Hooke’sches Gesetz und elastische Verformung
Das Hooke’sche Gesetz beschreibt, wie Federn und Drähte sich unter Zug proportional zur Kraft verformen, und wo dieser elastische Bereich endet.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Hooke’sche Gesetz \(F = D \cdot \Delta l\) beschreibt die elastische Verformung: Im Proportionalitätsbereich ist die Dehnung proportional zur angreifenden Kraft.
- Die Federkonstante \(D = F/\Delta l\) hat die Einheit N/m und ist keine reine Zahl.
- An der hängenden Feder gilt das Gleichgewicht \(m \cdot g = D \cdot \Delta l\); Masse in kg und Dehnung in m einsetzen.
- In der Reihenschaltung trägt jede Feder die volle Kraft, zwei gleiche Federn dehnen sich zusammen doppelt so weit; in der Parallelschaltung addieren sich die Federkonstanten, die Dehnung halbiert sich.
- Der Elastizitätsmodul ist materialspezifisch, \(\sigma = E \cdot \varepsilon\); die Längenänderung eines Drahtes ist proportional zu Kraft und Länge und umgekehrt proportional zum Querschnitt.
- Nach plastischer Verformung bleibt beim Entlasten eine bleibende Dehnung zurück.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Das Hooke’sche Gesetz verknüpft die Kraft auf einen elastischen Körper mit seiner Verformung. Es gehört zur Dynamik und erklärt zum Beispiel, warum eine Federwaage eine gleichmäßig geteilte Skala hat. Mit derselben Idee beschreibt man auch Drähte und Werkstoffe über den Elastizitätsmodul.
Elastische und plastische Verformung
Jeder feste Körper verformt sich, wenn eine Kraft an ihm zieht oder drückt. Geht er nach dem Entlasten vollständig in seine alte Form zurück, spricht man von elastischer Verformung. Eine Stahlfeder oder ein Gummiband unter kleiner Last verhält sich so.
Zieht man stärker, wird die Belastungsgrenze des Materials überschritten. Dann bleibt nach dem Entlasten eine Restverformung. Ein verbogener Draht, der nicht mehr zurückfedert, ist das Alltagsbeispiel.
Verformung, die nach dem Entlasten bestehen bleibt. Atomlagen im Material verschieben sich dabei dauerhaft gegeneinander, statt nur elastisch auseinandergezogen zu werden.
Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm
Wie sich ein Werkstoff unter Zug verhält, zeigt das Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Auf der x-Achse steht die relative Dehnung, auf der y-Achse die Zugspannung. Beide Größen führt der letzte Abschnitt genau ein. Bei einem Metall durchläuft die Kurve mehrere Bereiche:
- Proportionalitätsbereich: Die Kurve ist eine Gerade durch den Ursprung. Spannung und Dehnung sind proportional, hier gilt das Hooke’sche Gesetz. Der Bereich endet an der Proportionalitätsgrenze.
- Elastizitätsgrenze: Bis hierhin geht der Körper beim Entlasten noch vollständig zurück, auch wenn die Kurve schon leicht gekrümmt ist.
- Streckgrenze und plastischer Bereich: Das Material beginnt zu fließen. Die Dehnung wächst stark, die Spannung kaum noch.
- Zugfestigkeit und Bruch: Am Maximum der Kurve ist die höchste Spannung erreicht. Danach schnürt sich die Probe ein und reißt.
Entlastet man im plastischen Bereich, läuft die Kurve auf einer Geraden parallel zur Anfangsgeraden zurück. Sie trifft die x-Achse nicht mehr im Ursprung. Der Abstand dorthin ist die bleibende Dehnung.
Alle Rechnungen dieser Einheit setzen voraus, dass man im geraden Anfangsteil bleibt. Nur dort ist die Verformung elastisch und proportional zur Kraft.
Hooke’sches Gesetz und Federkonstante
Im Proportionalitätsbereich gilt für eine Feder ein einfacher Zusammenhang. Die Federkraft wächst im selben Verhältnis wie die Dehnung. Umgekehrt dehnt sich die Feder proportional zur angreifenden Kraft. Das ist das Hooke’sche Gesetz.
\[F = D \cdot \Delta l\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(F\) | angreifende Kraft bzw. Federkraft | N |
| \(D\) | Federkonstante (auch \(k\)) | N/m |
| \(\Delta l\) | Dehnung, Längenänderung oder Auslenkung (auch \(s\), \(\Delta s\), \(\Delta x\)) | m |
Die Formelzeichen für die Dehnung wechseln von Buch zu Buch. Gemeint ist immer dieselbe Größe: wie weit die Feder gegenüber dem entspannten Zustand länger geworden ist.
Proportional heißt: Doppelte Kraft gibt doppelte Dehnung, dreifache Kraft dreifache Dehnung. Im Kraft-Dehnungs-Diagramm entsteht eine Ursprungsgerade. Ihre Steigung ist die Federkonstante. Eine Federwaage nutzt genau das, denn ihre Skala ist gleichmäßig geteilt.
Die Federkonstante
Stellt man das Gesetz um, erhält man die Federkonstante als Verhältnis von Kraft zu Längenänderung:
\[D = \frac{F}{\Delta l}\]
Sie sagt, wie viel Kraft je Meter Dehnung nötig ist. Eine harte Feder hat ein großes \(D\), eine weiche ein kleines. Die Federkonstante ist keine reine Zahl. Sie ist eine dimensionsbehaftete Größe mit der Einheit N/m, gleichbedeutend mit kg/s².
Gleichgewicht an der hängenden Feder
Hängt man eine Masse \(m\) an eine senkrechte Feder, zieht die Gewichtskraft \(F_G = m \cdot g\) nach unten. Die Feder dehnt sich, bis ihre Rückstellkraft nach oben gleich groß ist. Dann herrscht Kräftegleichgewicht, und die Masse hängt still.
Aus der Gleichheit beider Kräfte folgt die Grundgleichung für alle Rechnungen an hängenden Federn:
\[m \cdot g = D \cdot \Delta l\]
Je nach gesuchter Größe stellt man um: \(\Delta l = \frac{m g}{D}\) für die Dehnung, \(D = \frac{m g}{\Delta l}\) für die Federkonstante und \(m = \frac{D \cdot \Delta l}{g}\) für die Masse.
Dehnung, Federkonstante oder Masse aus \(m \cdot g = D \cdot \Delta l\) zu berechnen, wird im Examen gerne gefragt. Rechne die Masse vorher von g in kg und die Dehnung von cm in m um, sonst liegt das Ergebnis um Zehnerpotenzen daneben.
- Aufgabe: Eine Federwaage dehnt sich unter einem Wägestück von 150 g um 3,0 cm. Gesucht ist \(D\), mit \(g = 9{,}81\) m/s².
- Einheiten umrechnen: \(m = 0{,}150\) kg und \(\Delta l = 0{,}030\) m.
- Gewichtskraft: \(F = m \cdot g = 0{,}150 \text{ kg} \cdot 9{,}81 \text{ m/s}^2 \approx 1{,}47\) N.
- Federkonstante: \(D = F/\Delta l = 1{,}47 \text{ N} / 0{,}030 \text{ m} \approx 49\) N/m.
- Umkehrung: Hängt man 400 g an dieselbe Feder, dehnt sie sich um \(\Delta l = \frac{0{,}400 \cdot 9{,}81}{49} \text{ m} \approx 0{,}080\) m, also 8,0 cm.
Die Umkehrung lässt sich mit der Proportionalität prüfen. 400 g sind das 2,67-Fache von 150 g, also wird auch die Dehnung 2,67-mal so groß. Wer für \(D\) eine Einheit wie N/cm erhält, hat nicht in Meter umgerechnet. Die in der gedehnten Feder gespeicherte Energie behandelt Kinetische Energie und Spannenergie, das schwingende Federpendel die Einheit Eigenfrequenz von Federpendel und Schwingkreis.
Federn in Reihe und parallel
Mehrere Federn lassen sich hintereinander oder nebeneinander kombinieren. Das Hooke’sche Gesetz gilt dabei für jede einzelne Feder. Entscheidend ist nur, welche Kraft auf welche Feder wirkt.
In der Reihenschaltung hängen die Federn übereinander. Die untere zieht mit der vollen Last an der oberen. Bei masselosen Federn trägt daher jede Feder die volle angreifende Kraft. Jede dehnt sich so weit, als hinge die Last allein an ihr, und die Dehnungen addieren sich.
In der Parallelschaltung hängen die Federn nebeneinander an einem gemeinsamen Querbalken. Sie teilen sich die Last, während ihre Dehnung gleich ist. Deshalb addieren sich hier die Federkonstanten: \(D_{ges} = D_1 + D_2\).
- Kraft je Feder: \(F\)
- Dehnung je Feder: \(\Delta l\)
- Gesamtdehnung: \(2\Delta l\)
- Gesamtfederkonstante: \(D/2\)
- Kraft je Feder: \(F/2\)
- Dehnung: \(\Delta l/2 = \frac{F}{2D}\)
- Gesamtfederkonstante: \(2D\)
- allgemein: \(D_{ges} = D_1 + D_2\)
Man kann sich das wie zwei Personen vorstellen, die ein Gewicht halten. Stehen sie nebeneinander, trägt jede die Hälfte. Hängt die eine an der anderen, muss die obere die ganze Last halten und die untere ebenfalls.
Für Aufgaben folgt daraus ein Vorteil. Kennt man die Dehnung einer einzelnen Feder unter der Last, braucht man weder Masse noch Federkonstante. Dehnt sich eine Feder unter einem Gewicht um 4 cm, ergibt die Reihe aus zwei gleichen Federn 8 cm, die Parallelschaltung 2 cm.
Sind die Federn verschieden, rechnet man jede einzeln mit \(\Delta x = F/D\). Ein Beispiel: Eine Last von 6 N hängt an zwei Federn in Reihe mit 200 N/m und 300 N/m. Beide tragen 6 N. Die erste dehnt sich um 3 cm, die zweite um 2 cm, zusammen also um 5 cm.
Bei Federn addieren sich die Konstanten in der Parallelschaltung, bei elektrischen Widerständen dagegen in der Reihe. Für Federn in Reihe gilt \(\frac{1}{D_{ges}} = \frac{1}{D_1} + \frac{1}{D_2}\).
Spannung, Dehnung und Elastizitätsmodul
Eine Federkonstante beschreibt immer ein bestimmtes Bauteil. Eine lange, dünne Feder ist weicher als eine kurze, dicke aus demselben Stahl. Die Federkonstante ist deshalb keine Materialkonstante, sondern hängt auch von der Geometrie ab. Um das Material selbst zu kennzeichnen, bezieht man Kraft und Dehnung auf die Abmessungen.
Die Zugspannung \(\sigma = F/A\) ist die Kraft pro Querschnittsfläche, gemessen in N/m² = Pa. Die relative Dehnung \(\varepsilon = \Delta l / l\) ist die Längenänderung bezogen auf die Ausgangslänge. Als Verhältnis zweier Längen ist sie dimensionslos und wird oft in Prozent angegeben.
In dieser Form lautet das Hooke’sche Gesetz: Die Zugspannung ist proportional zur relativen Dehnung. Der Proportionalitätsfaktor ist der Elastizitätsmodul \(E\).
\[\frac{F}{A} = E \cdot \frac{\Delta l}{l} \qquad \text{bzw.} \qquad \sigma = E \cdot \varepsilon\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\sigma = F/A\) | Zugspannung | N/m² = Pa |
| \(\varepsilon = \Delta l/l\) | relative Dehnung | 1 |
| \(E\) | Elastizitätsmodul | N/m² = Pa |
| \(l\) | Ausgangslänge | m |
| \(A\) | Querschnittsfläche | m² |
Der Elastizitätsmodul ist eine materialspezifische Größe. Er entspricht der Steigung der Anfangsgeraden im Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Stahl liegt bei etwa 200 GPa, Aluminium bei etwa 70 GPa. Gummi ist mit wenigen MPa um Größenordnungen weicher. Ein steifes Material hat also ein großes \(E\).
Löst man nach der Längenänderung auf, erkennt man die Einflussgrößen:
\[\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot E}\]
Die Längenänderung eines elastischen Fadens ist proportional zur Kraft und zur Ausgangslänge. Sie ist umgekehrt proportional zum Querschnitt und zum Elastizitätsmodul. Ein doppelt so langer Faden dehnt sich doppelt so weit, einer mit doppeltem Querschnitt nur halb so weit. Der Vergleich mit \(F = D \cdot \Delta l\) verbindet beide Größen: Für einen Draht gilt \(D = E \cdot A / l\). Das Material steckt in \(E\), die Geometrie in \(A\) und \(l\).
- Aufgabe: Ein Stahldraht mit \(E = 2 \cdot 10^{11}\) N/m², 2,0 m Länge und 0,50 mm² Querschnitt trägt 100 N.
- Einheiten: \(A = 0{,}50 \text{ mm}^2 = 5 \cdot 10^{-7} \text{ m}^2\), denn 1 mm² = \(10^{-6}\) m².
- Spannung: \(\sigma = F/A = 100 \text{ N} / (5 \cdot 10^{-7} \text{ m}^2) = 2 \cdot 10^{8}\) Pa.
- Relative Dehnung: \(\varepsilon = \frac{F}{A \cdot E} = \frac{2 \cdot 10^{8}}{2 \cdot 10^{11}} = 10^{-3}\), also 0,1 %.
- Längenänderung: \(\Delta l = \varepsilon \cdot l = 10^{-3} \cdot 2{,}0 \text{ m} = 2{,}0\) mm.
Umgekehrt erhält man den Elastizitätsmodul aus einer Messung mit \(E = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}\). Der häufigste Fehler ist dabei die Flächeneinheit. Ein Quadratmillimeter entspricht \(10^{-6}\) m², nicht \(10^{-3}\) m².
Quiz
Aussage 1
Bei parallel geschalteten Federn ist die Gesamtfederkonstante die Summe der einzelnen Federkonstanten.
Es gilt \(D_{ges} = D_1 + D_2\), weil sich die Last bei gleicher Dehnung auf die Federn verteilt.
Aussage 2
Eine Masse von 200 g dehnt eine Feder mit \(D = 20\) N/m um etwa 9,8 cm (\(g = 9{,}81\) m/s²).
\(\Delta l = m g / D = 0{,}200 \cdot 9{,}81 / 20\) m \(\approx 0{,}098\) m.
Aussage 3
Verdoppelt man bei gleicher Kraft den Querschnitt eines elastischen Drahtes, halbiert sich seine Längenänderung.
Aus \(\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot E}\) folgt: Die Längenänderung ist umgekehrt proportional zum Querschnitt.
Aussage 4
Die Federkonstante ist wie der Elastizitätsmodul allein durch das Material festgelegt.
Nur der Elastizitätsmodul ist materialspezifisch. Die Federkonstante hängt auch von der Geometrie ab, für einen Draht gilt \(D = E \cdot A / l\).
Aussage 5
Die Federkonstante ist eine dimensionslose Kennzahl einer Feder.
Die Federkonstante \(D = F/\Delta l\) ist dimensionsbehaftet und hat die Einheit N/m.
Aussage 6
Verdoppelt man die an einer elastischen Feder angreifende Kraft, verdoppelt sich im Proportionalitätsbereich auch ihre Dehnung.
Nach dem Hooke’schen Gesetz \(F = D \cdot \Delta l\) sind Kraft und Dehnung proportional.
Aussage 7
Hängen zwei gleiche, masselose Federn übereinander, trägt jede nur die halbe Last.
In der Reihenschaltung wirkt auf jede Feder die volle Kraft; die Gesamtdehnung verdoppelt sich.
Aussage 8
Wird ein Metall im plastischen Bereich entlastet, kehrt es entlang der Anfangsgeraden in den Ursprung zurück.
Die Entlastung verläuft parallel zur Anfangsgeraden und endet bei einer bleibenden Dehnung.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.