Energieerhaltungssatz der Mechanik
Der Energieerhaltungssatz verknüpft Höhe und Geschwindigkeit und liefert Fallgeschwindigkeiten, Steighöhen und Bahngeschwindigkeiten, ohne dass man Zeiten oder Beschleunigungen kennen muss.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Energieerhaltungssatz der Mechanik besagt: In einem abgeschlossenen System ohne Reibung ist die mechanische Energie \(\tfrac{1}{2} m v^2 + m g h\) konstant.
- Beim freien Fall aus der Ruhe gilt \(m g h = \tfrac{1}{2} m v^2\), die Aufprallgeschwindigkeit ist \(v = \sqrt{2 g h}\) und massenunabhängig.
- Beim senkrechten Wurf ist die Steighöhe \(h = v^2/(2g)\): doppelte Startgeschwindigkeit, vierfache Höhe.
- Auf reibungsfreien Bahnen hängt die Geschwindigkeit nur vom Höhenunterschied zum Start ab, nicht von Bahnform oder Neigung; die Laufzeit ist auf flacheren Ebenen länger.
- Beim Pendel ist an den Umkehrpunkten die Lageenergie maximal, am tiefsten Punkt die Geschwindigkeit.
- Ein inelastisch springender Ball springt immer weniger hoch, weil Energie als Wärme in Ball und Boden übergeht.
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Worum es geht
Ohne Reibung geht mechanische Energie nicht verloren, sie wechselt nur ihre Form. Mit diesem einen Satz lassen sich Fall, Wurf, Bahnen und Pendel oft in einer Zeile durchrechnen. In der Pharmazie begegnet dir dieselbe Bilanzidee später in der Thermodynamik wieder.
Erhaltung der mechanischen Energie
Die mechanische Energie eines Körpers ist die Summe aus kinetischer Energie, potentieller Energie und gegebenenfalls Spannenergie. Der Energieerhaltungssatz der Mechanik sagt: In einem abgeschlossenen System ohne Reibung bleibt diese Summe konstant. Abgeschlossen heißt, dass von außen keine Arbeit zugeführt oder entnommen wird.
\[E_{\mathrm{mech}} = E_{\mathrm{kin}} + E_{\mathrm{pot}} = \tfrac{1}{2} m v^2 + m g h = \text{const}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(E_{\mathrm{kin}}\) | kinetische Energie | J |
| \(E_{\mathrm{pot}}\) | potentielle Energie (Lageenergie) | J |
| \(m\) | Masse | kg |
| \(v\) | Geschwindigkeit | m/s |
| \(g\) | Fallbeschleunigung, 9,81 m/s² | m/s² |
| \(h\) | Höhe über dem Bezugsniveau | m |
Praktisch rechnet man mit Differenzen: Was eine Energieform verliert, gewinnt die andere. Reibung bricht diese Bilanz, weil sie mechanische Energie in Wärme umwandelt.
Freier Fall und Heben
Beim reibungsfreien freien Fall aus der Ruhe nimmt die Lageenergie ab, die Bewegungsenergie im gleichen Maß zu. Zu jedem Zeitpunkt gilt daher \(m g h = \tfrac{1}{2} m v^2\), wobei \(h\) die bis dahin durchfallene Strecke ist. Die Masse kürzt sich heraus, die Aufprallgeschwindigkeit ist \(v = \sqrt{2 g h}\). Die Herleitung über das Weg-Zeit-Gesetz steht bei Freier Fall und Wurf.
- Gegeben: Ein Körper fällt aus 5,0 m Höhe, \(g = 9{,}81\) m/s².
- Ansatz: \(\tfrac{1}{2} m v^2 = m g h\), also \(v = \sqrt{2 g h}\).
- Einsetzen: \(v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 5{,}0}\) m/s \(= \sqrt{98{,}1}\) m/s \(\approx 9{,}9\) m/s.
- Umrechnen: \(9{,}9 \cdot 3{,}6 \approx 36\) km/h.
Umgekehrt liefert die Zunahme der kinetischen Energie \(\Delta W\) die Fallstrecke: \(h = \Delta W / (m g)\). Gewinnt ein Körper von 2,0 kg beim Fall 39 J, ist er knapp 2,0 m gefallen. Dieselbe Bilanz begrenzt die Rekuperation: Mehr als \(m g h\) lässt sich beim Hinabfahren auch ideal nicht zurückgewinnen.
Hebt man eine Last reibungsfrei mit konstanter Geschwindigkeit, ändert sich ihre kinetische Energie nicht. Die gesamte Zugarbeit steckt dann in der potentiellen Energie der Last.
Senkrechter Wurf und Steighöhe
Beim senkrechten Wurf nach oben läuft der Fall rückwärts. Die kinetische Energie beim Abwurf wird bis zum höchsten Punkt vollständig in potentielle Energie umgewandelt: \(\tfrac{1}{2} m v^2 = m g h\). Daraus folgt die Steighöhe \(h = v^2/(2g)\). Sie ist unabhängig von der Masse: Ein Tischtennisball und eine Stahlkugel mit gleicher Startgeschwindigkeit steigen ohne Luftreibung gleich hoch. Doppelte Geschwindigkeit ergibt vierfache Höhe.
Aus einer Steighöhe folgt umgekehrt die Startgeschwindigkeit \(v = \sqrt{2 g h}\). Erreicht eine Fontäne 3,2 m, verlässt das Wasser die Düse mit \(\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 3{,}2}\) m/s \(\approx 7{,}9\) m/s, also rund 28 km/h.
Bei Sprüngen zählt der Schwerpunkt. Springt jemand mit 4,0 m/s senkrecht ab, hebt sich der Schwerpunkt um \(16/(2 \cdot 9{,}81)\) m \(\approx 0{,}82\) m. Liegt er beim Absprung schon 1,0 m hoch, erreicht er 1,82 m. Soll ein Ball einen Korb in der Höhe \(h\) erreichen, muss seine Abwurfenergie ohne Reibung mindestens \(m g h\) betragen.
Geschwindigkeiten immer in m/s einsetzen und erst am Ende mit dem Faktor 3,6 in km/h umrechnen. Bei \(v = \sqrt{2 g h}\) nicht die Wurzel vergessen und bei \(h = v^2/(2g)\) nicht das Quadrat.
Bahnen und schiefe Ebenen
Gleitet ein Körper reibungsfrei auf einer beliebig geformten Bahn, gilt dieselbe Bilanz. Seine Geschwindigkeit hängt nur vom Höhenunterschied zum Startpunkt ab: \(v = \sqrt{2 g \Delta h}\) bei Start aus der Ruhe. Die Form der Bahn spielt keine Rolle. Am tiefsten Bahnpunkt ist die Geschwindigkeit daher am größten.
In der Achterbahn der Abbildung startet der Wagen auf 15 m. Auf der Kuppe in 7 m Höhe ist \(\Delta h = 8\) m, also \(v \approx 12{,}5\) m/s. Im Tal auf 2 m ist \(\Delta h = 13\) m und \(v \approx 16{,}0\) m/s.
Auch die Neigung einer schiefen Ebene ändert die Endgeschwindigkeit nicht. Zwei Rampen von 2,0 m Höhe liefern am Fuß beide \(v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}0}\) m/s \(\approx 6{,}3\) m/s. Verschieden ist die Laufzeit. Die Hangabtriebsbeschleunigung \(a = g \sin\alpha\) ist auf der flachen Rampe kleiner, der Weg zugleich länger. Bei 30° braucht der Körper etwa 1,28 s, bei 60° nur etwa 0,74 s.
Pendel und Kugel in der Schale
Beim reibungsfreien Fadenpendel wechseln die Energieformen periodisch. An den Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit null und die potentielle Energie maximal. Am tiefsten Punkt ist die kinetische Energie maximal. Die Gesamtenergie bleibt zu jedem Zeitpunkt gleich, nichts wird in Wärme umgewandelt. Beim Ausschwingen gilt pro Masse \(\tfrac{1}{2} v^2 = g h\).
Beim Federpendel pendelt die Energie zwischen Spannenergie und kinetischer Energie. Die Schwingung selbst behandelt die Einheit zur Schwingungsenergie.
Eine Kugel, die reibungsfrei in einer Schale hin- und herrollt, verhält sich ähnlich: oben maximale Lageenergie, unten größte Geschwindigkeit. Sie dreht sich aber zusätzlich und trägt deshalb auch Rotationsenergie. Konstant ist die Summe aus Translations-, Rotations- und potentieller Energie. Bewegungsenergie und Lageenergie sind dagegen nicht an jeder Stelle gleich groß.
Reibung und inelastischer Aufprall
Ein Ball, der aus der Ruhe fällt und vollelastisch ohne Reibung reflektiert wird, behält seine mechanische Energie. Er kommt genau in der Ausgangshöhe wieder an, dort mit der Geschwindigkeit null. Seine kinetische Energie ist in dieser Höhe also null, denn \(E_{\mathrm{kin}} + E_{\mathrm{pot}}\) hat denselben Wert wie beim Start.
Ein realer Gummiball springt inelastisch. Bei jedem Aufprall wird ein Teil der Energie nicht wieder zu Lageenergie, deshalb springt er jedes Mal weniger hoch. Der fehlende Anteil erwärmt Ball und Boden leicht. Wie sich das bei Stößen zwischen Körpern zeigt, steht bei elastischen und unelastischen Stößen.
Mit Reibung schreibt man die Energiebilanz um einen Wärmeterm \(Q\) erweitert: \(m g h_1 = m g h_2 + Q\). Fällt ein Ball von 0,20 kg aus 2,0 m und steigt nur noch auf 1,5 m, sind \(0{,}20 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}5\) J \(\approx 1{,}0\) J in Wärme übergegangen. Genauso gewinnt eine Kugel beim Fall in einem viskosen Medium weniger kinetische Energie, als sie an Lageenergie verliert. Details dazu stehen bei der Stokes’schen Reibung.
Auch beim Hammerschlag auf einen Nagel bleibt die Energie nicht allein im Nagel. Reibung erwärmt ihn, ein Teil verteilt sich auf das umgebende Holz. Die Wärme als Energieform behandelt der Erste Hauptsatz.
Quiz
Aussage 1
Verdoppelt man die Abwurfgeschwindigkeit beim senkrechten Wurf, vervierfacht sich ohne Luftreibung die Steighöhe.
Nach \(h = v^2/(2g)\) wächst die Steighöhe mit dem Quadrat der Geschwindigkeit.
Aussage 2
Ein schwerer Körper erreicht beim reibungsfreien Fall aus gleicher Höhe eine größere Aufprallgeschwindigkeit als ein leichter.
Aus \(m g h = \tfrac{1}{2} m v^2\) kürzt sich die Masse, \(v = \sqrt{2 g h}\) ist für beide gleich.
Aussage 3
Bei einer reibungsfrei in einer Schale rollenden Kugel ist an jeder Stelle die Bewegungsenergie gleich der potentiellen Energie.
Konstant ist nur die Summe aus Translations-, Rotations- und potentieller Energie. Die einzelnen Anteile ändern sich ständig.
Aussage 4
Gleitet ein Körper reibungsfrei von gleicher Höhe eine steile und eine flache schiefe Ebene hinab, ist seine Endgeschwindigkeit auf der steilen Ebene größer.
Die Endgeschwindigkeit hängt nur von der Höhe ab und ist gleich. Verschieden ist nur die Laufzeit, die auf der flachen Ebene länger ist.
Aussage 5
Bei reibungsfreier Bewegung auf einer welligen Bahn ist die Geschwindigkeit am tiefsten Bahnpunkt am größten.
Dort ist der Höhenunterschied zum Start am größten und damit nach \(v = \sqrt{2 g \Delta h}\) auch die Geschwindigkeit.
Aussage 6
Beim inelastischen Aufprall eines Gummiballs erwärmen sich Ball und Boden leicht.
Der Teil der mechanischen Energie, der nicht wieder zu Lageenergie wird, geht als Wärme in Ball und Boden über.
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