Gesamtdruck mit Luftdruck und Stempeldruck
Wie sich der Druck in einer Flüssigkeit aus Schweredruck und äußerem Druck zusammensetzt und wie der Luftdruck mit der Höhe abnimmt.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Gesamtdruck in einer Flüssigkeit ist die Summe aus äußerem Druck und Schweredruck: \(p = p_\mathrm{Luft} + \rho g h\).
- In 10 m Wassertiefe herrscht bei Normaldruck etwa 2 bar, weil 10 m Wasser rund 1 bar beitragen.
- Mit Stempel gilt \(p = F/A + \rho g h\); gleiche Anteile liegen bei der Füllhöhe \(h = F/(A \rho g)\).
- Der Luftdruck nimmt mit der Höhe exponentiell ab (barometrische Höhenformel), in etwa 5,5 km ist er halbiert.
- In Bodennähe sinkt der Luftdruck um etwa 1 hPa je 8 m; unter dem Meeresspiegel liegt er über 1013 hPa.
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Worum es geht
Der Druck in einer Flüssigkeit stammt nie nur von der Flüssigkeitssäule selbst. Auf die Oberfläche drückt zusätzlich die Luft oder ein Stempel, und beide Anteile addieren sich. Das braucht man für Taucherrechnungen, Spritzen und Infusionen genauso wie für das Verständnis von Barometerwerten.
Luftdruck und Schweredruck
Den Schweredruck einer Wassersäule kennst du schon. Er beschreibt aber nur den Druck, den die Flüssigkeit selbst erzeugt. Auf die offene Oberfläche drückt zusätzlich der Luftdruck, also das Gewicht der darüberliegenden Luftsäule pro Fläche. Flüssigkeiten geben diesen Druck unverändert in jede Tiefe weiter. Der Gesamtdruck ist deshalb die Summe beider Anteile.
\[p = p_\mathrm{Luft} + \rho g h\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(p\) | Gesamtdruck in der Tiefe \(h\) | Pa |
| \(p_\mathrm{Luft}\) | äußerer Luftdruck an der Oberfläche | Pa |
| \(\rho\) | Dichte der Flüssigkeit | kg/m³ |
| \(g\) | Fallbeschleunigung, 9,81 m/s² | m/s² |
| \(h\) | Tiefe unter der Oberfläche | m |
Zehn Meter Wasser erzeugen rund 1 bar. In 10 m Tiefe herrscht bei Normaldruck also etwa 2 bar. Der Gesamtdruck hängt damit vom Wetter und von der Höhenlage ab. In einem Bergsee ist er in gleicher Tiefe kleiner als im Meer.
Stempeldruck und Schweredruck
Schließt ein belasteter Stempel das Gefäß ab, tritt der Stempeldruck \(F/A\) an die Stelle des äußeren Drucks. Es gilt \(p = F/A + \rho g h\). Am Boden wirkt dieser Druck in alle Richtungen, also auch auf ein seitliches Fenster.
- Stempeldruck: \(F = 200\) N auf \(A = 0{,}01\) m² ergibt \(p_\mathrm{Stempel} = 20\,000\) Pa.
- Schweredruck: Wasser mit \(h = 0{,}5\) m ergibt \(1000 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}5 \approx 4\,905\) Pa.
- Summe am Fenster: \(p \approx 24\,905\) Pa, also rund 24,9 kPa.
- Gleiche Anteile: Aus \(\rho g h = F/A\) folgt \(h = F/(A \rho g) = 20\,000/9\,810 \approx 2{,}04\) m.
Typische Fehler sind Flächen in cm² statt m² und vergessene Dichte. Je dichter die Flüssigkeit, desto kleiner die Füllhöhe gleicher Anteile.
Luftdruck und Höhe
Luft ist kompressibel. Unten wird sie vom Gewicht der Luft darüber zusammengedrückt und ist dichter. Deshalb nimmt der Luftdruck nach oben exponentiell ab, nicht linear. Das beschreibt die barometrische Höhenformel \(p(h) = p_0 \cdot e^{-h/H}\) mit einer Skalenhöhe \(H\) von etwa 8 km.
In rund 5,5 km Höhe herrscht nur noch die Hälfte, bei 11 km ein Viertel. Trägt man den Druck auf der x-Achse und die Höhe auf der y-Achse auf, startet die richtige Kurve bei 1013 hPa und biegt sich zur Höhenachse hin, ohne sie zu erreichen. Eine Gerade ist falsch.
In Bodennähe ist die Luftdichte fast konstant, rund 1,2 kg/m³. Dort gilt näherungsweise \(\Delta p = \rho_\mathrm{Luft} g \Delta h\). Für 8 m ergibt das etwa 94 Pa, also 1 hPa je 8 m. Unter dem Meeresspiegel ist der Druck höher als 1013 hPa. Am Toten Meer bei etwa 400 m unter Meereshöhe sind es rund 50 hPa mehr, also etwa 1063 hPa.
Quiz
Aussage 1
Herrscht an der Wasseroberfläche Normaldruck, beträgt der Gesamtdruck in 10 m Tiefe ungefähr 2 bar.
Etwa 1 bar Luftdruck plus rund 1 bar Schweredruck der 10 m hohen Wassersäule.
Aussage 2
Die Füllhöhe, bei der Schweredruck und Stempeldruck gleich groß sind, ist unabhängig von der Dichte der Flüssigkeit.
Aus \(\rho g h = F/A\) folgt \(h = F/(A \rho g)\). Je größer die Dichte, desto kleiner die Füllhöhe.
Aussage 3
Der Luftdruck nimmt gleichmäßig um 1 hPa je 8 m ab und erreicht daher in etwa 8 km Höhe den Wert null.
Die Abnahme ist exponentiell. Die Näherung 1 hPa je 8 m gilt nur in Bodennähe; in 5,5 km herrscht noch etwa die Hälfte des Bodendrucks.
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