querschnitt und 1 cm/s Strömungsgeschwindigkeit führt einen kleineren Volumenstrom als ein Rohr mit 1 \(\mathrm{cm^2}\) und 5 cm/s.
Mit \(\dot V = A \cdot \bar v\) ergeben sich 4 mL/s gegenüber 5 mL/s.
Aussage 5
In einem Rohr mit konstantem Querschnitt wird eine inkompressible Flüssigkeit in Strömungsrichtung allmählich langsamer.
Nach der Kontinuitätsgleichung ist die Geschwindigkeit bei konstantem Querschnitt überall gleich.
Aussage 6
Halbiert sich der Radius eines Rohres, verdoppelt sich die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit.
Die Fläche sinkt auf ein Viertel, weil \(A = \pi r^2\). Wegen \(v \propto 1/r^2\) vervierfacht sich die Geschwindigkeit.
Aussage 7
Verdreifacht sich der Durchmesser eines Rohrabschnitts, sinkt die Strömungsgeschwindigkeit dort auf ein Neuntel.
Das Durchmesserverhältnis entspricht dem Radienverhältnis. Mit \(v \propto 1/r^2\) folgt der Faktor \(1/3^2 = 1/9\).
Aussage 8
Weitet sich ein Rohr auf, nimmt die mittlere Strömungsgeschwindigkeit einer inkompressiblen Flüssigkeit ab.
Die Geschwindigkeit ist umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche. Größere Fläche bedeutet kleinere Geschwindigkeit.
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