Impuls und Impulserhaltungssatz
Der Impuls als Produkt aus Masse und Geschwindigkeitsvektor, seine Änderung durch den Kraftstoß und seine Erhaltung im abgeschlossenen System.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Impuls ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeitsvektor, \(\vec{p} = m \cdot \vec{v}\), ein ruhender Körper hat den Impuls null.
- Die Einheit des Impulses ist \(\mathrm{kg \cdot m/s} = \mathrm{N \cdot s}\), \(m \cdot v\) ist nicht die kinetische Energie.
- Der Kraftstoß \(\Delta p = F \cdot \Delta t\) ist die Fläche unter der F-t-Kurve, Impuls durch Zeit ergibt eine Kraft.
- Impulse addieren sich vektoriell: entgegengesetzte werden subtrahiert, senkrechte nach Pythagoras kombiniert.
- Im abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls erhalten, auch bei inneren Reibungskräften und Rotation, während sich die Einzelimpulse beim Stoß ändern.
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Worum es geht
Der Impuls beschreibt, wie viel Bewegung ein Körper mit sich trägt. Er verbindet Masse, Geschwindigkeit und Kraft und ist die Grundlage, um Stöße und Rückstoß zu berechnen.
Definition des Impulses
Der Impuls ist das Produkt aus der skalaren Masse und dem Geschwindigkeitsvektor. Er hat deshalb dieselbe Richtung wie die Geschwindigkeit. Ein ruhender Körper hat den Impuls null.
\[\vec{p} = m \cdot \vec{v}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\vec{p}\) | Impuls | \(\mathrm{kg \cdot m/s} = \mathrm{N \cdot s}\) |
| \(m\) | Masse | \(\mathrm{kg}\) |
| \(\vec{v}\) | Geschwindigkeit | \(\mathrm{m/s}\) |
Der Impuls wächst proportional zu Masse und Geschwindigkeit. Doppelte Masse bei gleicher Geschwindigkeit ergibt doppelten Impuls. Für ein Impulsverhältnis multipliziert man die Verhältnisse: Hat Körper 1 die doppelte Masse, aber nur ein Viertel der Geschwindigkeit, gilt \(p_1 : p_2 = 2 \cdot \tfrac{1}{4} = 1 : 2\).
Die Definition des Impulses wird im Examen gerne gefragt. Achte darauf: \(m \cdot v\) ist der Impuls, die kinetische Energie ist \(\tfrac{1}{2} m v^2\). Die Einheit des Impulses ist \(\mathrm{N \cdot s}\), nicht \(\mathrm{N \cdot m}\), denn das ist die Einheit einer Energie.
Beim Rechnen entstehen die meisten Fehler durch Einheiten. Rechne immer zuerst in Kilogramm und Meter um.
- Bruchstück: Eine Masse von 60 mg zerfällt in 3 gleiche Teile, also je 20 mg \(= 2 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{kg}\).
- Impuls: Bei 300 m/s gilt \(p = 2 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{kg} \cdot 300\ \mathrm{m/s} = 6 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{kg \cdot m/s}\).
- Umkehrung: Ein Körper mit 50 g \(= 0{,}05\ \mathrm{kg}\) und \(p = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s}\) hat \(v = p/m = 20\ \mathrm{m/s}\).
- Zeit: Für 1 km \(= 1000\ \mathrm{m}\) braucht er \(t = \frac{s \cdot m}{p} = 50\ \mathrm{s}\).
Impuls und Kraftstoß
Eine Kraft ändert den Impuls. Das Produkt aus Kraft und Wirkdauer heißt Kraftstoß: \(\Delta p = F \cdot \Delta t\). Umgekehrt ergibt Impuls durch Zeit eine Kraft, keine Leistung. Das ist das Grundgesetz der Dynamik in Impulsform.
Im F-t-Diagramm ist der Kraftstoß die Fläche unter der Kurve. Bei gleicher Kraft erhält der Körper den größeren Impuls, auf den die Kraft länger wirkt.
Beim freien Fall wirkt die Gewichtskraft ständig. Mit \(v = g \cdot t\) wächst der Impuls \(p = m \cdot g \cdot t\) linear mit der Zeit.
Gesamtimpuls mehrerer Körper
Weil der Impuls ein Vektor ist, addiert man Einzelimpulse wie Geschwindigkeitsvektoren. Bei entgegengesetzter Richtung zählt eine Richtung positiv, die andere negativ: \(p = m_1 v_1 - m_2 v_2\). Ein falsches Vorzeichen ist hier der typische Fehler.
Stehen zwei Impulse senkrecht aufeinander, bilden sie die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Der Gesamtimpuls ist die Hypotenuse: \(p = \sqrt{p_1^2 + p_2^2}\). Aus \(p_1 = 3\) und \(p_2 = 4\ \mathrm{kg \cdot m/s}\) folgt \(p = 5\ \mathrm{kg \cdot m/s}\).
Impulserhaltungssatz
Der Impulserhaltungssatz lautet: In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls stets erhalten.
Ein System, auf das keine äußeren Kräfte wirken. Kräfte zwischen seinen Teilen sind innere Kräfte.
Innere Kräfte treten nach dem Wechselwirkungsprinzip immer paarweise und entgegengesetzt auf. Ihre Kraftstöße heben sich deshalb auf. Der Satz gilt daher auch bei inneren Reibungskräften und wenn neben der Translation Rotationen auftreten.
Beim Stoß ändern sich die Einzelimpulse beider Partner. Erhalten bleibt nur ihre Summe. Rollt eine Kugel auf eine ruhende zu, bewegt sich der gemeinsame Schwerpunkt vorher und nachher mit unveränderter Geschwindigkeit weiter. Er kommt also nicht zur Ruhe.
Wie sich Energie bei verschiedenen Stoßarten verhält, behandelt die Einheit Stöße.
Quiz
Aussage 1
Treten in einem abgeschlossenen System innere Reibungskräfte auf, bleibt der Gesamtimpuls nicht mehr erhalten.
Innere Kräfte wirken paarweise entgegengesetzt, ihre Kraftstöße heben sich auf. Der Gesamtimpuls bleibt auch bei innerer Reibung erhalten.
Aussage 2
Teilt man einen Impuls durch die Zeit, in der er sich aufgebaut hat, erhält man eine Leistung.
Impuls durch Zeit ergibt eine Kraft, entsprechend \(\Delta p = F \cdot \Delta t\).
Aussage 3
Der Impuls eines Körpers kann in der Einheit \(\mathrm{N \cdot s}\) angegeben werden.
\(\mathrm{kg \cdot m/s}\) ist gleich \(\mathrm{N \cdot s}\). \(\mathrm{N \cdot m}\) wäre die Einheit einer Energie.
Aussage 4
Zwei senkrecht zueinander gerichtete Impulse von 6 und 8 \(\mathrm{kg \cdot m/s}\) ergeben einen Gesamtimpuls vom Betrag 10 \(\mathrm{kg \cdot m/s}\).
Nach Pythagoras gilt \(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\).
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