Kapillaraszension und Kapillardepression
Warum Flüssigkeiten in engen Röhrchen steigen oder sinken und wie man die Steighöhe aus Oberflächenspannung, Randwinkel, Dichte und Radius berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Kapillarität ist das Steigen (Kapillaraszension) oder Sinken (Kapillardepression) einer Flüssigkeit in einem engen Rohr gegenüber dem äußeren Spiegel.
- Benetzende Flüssigkeiten bilden einen konkaven Meniskus und steigen, nicht benetzende einen konvexen Meniskus und sinken, etwa Wasser bzw. Quecksilber in Glas.
- Das Verhalten hängt von der Paarung Flüssigkeit und Wand ab: Wasser steigt in Glas, sinkt aber in einer paraffinierten Kapillare.
- Die Steighöhe beträgt \(h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}\), also \(h \sim \sigma\) und \(h \sim 1/\rho\).
- Es gilt \(h \sim 1/r\) bzw. \(h \sim 1/\sqrt{A}\): Halber Radius ergibt doppelte Steighöhe.
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Worum es geht
In engen Röhrchen steht eine Flüssigkeit meist nicht auf der Höhe des äußeren Spiegels. Sie steigt darüber oder bleibt darunter. Dieser Grenzflächeneffekt treibt das Fließmittel in der Dünnschichtchromatographie nach oben, lässt Wasser in das Porengerüst einer Tablette eindringen und dient zur Messung der Oberflächenspannung.
Aszension und Depression
Kapillarität nennt man die Abweichung des Flüssigkeitsstands in einem engen Rohr, der Kapillare, vom äußeren Spiegel. Die Ursache ist die Benetzung der Wand. Sie zeigt sich im Randwinkel \(\theta\) und in der Form des Meniskus.
Eine benetzende Flüssigkeit (\(\theta < 90°\)) haftet stärker an der Wand als an sich selbst. Sie zieht sich am Rand hoch und bildet einen konkaven Meniskus. Die gekrümmte Oberfläche wirkt wie eine gespannte Haut, die die Säule nach oben zieht. Die Flüssigkeit steigt über den Außenspiegel: Kapillaraszension. Eine nicht benetzende Flüssigkeit (\(\theta > 90°\)) zeigt einen konvexen Meniskus. Ihr Spiegel liegt in der Kapillare tiefer als außen: Kapillardepression.
Das klassische Paar zeigt die Abbildung. Wasser benetzt Glas und steigt. Quecksilber benetzt Glas nicht und sinkt.
Entscheidend ist immer die Paarung Flüssigkeit und Wand. Weder die Flüssigkeit für sich noch das Wandmaterial legt das Verhalten fest. Wasser steigt in Glas, sinkt aber in einer mit Paraffin beschichteten Kapillare, denn diese Wand ist wasserabweisend. Der Durchmesser bestimmt nur, wie stark der Effekt ausfällt, nicht seine Richtung.
Benetzt: konkav, steigt. Nicht benetzt: konvex, sinkt.
Skizzen beurteilen
Bei einer Skizze prüfst du drei Dinge auf Stimmigkeit. Erstens passen Meniskusform und Richtung zusammen: konkav nur mit Anstieg, konvex nur mit Absenkung. Zweitens verhalten sich alle Kapillaren aus demselben Material in derselben Flüssigkeit gleich. Bei benetzender Flüssigkeit stehen also alle über dem Außenspiegel, alle mit konkavem Meniskus, und auch am Gefäßrand ist die Flüssigkeit hochgezogen. Drittens sind die Stände nach Radius geordnet: Die engste Kapillare zeigt den größten Effekt, bei Wasser den höchsten, bei Quecksilber den tiefsten Stand.
Eine Skizze, in der die weite Kapillare höher steht als die enge, ist physikalisch unmöglich. Warum das so ist, zeigt die Steighöhenformel.
Steighöhe
Die Steighöhe \(h\) ist der Höhenunterschied zwischen dem Spiegel in der Kapillare und dem äußeren Spiegel. Sie stellt sich ein, wenn zwei Kräfte im Gleichgewicht sind. Längs des Umfangs \(2\pi r\) zieht die Oberflächenspannung mit der senkrechten Komponente \(\sigma\cos\theta\) nach oben. Nach unten wirkt die Gewichtskraft der Säule \(\rho g \pi r^2 h\). Gleichsetzen und Auflösen nach \(h\) liefert die Formel.
\[h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(h\) | Steighöhe (negativ: Absenkung) | m |
| \(\sigma\) | Oberflächenspannung der Flüssigkeit | N/m |
| \(\theta\) | Randwinkel | ° |
| \(\rho\) | Dichte der Flüssigkeit | kg/m³ |
| \(g\) | Fallbeschleunigung, 9,81 m/s² | m/s² |
| \(r\) | Innenradius der Kapillare | m |
Proportionalitäten und Grenzfälle
Aus der Formel liest man direkt ab: Doppelte Oberflächenspannung ergibt doppelte Steighöhe (\(h \sim \sigma\)). Doppelte Dichte halbiert sie (\(h \sim 1/\rho\)), denn die schwerere Säule wiegt mehr. Je kleiner der Randwinkel, desto größer \(\cos\theta\) und desto höher steigt eine benetzende Flüssigkeit. Bei vollständiger Benetzung ist \(\theta = 0°\) und \(\cos\theta = 1\), also \(h = \frac{2\sigma}{\rho g r}\). Bei \(\theta = 90°\) ist \(h = 0\). Für \(\theta > 90°\) wird \(\cos\theta\) negativ, und \(h\) wird zur Absenkung.
Der Radius steht im Nenner. Die Zugkraft wächst nur mit dem Umfang, also mit \(r\). Das Gewicht der Säule wächst mit dem Querschnitt, also mit \(r^2\). Deshalb gilt \(h \sim 1/r\): Enge Kapillaren heben die Flüssigkeit höher. Für die Absenkung gilt dasselbe. Mit dem Querschnitt \(A = \pi r^2\) folgt \(r \sim \sqrt{A}\) und damit \(h \sim 1/\sqrt{A}\).
Dass \(h \sim 1/r\) gilt, wird im Examen gerne gefragt: Halber Radius heißt doppelte Steighöhe. Achte darauf, ob Radius, Durchmesser oder Querschnitt gegeben ist, denn beim Querschnitt gilt \(h \sim 1/\sqrt{A}\).
Rechenbeispiel
Wasser (\(\sigma = 0{,}072\) N/m, \(\rho = 1000\) kg/m³) benetzt eine saubere Glaskapillare vollständig. Der Innendurchmesser beträgt 1,0 mm.
- Radius bestimmen: \(r = 0{,}5\) mm \(= 5 \cdot 10^{-4}\) m.
- Einsetzen: \(h = \frac{2 \cdot 0{,}072\ \text{N/m}}{1000\ \text{kg/m}^3 \cdot 9{,}81\ \text{m/s}^2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}\ \text{m}} \approx 0{,}029\) m, also etwa 2,9 cm.
- Radius halbieren: Bei \(r = 0{,}25\) mm verdoppelt sich die Höhe auf etwa 5,9 cm.
- Querschnitt vervierfachen: Der Radius verdoppelt sich, die Höhe halbiert sich auf etwa 1,5 cm.
Typische Fehler
Häufig wird der Durchmesser statt des Radius eingesetzt. Das halbiert das Ergebnis. Millimeter müssen vor dem Einsetzen in Meter umgerechnet werden. Bei Querschnittsangaben führt ein viertel so großer Querschnitt zur doppelten Steighöhe, nicht zur vierfachen. Ein negatives Ergebnis ist kein Rechenfehler, sondern zeigt eine Depression an. Die Kapillarmethode nutzt die Formel umgekehrt zur Bestimmung der Oberflächenspannung.
Quiz
Aussage 1
Bei einer benetzenden Flüssigkeit nimmt die Steighöhe zu, wenn der Randwinkel kleiner wird.
Mit kleinerem \(\theta\) wird \(\cos\theta\) größer, und \(h\) ist proportional zu \(\cos\theta\).
Aussage 2
Bei sonst gleichen Bedingungen steigt eine Flüssigkeit mit größerer Dichte in einer Kapillare höher.
Die Dichte steht im Nenner, es gilt \(h \sim 1/\rho\). Die dichtere Flüssigkeit steigt weniger hoch.
Aussage 3
Halbiert man den Innenradius einer Kapillare, verdoppelt sich die Steighöhe einer benetzenden Flüssigkeit.
Die Steighöhe ist umgekehrt proportional zum Radius: \(h \sim 1/r\).
Aussage 4
Wird der Innenquerschnitt einer Kapillare vervierfacht, sinkt die Steighöhe auf ein Viertel.
Es gilt \(h \sim 1/\sqrt{A}\). Vierfacher Querschnitt bedeutet doppelten Radius, die Steighöhe halbiert sich.
Aussage 5
Ob eine Flüssigkeit in einer Kapillare steigt, ist allein durch das Material der Kapillarwand festgelegt.
Entscheidend ist die Paarung von Flüssigkeit und Wand. Wasser steigt in Glas, Quecksilber sinkt in Glas.
Aussage 6
Quecksilber bildet in einer Glaskapillare einen konvexen Meniskus und steht innen tiefer als außen.
Quecksilber benetzt Glas nicht (\(\theta > 90°\)). Das führt zu einem konvexen Meniskus und zur Kapillardepression.
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