Hebelgesetz und Balkenwaage
Das Hebelgesetz als Gleichgewicht der Drehmomente und wie man damit Massen, Kräfte, Hebelarme und Unterstützungspunkte berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Hebelgesetz beschreibt das Gleichgewicht eines drehbaren starren Körpers: Die Summe der linksdrehenden Drehmomente ist gleich der Summe der rechtsdrehenden, das Gesamtdrehmoment ist null.
- Für zwei Kräfte gilt \(F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2\). Bei Massen kürzt sich \(g\) heraus: \(m_1 \cdot a = m_2 \cdot b\). Kraft und Hebelarm sind umgekehrt proportional.
- Der Hebelarm ist der senkrechte Abstand der Wirkungslinie vom Drehpunkt. Am schrägen Stab ist das bei Gewichtskräften der horizontale Abstand, eine Kraft durch die Achse erzeugt kein Moment.
- Beim einarmigen Hebel liegt der Drehpunkt am Ende, beim zweiarmigen Hebel zwischen den Angriffspunkten. Bei mehreren Lasten werden alle Momente je Drehsinn addiert.
- Der Unterstützungspunkt liegt näher an der schwereren Masse. Die Hebelarme verhalten sich umgekehrt wie die Massen, mit \(a = l \cdot m_2 / (m_1 + m_2)\).
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Worum es geht
Ein Hebel ruht, wenn sich die Drehwirkungen aller Kräfte aufheben. Dieses Hebelgesetz baut auf dem Drehmoment auf. Es erklärt, warum eine Balkenwaage Massen vergleicht und warum man mit langem Griff wenig Kraft braucht.
Gleichgewichtsbedingung
Ein Hebel ist ein starrer Körper, der sich um eine feste Achse drehen kann, den Drehpunkt. Jede angreifende Kraft erzeugt ein Drehmoment, also Kraft mal Hebelarm. Der Hebelarm ist der senkrechte Abstand der Wirkungslinie vom Drehpunkt. Manche Momente drehen den Hebel links herum, andere rechts herum.
Der Hebel bleibt in Ruhe, wenn sich diese Wirkungen aufheben. Das ist das Hebelgesetz: Im Gleichgewicht ist die Summe der linksdrehenden Drehmomente gleich der Summe der rechtsdrehenden. Gleichwertig gilt: Die Summe aller Drehmomente um den Drehpunkt ist null. Dafür zählt man einen Drehsinn positiv und den anderen negativ.
\[\sum M_{\text{links}} = \sum M_{\text{rechts}} \quad\Rightarrow\quad F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(F_1\), \(F_2\) | Kräfte auf den beiden Seiten | N |
| \(l_1\), \(l_2\) | Hebelarme, senkrechter Abstand der Wirkungslinie vom Drehpunkt | m |
| \(M = F \cdot l\) | Drehmoment | N·m |
Hängen Massen am Hebel, wirkt jeweils die Gewichtskraft \(F = m \cdot g\). Der Faktor \(g\) steht auf beiden Seiten und kürzt sich heraus. So entsteht die Massenform \(m_1 \cdot a = m_2 \cdot b\) mit den Hebelarmen \(a\) und \(b\). Man darf also direkt mit kg und cm rechnen, solange beide Seiten dieselben Einheiten tragen.
Kraft und Hebelarm sind umgekehrt proportional: doppelter Hebelarm, halbe Kraft. Deshalb balanciert ein kleineres Gewicht am längeren Hebelarm ein größeres am kürzeren aus. Ein Kilogramm bei 60 cm hält drei Kilogramm bei 20 cm das Gleichgewicht. Das kennt man vom Schraubenschlüssel, dessen langer Griff die nötige Kraft senkt.
Ein Grenzfall hilft beim Rechnen. Greift eine Kraft genau im Drehpunkt an, ist ihr Hebelarm null und damit auch ihr Moment. Die Lagerkraft taucht deshalb in der Bilanz nie auf. Die Abbildung zeigt die Bedingung am zweiarmigen Hebel: \(F_1\) und \(F_2\) drehen in entgegengesetzte Richtungen.
Das Hebelgesetz ist ein Examensklassiker: Gleichgewicht herrscht, wenn die Summe der links- gleich der Summe der rechtsdrehenden Momente ist, das Gesamtdrehmoment also null. Vergleiche immer Kraft mal senkrechten Hebelarm und nie Kräfte oder Abstände allein.
Hebel mit mehreren Lasten
Hebel unterscheidet man nach der Lage des Drehpunkts. Für die Rechnung ändert das nichts, wohl aber für die Richtung der Kräfte.
Der Drehpunkt liegt an einem Ende. Alle Kräfte greifen auf derselben Seite an. Gleichgewicht gibt es nur, wenn Kraft und Last entgegengesetzt wirken. Beispiele: Schubkarre, Nussknacker, Unterarm mit Bizeps.
Der Drehpunkt liegt zwischen den Angriffspunkten. Gleich gerichtete Kräfte drehen hier entgegengesetzt. Beispiele: Wippe, Balkenwaage, Schere.
Bei mehreren Lasten addiert man je Drehsinn alle Produkte: \(\sum m_i r_i\) (links) \(= \sum m_j r_j\) (rechts). Jede Last zählt mit ihrem eigenen Abstand vom Drehpunkt.
Am einarmigen Hebel der Abbildung hängen 2 kg bei 0,4 m und 1 kg bei 0,8 m. Ein Seil am Ende bei 1,0 m läuft über eine feste Umlenkrolle zu einer Gegenmasse \(m\). Die Rolle ändert nur die Richtung, sodass die Gewichtskraft von \(m\) am Hebel nach oben zieht (siehe Seilkräfte an Rollen).
- Drehpunkt festlegen: Das Lager sitzt links, alle Abstände werden von dort gemessen.
- Lastmomente addieren: 2 kg · 0,4 m + 1 kg · 0,8 m = 1,6 kg·m.
- Gegenmoment ansetzen: \(m\) · 1,0 m wirkt im anderen Drehsinn.
- Gleichsetzen: \(m\) = 1,6 kg·m / 1,0 m = 1,6 kg.
Genauso lässt sich ein fehlender Hebelarm bestimmen. Rechts hängen 2 kg bei 30 cm und 1 kg bei 50 cm. Wo muss links eine Masse von 4 kg hängen? Aus \(4\,\text{kg} \cdot d = 2\,\text{kg} \cdot 30\,\text{cm} + 1\,\text{kg} \cdot 50\,\text{cm}\) folgt \(d = 110\,\text{kg·cm} / 4\,\text{kg} = 27{,}5\,\text{cm}\).
Ist eine Kraft gesucht, muss \(g\) in die Rechnung. Eine Masse von 3 kg hängt 20 cm vom Drehpunkt, die Haltekraft greift 0,60 m entfernt an. Aus \(m_1 g a_1 = F_2 a_2\) folgt \(F_2 = 3\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}20\,\text{m} / 0{,}60\,\text{m} \approx 9{,}8\,\text{N}\). Die 20 cm wurden zuerst in 0,20 m umgerechnet.
Liegt ein Hebel schräg, wirken Gewichtskräfte weiter senkrecht nach unten. Ihr Hebelarm ist dann der horizontale Abstand des Angriffspunkts von der Drehachse. Hängt ein Hebel senkrecht und ziehen Seile waagerecht über Rollen, zählt umgekehrt der senkrechte Abstand. Ein Gewicht direkt unter der Achse hat eine Wirkungslinie durch die Achse und erzeugt kein Drehmoment.
Die typischen Fehler sind schnell aufgezählt:
- Abstände vom Balkenende statt vom Drehpunkt messen.
- Die Länge entlang des schrägen Stabs statt des senkrechten Abstands zur Wirkungslinie nehmen.
- cm und m auf beiden Seiten mischen, was das Ergebnis um den Faktor 100 verfälscht.
- Bei gesuchter Kraft das \(g\) vergessen und eine Masse als Ergebnis angeben.
Unterstützungspunkt und Balkenwaage
Der Unterstützungspunkt ist die Stelle, an der man einen Balken abstützen oder aufhängen muss, damit er im Gleichgewicht bleibt. Er ist der Drehpunkt des Systems. Tragen die Enden eines masselosen Balkens ungleiche Massen, liegt er näher an der schwereren Masse.
Das folgt direkt aus \(m_1 a = m_2 b\). Umgestellt gilt \(a : b = m_2 : m_1\). Die Hebelarme verhalten sich also umgekehrt wie die Massen. Mit der Balkenlänge \(l = a + b\) ergibt sich der Abstand von Masse 1:
\[a = l \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2}\]
In der Abbildung ist der rechte Körper viermal so schwer wie der linke. Der Balken hat zehn gleiche Abschnitte. Der Unterstützungspunkt sitzt bei der achten Markierung vom leichten Körper aus. Acht Abschnitte zu zwei Abschnitten entsprechen genau dem Verhältnis 4 : 1.
Die Lage des Unterstützungspunkts wird im Examen gerne gefragt. Bei Balken mit gleichabständigen Markierungen teilst du die Gesamtzahl der Abschnitte im umgekehrten Massenverhältnis auf und zählst von der leichten Seite aus. Manchmal sind statt der Massen Volumen und Dichte gegeben. Dann kommt mit \(m = \rho \cdot V\) ein Schritt hinzu.
- Massen berechnen: Körper A: 2,5 g/cm³ · 40 cm³ = 100 g. Körper B: 8,0 g/cm³ · 25 cm³ = 200 g.
- Verhältnis bilden: \(a : b\) = 200 : 100 = 2 : 1.
- Balken aufteilen: Ein 60 cm langer Balken zerfällt in drei Teile zu 20 cm. Der Stützpunkt liegt 40 cm von A und 20 cm von B entfernt.
- Probe: 100 g · 40 cm = 200 g · 20 cm = 4000 g·cm.
An der Wippe gilt dieselbe Rechnung. Ein Kind mit 30 kg sitzt 2,0 m vom Drehpunkt. Ein Erwachsener mit 75 kg muss sich bei \(r_2 = 30\,\text{kg} \cdot 2{,}0\,\text{m} / 75\,\text{kg} = 0{,}8\,\text{m}\) setzen.
Bei der ungleicharmigen Balkenwaage sind die beiden Arme verschieden lang. Ein kleines Gegengewicht am langen Arm wiegt eine große Last am kurzen Arm. Liegt ein Gegengewicht von 50 g am 12-cm-Arm im Gleichgewicht, beträgt die Last am 4-cm-Arm \(50\,\text{g} \cdot 12 / 4 = 150\,\text{g}\). Den praktischen Umgang mit Waagen als Messgeräte behandelt die Einheit zu Messgeräten.
Schwere Seite, kurzer Arm. Zur Probe muss Masse mal Abstand auf beiden Seiten dasselbe ergeben.
Quiz
Aussage 1
Verdoppelt man bei gleicher Last den Hebelarm der Gegenkraft, genügt für das Gleichgewicht die halbe Gegenkraft.
Kraft und Hebelarm sind umgekehrt proportional, das Produkt \(F \cdot l\) bleibt gleich.
Aussage 2
Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die vorzeichenrichtige Summe aller Drehmomente um den Drehpunkt null ergibt.
Das ist gleichwertig damit, dass die Summe der linksdrehenden gleich der Summe der rechtsdrehenden Drehmomente ist.
Aussage 3
Am schräg liegenden Stab ist der Hebelarm einer Gewichtskraft der horizontale Abstand ihres Angriffspunkts von der Drehachse.
Die Gewichtskraft wirkt senkrecht nach unten. Der senkrechte Abstand ihrer Wirkungslinie von der Achse ist daher der horizontale Abstand.
Aussage 4
Ein Gewicht, dessen Wirkungslinie durch die Drehachse geht, erzeugt das größte mögliche Drehmoment.
Sein Hebelarm ist null, daher ist auch sein Drehmoment null. Es fällt aus der Drehmomentbilanz heraus.
Aussage 5
Beim zweiarmigen Hebel liegt der Drehpunkt an einem Ende des Hebels.
Das beschreibt den einarmigen Hebel. Beim zweiarmigen Hebel liegt der Drehpunkt zwischen den Angriffspunkten der Kräfte.
Aussage 6
Im Gleichgewicht eines zweiarmigen Hebels müssen die Kräfte auf beiden Seiten gleich groß sein.
Gleich groß sein müssen die Drehmomente, also Kraft mal Hebelarm. Am längeren Arm genügt eine kleinere Kraft.
Aussage 7
Trägt ein 1,2 m langer masseloser Balken an den Enden 1 kg und 3 kg, liegt der Unterstützungspunkt 0,3 m von der 3-kg-Masse entfernt.
Aus \(1 \cdot a = 3 \cdot b\) und \(a + b = 1{,}2\,\text{m}\) folgt \(b = 0{,}3\,\text{m}\) und \(a = 0{,}9\,\text{m}\).
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