Gleichförmige Bewegung und mittlere Geschwindigkeit
Wie man mit konstanter Geschwindigkeit Wege und Zeiten berechnet, Begegnungs- und Einholzeiten bestimmt und die mittlere Geschwindigkeit über mehrere Abschnitte richtig bildet.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine gleichförmige Bewegung hat eine zeitlich konstante Geschwindigkeit, ist unbeschleunigt und folgt \(s = v \cdot t\) bzw. \(t = s/v\).
- Bei fester Strecke gilt doppelte Geschwindigkeit, halbe Zeit; über mehrere Abschnitte ist die Gesamtzeit die Summe der Teilzeiten \(\sum s_i/v_i\).
- Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt etwa \(3 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}\).
- Begegnungszeit \(t = s/(v_A + v_B)\), Einholzeit \(t = \Delta s/(v_1 - v_2)\); den Treffpunkt liefert das Gleichsetzen der Weg-Zeit-Gesetze.
- Die mittlere Geschwindigkeit ist Gesamtweg durch Gesamtzeit und nur bei gleich langen Zeitabschnitten gleich dem arithmetischen Mittel der Teilgeschwindigkeiten.
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Worum es geht
Die gleichförmige Bewegung ist der einfachste Fall der Kinematik: Ein Körper legt in gleichen Zeiten gleiche Wege zurück. Mit nur einer Formel lassen sich daraus Fahrzeiten, Treffpunkte und Durchschnittsgeschwindigkeiten berechnen. Das Rechnen mit Teilstrecken und Einheiten trainiert zugleich das saubere Umgehen mit Größen, das jede pharmazeutische Rechnung braucht.
Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung
Eine Bewegung heißt gleichförmig, wenn die Geschwindigkeit zeitlich konstant bleibt. Der Körper wird weder schneller noch langsamer, er bewegt sich also unbeschleunigt. In jeder Sekunde kommt dieselbe Wegstrecke hinzu. Wie man Geschwindigkeit als Steigung abliest, steht bei den Bewegungsdiagrammen.
\[s = v \cdot t \qquad t = \frac{s}{v}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(s\) | zurückgelegter Weg | m |
| \(v\) | konstante Geschwindigkeit | m/s |
| \(t\) | benötigte Zeit | s |
Startet der Körper nicht im Ursprung, sondern am Ort \(s_0\), gilt \(s(t) = s_0 + v \cdot t\). Im s-t-Diagramm entsteht dann eine Gerade mit Achsenabschnitt \(s_0\). Ihre Steigung ist die Geschwindigkeit. Im v-t-Diagramm liegt eine waagerechte Linie. Die Fläche darunter, ein Rechteck aus \(v\) mal \(t\), ist genau der zurückgelegte Weg.
Ein linear mit der Zeit wachsender Weg und eine konstante Geschwindigkeit sind also zwei Seiten derselben Sache: einer gleichförmigen Bewegung ohne Beschleunigung.
Proportionalitäten und Teilstrecken
Bei fester Zeit wächst der Weg proportional zur Geschwindigkeit. Bei fester Strecke verhält sich die Zeit umgekehrt: Doppelte Geschwindigkeit, halbe Zeit. Für zwei Fahrzeuge auf derselben Strecke gilt daher \(t_1 / t_2 = v_2 / v_1\). Ein Zug, der dreimal so schnell fährt wie ein Bus, braucht ein Drittel der Busfahrzeit.
Besteht eine Fahrt aus mehreren Abschnitten mit je eigener Geschwindigkeit, rechnet man jede Teilzeit einzeln aus und addiert:
\[t_\mathrm{ges} = \sum_i \frac{s_i}{v_i}\]
Diese Summe der Teilzeiten wird im Examen gerne gefragt, oft mit zwei gleich langen Teilstrecken. Beispiel: 30 km mit 60 km/h dauern 0,5 h, weitere 30 km mit 90 km/h dauern 20 min. Die Gesamtzeit beträgt 50 min.
Rechnen mit Einheiten
Die Formel ist einfach. Die meisten Fehler passieren beim Umrechnen. Ein Beispiel mit sehr kleiner Geschwindigkeit und sehr langer Zeit:
- Größen notieren: Eine Kontinentalplatte driftet mit \(v = 4\) cm pro Jahr, betrachtet werden \(t = 2{,}5 \cdot 10^{6}\) Jahre.
- Einsetzen: \(s = 4\,\mathrm{cm/a} \cdot 2{,}5 \cdot 10^{6}\,\mathrm{a} = 1 \cdot 10^{7}\,\mathrm{cm}\). Die Jahre kürzen sich.
- Umrechnen: \(1\,\mathrm{km} = 10^{3}\,\mathrm{m} = 10^{5}\,\mathrm{cm}\), also \(s = 10^{7} / 10^{5}\,\mathrm{km} = 100\,\mathrm{km}\).
- Prüfen: Winzige Geschwindigkeit mal riesige Zeit ergibt eine merkliche Strecke. Das Ergebnis ist plausibel.
Genauso im Mikrobereich: Ein Bakterium mit 25 µm/s schwimmt in 2 min \(25\,\mathrm{µm/s} \cdot 120\,\mathrm{s} = 3000\,\mathrm{µm}\). Wegen \(1\,\mathrm{mm} = 1000\,\mathrm{µm}\) sind das 3 mm. Hilfe zu Präfixen und zusammengesetzten Einheiten gibt es beim Umrechnen zusammengesetzter Einheiten.
Am anderen Ende der Skala steht die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum mit etwa \(3 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}\). Licht braucht für die rund \(1{,}5 \cdot 10^{11}\) m von der Sonne zur Erde daher etwa 500 s, also gut 8 min.
Typische Fehler sind schnell aufgezählt. Man vertauscht Zähler und Nenner, obwohl \(t = s/v\) gilt und nicht \(v/s\). Man vergisst den Faktor 3,6 zwischen km/h und m/s. Oder man mischt Minuten und Stunden in einer Rechnung.
Begegnen und Einholen
Bewegen sich zwei Körper auf derselben Geraden, interessiert oft nur, wie schnell sich ihr Abstand ändert. Dafür nimmt man den Standpunkt eines der beiden ein.
Die Relativgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Abstand zweier Körper ändert. Auf einer Geraden ist sie die Summe der Beträge bei Gegenbewegung und die Differenz bei gleicher Richtung.
Der Abstand schrumpft also mit der Relativgeschwindigkeit. Die Zeit bis zum Treffen ist dann einfach Abstand durch Relativgeschwindigkeit.
\(v_\mathrm{rel} = v_A + v_B\)
\(t = \dfrac{s}{v_A + v_B}\)
Beispiel: 100 km Abstand, 60 km/h und 40 km/h ergeben 1 h.
\(v_\mathrm{rel} = v_1 - v_2\)
\(t = \dfrac{\Delta s}{v_1 - v_2}\)
Nur möglich, wenn der Verfolger schneller ist.
Einholen und Treffpunkt
Ein Rettungswagen fährt mit 90 km/h los. Ein Transporter ist ihm 12 km voraus und fährt mit 60 km/h. Der Rettungswagen holt pro Stunde 30 km auf. Für 12 km Vorsprung braucht er \(t = 12\,\mathrm{km} / 30\,\mathrm{km/h} = 0{,}4\,\mathrm{h}\), also 24 min.
Den Treffpunkt liefert das Gleichsetzen der beiden Weg-Zeit-Gesetze. Am Treffpunkt sind beide am selben Ort:
\[v_1 t = s_0 + v_2 t \quad \Rightarrow \quad 90 t = 12 + 60 t \quad \Rightarrow \quad t = 0{,}4\,\mathrm{h}\]
Eingesetzt ergibt sich der Ort \(s = 90\,\mathrm{km/h} \cdot 0{,}4\,\mathrm{h} = 36\,\mathrm{km}\). Im s-t-Diagramm ist das genau der Schnittpunkt der beiden Geraden.
Hin- und Rückflug mit Wind
Ein Flugzeug mit Eigengeschwindigkeit \(v\) fliegt eine Strecke \(s\) hin und zurück. Konstanter Wind \(w\) bläst auf dem Hinweg von hinten, auf dem Rückweg von vorn. Über Grund zählen dann \(v + w\) und \(v - w\). Jede Teilzeit wird einzeln berechnet:
\[t = \frac{s}{v+w} + \frac{s}{v-w}\]
Zahlenbeispiel: \(s = 300\) km, \(v = 200\) km/h, \(w = 50\) km/h. Der Hinweg dauert \(300/250 = 1{,}2\) h, der Rückweg \(300/150 = 2\) h. Zusammen sind das 3,2 h statt 3 h bei Windstille.
Konstanter Wind verlängert jeden Hin- und Rückflug. Mit Gegenwind fliegt man länger, als man mit Rückenwind Zeit gewinnt.
Mittlere Geschwindigkeit
Kaum eine Fahrt verläuft mit konstanter Geschwindigkeit. Man fasst sie dann mit einem einzigen Wert zusammen: Mit welcher konstanten Geschwindigkeit hätte man dieselbe Strecke in derselben Zeit geschafft?
\[\bar v = \frac{s_\mathrm{ges}}{t_\mathrm{ges}} = \frac{s_1 + s_2 + \dots}{t_1 + t_2 + \dots}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\bar v\) | mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) | m/s |
| \(s_\mathrm{ges}\) | Summe aller Teilwege | m |
| \(t_\mathrm{ges}\) | Summe aller Teilzeiten | s |
Die mittlere Geschwindigkeit ist also Gesamtweg durch Gesamtzeit. Sie ist im Allgemeinen nicht das arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten. Der Grund: Jede Teilgeschwindigkeit zählt so viel, wie lange man mit ihr unterwegs ist. Langsame Abschnitte dauern länger und ziehen den Mittelwert stärker nach unten.
Gleiche Strecken, ungleiche Zeiten
Eine Fahrt führt 20 km hin mit 30 km/h und dieselben 20 km zurück mit 60 km/h. Der Hinweg dauert 40 min, der Rückweg nur 20 min. Insgesamt sind es 40 km in 1 h. Die mittlere Geschwindigkeit beträgt 40 km/h, nicht 45 km/h.
Für zwei gleich lange Teilstrecken lässt sich das allgemein schreiben:
\[\bar v = \frac{s_1 + s_2}{s_1/v_1 + s_2/v_2} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}\]
Das arithmetische Mittel stimmt nur in einem Sonderfall: wenn beide Abschnitte gleich lange dauern. Wer 20 min mit 90 km/h und 20 min mit 30 km/h fährt, hat tatsächlich im Mittel 60 km/h.
Die mittlere Geschwindigkeit aus Teilabschnitten wird im Examen gerne gefragt. Immer zuerst die Teilzeiten mit \(t_i = s_i/v_i\) bestimmen und dann Gesamtweg durch Gesamtzeit teilen. Bei gleichen Strecken liegt das Ergebnis stets unter dem arithmetischen Mittel.
Gesamtweg und fehlende Teilgeschwindigkeit
Sind statt der Strecken die Dauern gegeben, rechnet man zuerst die Teilwege mit \(s_i = \bar v_i \cdot t_i\) aus. Beispiel: 20 min mit 90 km/h ergeben 30 km. Weitere 40 min mit 45 km/h ergeben ebenfalls 30 km. Das sind 60 km in 1 h, also 60 km/h. Genauso wertet man Förderbänder einer Tablettenstraße aus: Länge durch Bandgeschwindigkeit ergibt die Teilzeit, dann Gesamtlänge durch Gesamtzeit.
Umgekehrt lässt sich eine fehlende Teilgeschwindigkeit bestimmen. Die Zielgeschwindigkeit legt dabei die Gesamtzeit fest:
- Gesamtzeit aus dem Ziel: 120 km sollen mit \(\bar v = 60\) km/h gefahren werden, also \(t_\mathrm{ges} = 2\) h.
- Erste Teilzeit: Die ersten 60 km mit 40 km/h dauern \(t_1 = 1{,}5\) h.
- Restzeit: Für die zweiten 60 km bleiben \(t_2 = 2\,\mathrm{h} - 1{,}5\,\mathrm{h} = 0{,}5\) h.
- Fehlende Geschwindigkeit: \(v_2 = 60\,\mathrm{km} / 0{,}5\,\mathrm{h} = 120\) km/h, nicht 80 km/h wie beim naiven Mitteln.
Der häufigste Fehler bleibt das Mitteln der Geschwindigkeiten statt der Rechnung über die Zeiten. Wer konsequent Wege und Zeiten addiert, kommt immer zum richtigen Ergebnis.
Quiz
Aussage 1
Fährt man eine feste Strecke mit doppelter konstanter Geschwindigkeit, verdoppelt sich die benötigte Zeit.
Wegen \(t = s/v\) halbiert sich die Zeit bei doppelter Geschwindigkeit.
Aussage 2
Die mittlere Geschwindigkeit einer Fahrt erhält man, indem man den gesamten Weg durch die gesamte Zeit teilt.
Definition: \(\bar v = s_\mathrm{ges}/t_\mathrm{ges}\), also Summe der Teilwege durch Summe der Teilzeiten.
Aussage 3
Dauern zwei Fahrabschnitte gleich lange, entspricht die mittlere Geschwindigkeit dem arithmetischen Mittel der beiden Teilgeschwindigkeiten.
Jede Teilgeschwindigkeit wird mit ihrer Dauer gewichtet. Bei gleichen Dauern sind die Gewichte gleich, das arithmetische Mittel stimmt.
Aussage 4
Für zwei aufeinander zufahrende Fahrzeuge ist die Relativgeschwindigkeit die Summe der beiden Geschwindigkeitsbeträge.
Bei Gegenbewegung schrumpft der Abstand mit \(v_A + v_B\), daher \(t = s/(v_A + v_B)\).
Aussage 5
Bei konstantem Wind dauert ein Hin- und Rückflug genauso lange wie bei Windstille, weil sich Gegen- und Rückenwind ausgleichen.
Nach \(t = s/(v+w) + s/(v-w)\) wird die Gesamtzeit mit Wind immer länger, weil man mit Gegenwind mehr Zeit verliert, als man mit Rückenwind gewinnt.
Aussage 6
Licht legt im Vakuum etwa \(3 \cdot 10^{5}\,\mathrm{m}\) pro Sekunde zurück.
Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt etwa \(3 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}\), das entspricht \(3 \cdot 10^{5}\,\mathrm{km/s}\).
Aussage 7
Wer eine Strecke hin mit 40 km/h und dieselbe Strecke zurück mit 60 km/h fährt, hat eine mittlere Geschwindigkeit von 50 km/h.
Bei gleichen Strecken gilt \(\bar v = 2 v_1 v_2/(v_1 + v_2) = 4800/100\,\mathrm{km/h} = 48\,\mathrm{km/h}\), weil der langsame Abschnitt länger dauert.
Aussage 8
Bei einer gleichförmigen Bewegung ergibt das s-t-Diagramm eine Gerade und das v-t-Diagramm eine waagerechte Linie.
Der Weg wächst linear mit der Zeit, die Steigung ist die konstante Geschwindigkeit. Im v-t-Diagramm bleibt \(v\) konstant.
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