Laminare Rohrströmung und Hagen-Poiseuille-Gesetz
Wann eine Rohrströmung laminar bleibt, warum ihr Profil eine Parabel ist und wie das Hagen-Poiseuille-Gesetz Volumenströme und Auslaufzeiten im Kapillarviskosimeter liefert.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Hagen-Poiseuille-Gesetz \(I = \pi r^4 \Delta p/(8\eta l)\) beschreibt den Volumenstrom einer laminaren Strömung einer Newton’schen Flüssigkeit durch ein zylindrisches Rohr.
- Höhere Druckdifferenz, höhere Geschwindigkeit oder Temperaturerhöhung über sinkende Viskosität können die Strömung turbulent machen. Höhere Viskosität stabilisiert sie.
- Das laminare Geschwindigkeitsprofil ist eine Parabel: null an der Wand, maximal in der Achse.
- Bei konstantem Querschnitt fällt der statische Druck durch innere Reibung linear ab. Steigrohrhöhen sinken in gleichen Stufen.
- Der Volumenstrom ist proportional zu \(r^4\) bzw. \(A^2\), umgekehrt proportional zu \(\eta\) und \(l\) und unabhängig von der Dichte.
- Im Ostwald-Viskosimeter ist die Auslaufzeit proportional zu \(\eta\) und zu \(1/r^4\).
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Wie viel Flüssigkeit pro Zeit durch eine Kanüle oder Kapillare fließt, hängt vor allem vom Radius ab, und zwar mit der vierten Potenz. Das Hagen-Poiseuille-Gesetz fasst diesen Zusammenhang in eine Formel. In der Pharmazie steckt es hinter der Wahl der Kanülengröße und hinter der Viskositätsmessung mit dem Kapillarviskosimeter.
Laminar und turbulent
Bei laminarer Strömung gleiten Flüssigkeitsschichten geordnet aneinander vorbei und vermischen sich nicht. Man kann sich das wie ineinandergeschobene Röhren vorstellen, die unterschiedlich schnell nach vorn rutschen. Bei turbulenter Strömung bilden sich Wirbel, und die Schichten durchmischen sich ständig.
- Schichten bleiben getrennt
- Parabelprofil
- Hagen-Poiseuille gilt
- Wirbel und Durchmischung
- flaches Profil
- Hagen-Poiseuille gilt nicht
Das Gesetz setzt außerdem eine Newton’sche Flüssigkeit in einem zylindrischen Rohr voraus. Ihre Viskosität muss unabhängig von Druckdifferenz und Strömungsgeschwindigkeit sein. Dass sie von der Temperatur abhängt, stört dagegen nicht. Man setzt einfach den Wert bei der Messtemperatur ein.
Eine laminare Strömung kann in Turbulenz umschlagen. Das begünstigt alles, was die Flüssigkeit schneller macht oder ihre innere Reibung senkt:
- höhere antreibende Druckdifferenz
- höhere mittlere Strömungsgeschwindigkeit
- Temperaturerhöhung, weil die Viskosität dabei abnimmt
Eine höhere Viskosität wirkt umgekehrt. Sie dämpft Störungen und hält die Strömung laminar.
Geschwindigkeitsprofil
Die Flüssigkeit haftet an der Rohrwand. Diese Wandhaftung macht die Geschwindigkeit dort null. Jede weiter innen liegende Schicht wird von der äußeren gebremst, aber schwächer. In der Rohrachse ist die Geschwindigkeit deshalb maximal.
Das Geschwindigkeitsprofil gibt an, wie schnell die Flüssigkeit an jedem Ort des Querschnitts fließt. Bei laminarer Strömung einer Newton’schen Flüssigkeit ist es eine Parabel, mit \(x\) als Abstand von der Achse und \(R\) als Rohrradius:
\[v(x) = v_{\mathrm{max}}\left(1 - \frac{x^2}{R^2}\right)\]
Die Geschwindigkeit steigt also nicht linear vom Rand zur Mitte. Sie ist auch nicht über den Querschnitt konstant.
Im Pfeildiagramm erkennt man das laminare Profil an zwei Merkmalen: Die Pfeile an der Wand haben die Länge null, und die Pfeilspitzen liegen auf einer gekrümmten Linie. Ein spitzes Dreieck stünde für einen linearen Anstieg, gleich lange Pfeile für konstante Geschwindigkeit. Das turbulente Profil ist in der Mitte fast flach.
Druckabfall längs des Rohrs
In einem Rohr mit konstantem Querschnitt bleibt die Geschwindigkeit nach der Kontinuitätsgleichung überall gleich. Trotzdem sinkt der statische Druck in Strömungsrichtung. Grund ist die innere Reibung: Die Viskosität wandelt Strömungsenergie fortlaufend in Wärme um. Diese Energie fehlt stromabwärts als Druck.
Jedes gleich lange Rohrstück verbraucht gleich viel. Der Druck fällt daher linear mit der Rohrlänge. Steigrohre in gleichen Abständen machen das sichtbar. Ihre Füllhöhen sinken zum Auslauf hin in gleichen Stufen, etwa von 24 über 18 und 12 auf 6 cm. Die Verbindungslinie der Spiegel ist eine Gerade, die am offenen Auslauf die Höhe null erreicht.
Eine Skizze mit gleich hohen Spiegeln beschreibt also keine reale, reibungsbehaftete Strömung. Antrieb der Strömung ist das Druckgefälle \(\Delta p / l\). Der Volumenstrom ist proportional zu diesem Druckabfall je Längeneinheit.
Hagen-Poiseuille-Gesetz
Das Hagen-Poiseuille-Gesetz verbindet Rohrgeometrie, Flüssigkeit und Druckgefälle. Es liefert den Volumenstrom \(I\) einer laminaren Rohrströmung.
\[I = \frac{\pi r^4}{8\,\eta\,l}\,\Delta p\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(I\) | Volumenstrom | m³/s |
| \(r\) | Innenradius des Rohrs | m |
| \(\eta\) | dynamische Viskosität | Pa·s |
| \(l\) | Rohrlänge | m |
| \(\Delta p\) | Druckdifferenz zwischen Anfang und Ende | Pa |
Mit \(A = \pi r^2\) wird \(r^4 = A^2/\pi^2\). Eingesetzt folgt eine gleichwertige Form:
\[I = \frac{A^2}{8\pi\,\eta\,l}\,\Delta p\]
Der Volumenstrom wächst also mit dem Quadrat der Querschnittsfläche. Der Radius wirkt doppelt: Der Querschnitt wächst mit \(r^2\), und auch die mittlere Geschwindigkeit wächst mit \(r^2\). Im weiten Rohr fließt mehr Flüssigkeit fern der bremsenden Wand.
- doppelter Radius oder Durchmesser: 16-facher Volumenstrom
- doppelte Druckdifferenz: doppelter Volumenstrom
- doppelte Länge: halber Volumenstrom
- doppelte Viskosität: halber Volumenstrom
Die Dichte kommt in der Formel nicht vor. Warmes Wasser fließt bei sonst gleichen Bedingungen stärker durch eine Leitung als kaltes, weil seine Viskosität kleiner ist.
Eine Kanüle mit 0,5 mm Innendurchmesser liefert 0,5 mL/s. Wie viel liefert eine gleich lange mit 0,6 mm bei gleichem Druck?
- Verhältnis bilden: Alle übrigen Größen kürzen sich, also \(I_2/I_1 = (D_2/D_1)^4\).
- Einsetzen: \((0{,}6/0{,}5)^4 = 1{,}2^4 \approx 2{,}07\).
- Ergebnis: \(I_2 \approx 2{,}07 \cdot 0{,}5\ \mathrm{mL/s} \approx 1{,}04\ \mathrm{mL/s}\).
Für Verhältnisse darf man Durchmesser einsetzen, weil sich der Faktor 2 kürzt. Für absolute Werte braucht die Formel den Radius in Metern. Mit dem Durchmesser wird das Ergebnis 16-fach zu groß.
Daraus leiten sich Strömungswiderstand und Leitwert ab.
Kapillarviskosimeter
Das Kapillarviskosimeter nutzt das Gesetz zur Viskositätsmessung. Bekanntestes Beispiel ist das Ostwald-Viskosimeter. Gemessen wird die Auslaufzeit, in der der Meniskus von der oberen zur unteren Ringmarke der Messkugel sinkt.
Die Auslaufzeit ist Volumen durch Volumenstrom, \(t = V/I\). Mit Hagen-Poiseuille folgt:
\[t = \frac{8\,\eta\,l\,V}{\pi r^4\,\Delta p}\]
Bei gleichem Volumen, gleicher Länge und gleicher Druckdifferenz gilt \(t \propto \eta\) und \(t \propto 1/r^4\). Eine 1,5-fach viskosere Flüssigkeit braucht 1,5-mal so lange. Eine Kapillare mit halbem Radius verlängert die Zeit auf das 16-Fache, etwa von 40 s auf 640 s.
Im Ostwald-Viskosimeter treibt der Schweredruck der Flüssigkeit die Strömung an. Bei Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte gilt deshalb \(\eta_1/\eta_2 = \rho_1 t_1/(\rho_2 t_2)\). Man misst relativ zu einer Referenz wie Wasser. Auch das Arzneibuch beschreibt solche Kapillarviskosimeter.
Quiz
Aussage 1
Verdoppelt man den Kapillarradius eines Viskosimeters, halbiert sich die Auslaufzeit eines gleichen Volumens.
Die Auslaufzeit ist proportional zu \(1/r^4\). Bei doppeltem Radius sinkt sie auf ein Sechzehntel.
Aussage 2
In gleich weit entfernten Steigrohren auf einem durchströmten Rohr konstanten Querschnitts sinken die Füllhöhen zum Auslauf hin in gleichen Stufen.
Innere Reibung lässt den statischen Druck linear mit der Rohrlänge abfallen.
Aussage 3
Zwei Flüssigkeiten gleicher Viskosität, aber unterschiedlicher Dichte fließen bei gleicher Druckdifferenz durch dasselbe Rohr mit verschiedenem Volumenstrom.
Die Dichte kommt im Hagen-Poiseuille-Gesetz nicht vor. Bei gleicher Druckdifferenz ist der Volumenstrom gleich, er hängt von der Viskosität ab.
Aussage 4
Bei laminarer Rohrströmung nimmt die Geschwindigkeit von der Wand zur Rohrachse linear zu.
Das Profil ist parabelförmig: null an der Wand, maximal in der Achse, mit gekrümmtem Verlauf.
Aussage 5
Erwärmt man eine Flüssigkeit, kann ihre zuvor laminare Rohrströmung turbulent werden.
Die Viskosität sinkt mit steigender Temperatur, und geringere innere Reibung begünstigt den Umschlag in Turbulenz.
Aussage 6
Halbiert man den Innendurchmesser einer Kanüle bei sonst gleichen Bedingungen, sinkt der Volumenstrom auf ein Sechzehntel.
Der Volumenstrom ist proportional zur vierten Potenz von Radius oder Durchmesser: \((1/2)^4 = 1/16\).
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.