Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bewegungsdiagrammen
Wie man Momentangeschwindigkeit und Beschleunigung als Ableitungen definiert und als Steigungen aus s-t-, v-t- und a-t-Diagrammen abliest.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Momentangeschwindigkeit \(v = ds/dt\) ist die Tangentensteigung im s-t-Diagramm, die Beschleunigung \(a = dv/dt = d^2s/dt^2\) die Tangentensteigung im v-t-Diagramm.
- Bei waagerechter Tangente im s-t-Diagramm (Maximum, Minimum, waagerechtes Stück) ist \(v = 0\); der Ort \(s = 0\) sagt über \(v\) nichts.
- Eine Gerade im s-t-Diagramm bedeutet konstante Geschwindigkeit und \(a = 0\): steigend positiv, fallend negativ, der steilste Abschnitt ist am schnellsten.
- Im v-t-Diagramm bedeutet eine ansteigende Gerade gleichmäßige Beschleunigung, eine fallende Gerade bei \(v > 0\) gleichmäßige Verzögerung; waagerecht heißt \(a = 0\), auch bei negativem \(v\).
- Konstante Beschleunigung ist im a-t-Diagramm eine Waagerechte; das Zeitintegral der Beschleunigung ergibt die Geschwindigkeit, nicht den Weg.
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Worum es geht
Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Ableitungen nach der Zeit. In Diagrammen erscheinen sie deshalb als Steigungen. Wer diese Leseregel beherrscht, erkennt jede Bewegungsart auf einen Blick und hat die Grundlage für alle weiteren Rechnungen der Mechanik.
Ort, Weg und Zeit
Die Kinematik beschreibt, wie sich ein Körper bewegt. Nach den Ursachen fragt sie nicht, denn die Kräfte sind Sache der Newton’schen Axiome. Ihre Grundgrößen sind der Ort \(s\) (oft auch \(x\)) in Metern und die Zeit \(t\) in Sekunden. Der Weg ist die Ortsänderung \(\Delta s\) in einem Zeitraum \(\Delta t\).
Alles Weitere folgt aus einem einzigen Werkzeug: der Steigung eines Graphen und ihrer Verfeinerung, der Ableitung. Wie man Steigungen aus Geraden und Steigungsdreiecken bestimmt, steht unter Geraden, Steigung und Bewegungsdiagramme.
Geschwindigkeit im s-t-Diagramm
Die Momentangeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich der Ort in einem bestimmten Zeitpunkt ändert. Sie ist die Ableitung des Orts nach der Zeit:
\[v = \frac{ds}{dt}\]
Im s-t-Diagramm steht der Ort über der Zeit. Dort ist \(v\) die Steigung der Tangente im betrachteten Punkt. Eine Sekante durch zwei Kurvenpunkte liefert nur \(\Delta s/\Delta t\), also die mittlere Geschwindigkeit im Intervall. Rückt der zweite Punkt immer näher, wird aus der Sekante die Tangente.
Wo die Tangente waagerecht liegt, ist \(v = 0\). Das gilt am Maximum, am Minimum und auf jedem waagerechten Stück. Am Hochpunkt kehrt der Körper gerade um. Der Ortswert selbst verrät über die Geschwindigkeit nichts. Schneidet die Kurve die Zeitachse steil, ist der Körper bei \(s = 0\) sogar besonders schnell.
Gerade Abschnitte
Ist der Graph eine Gerade, bleibt die Steigung gleich. Die Geschwindigkeit ist dann konstant und die Beschleunigung null. Drei Fälle reichen zum Deuten:
- waagerechte Gerade: Der Ort bleibt konstant, der Körper ruht (\(v = 0\)).
- ansteigende Gerade: konstante positive Geschwindigkeit, je steiler, desto schneller. Die Ursprungsgerade ist der Sonderfall mit Start bei \(s = 0\).
- fallende Gerade: konstante negative Geschwindigkeit, der Körper läuft zum Ausgangspunkt zurück.
Eine fallende Gerade ist also kein freier Fall. Beim freien Fall wächst die Geschwindigkeit ständig, sein s-t-Graph ist gekrümmt.
Im Beispiel fährt ein Wagen in vier Etappen. Für jede Gerade liefert ein Steigungsdreieck die Geschwindigkeit:
| Zeitraum | \(\Delta s\) | \(\Delta t\) | \(v\) |
|---|---|---|---|
| 0 bis 2 s | +0,30 m | 2 s | 0,15 m/s = 15 cm/s |
| 2 bis 5 s | 0 m | 3 s | 0 (Ruhe) |
| 5 bis 6 s | +0,45 m | 1 s | 0,45 m/s = 45 cm/s |
| 6 bis 10 s | −0,75 m | 4 s | −0,1875 m/s ≈ −19 cm/s |
Die größte Geschwindigkeit gehört zum steilsten Abschnitt, hier von 5 bis 6 s. Zum Umrechnen genügt \(1\ \mathrm{m/s} = 100\ \mathrm{cm/s}\).
Das Deuten von s-t-Graphen wird im Examen gerne gefragt. Achte auf die Steigung, nicht auf die Höhe der Kurve: waagerecht heißt Ruhe, jede Gerade heißt konstantes \(v\), und der steilste Abschnitt hat die größte Geschwindigkeit.
Definition der Beschleunigung
Die Geschwindigkeit ändert sich, sobald ein Körper anfährt, bremst oder fällt. Wie schnell das geschieht, misst die Beschleunigung.
Die Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit: \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\), momentan \(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}\). Ihre Einheit ist \(\mathrm{m/s^2}\).
Weil \(v\) schon die erste Ableitung des Orts ist, wird \(a\) zur zweiten Ableitung des Wegs. Geschwindigkeit geteilt durch Weg ergibt dagegen keine Beschleunigung, schon die Einheit passt nicht. Auch die zweite Ableitung der Geschwindigkeit geht einen Schritt zu weit. Sie gibt an, wie schnell sich die Beschleunigung selbst ändert.
Geometrisch misst die zweite Ableitung die Krümmung des s-t-Graphen. Ein nach oben gekrümmter Graph wird immer steiler, der Körper wird schneller (\(a > 0\)). Ein nach unten gekrümmter Graph flacht ab (\(a < 0\)). Gerade Stücke sind ungekrümmt und haben \(a = 0\).
Beschleunigung im v-t- und a-t-Diagramm
Im v-t-Diagramm steht die Geschwindigkeit über der Zeit. Die Beschleunigung ist hier die Tangentensteigung, bei Geraden einfach \(\Delta v/\Delta t\). Die Leseregel bleibt dieselbe wie beim s-t-Diagramm, nur eine Ebene tiefer.
Ein waagerechtes Stück bedeutet \(a = 0\), auch wenn es bei negativer Geschwindigkeit liegt. Umgekehrt ist \(a\) nicht null, wenn die Kurve die Zeitachse steil schneidet. Die Beschleunigung hängt also weder vom Vorzeichen noch vom Betrag von \(v\) ab, sondern nur von der Steigung. Ist die v-t-Kurve gekrümmt, nimmt die Beschleunigung zu oder ab.
Beschleunigen und Verzögern
Die Verzögerung ist eine Beschleunigung gegen die Bewegungsrichtung. Sie verringert den Betrag der Geschwindigkeit, der Körper bremst.
Ansteigende Gerade im v-t-Diagramm, \(v\) wächst gleichmäßig, \(a > 0\) und konstant. Das ist kein Bremsvorgang.
Fallende Gerade bei \(v > 0\), \(v\) sinkt gleichmäßig, \(a < 0\) und konstant. Der Körper bremst.
Achte beim Ablesen auf die Einheit der Zeitachse:
- Ablesen: Ein Zug steigert \(v\) in 2 min von 0 auf 12 m/s.
- Umrechnen: \(\Delta t = 2 \cdot 60\ \mathrm{s} = 120\ \mathrm{s}\).
- Steigung: \(a = \frac{12\ \mathrm{m/s}}{120\ \mathrm{s}} = 0{,}1\ \mathrm{m/s^2}\).
Das a-t-Diagramm
Im a-t-Diagramm steht die Beschleunigung über der Zeit. Konstante Beschleunigung ergibt eine waagerechte Gerade. Eine linear ansteigende Linie bedeutet dagegen eine Beschleunigung, die ständig zunimmt, also keine konstante.
Der Weg führt auch zurück. Das Zeitintegral der Beschleunigung ist die Geschwindigkeit, \(v = \int a \, dt\), nicht der Weg. Die Fläche unter dem a-t-Graphen liefert also die Geschwindigkeitsänderung. Den Weg gibt erst die Fläche unter dem v-t-Graphen. Zeigt das a-t-Diagramm eine Waagerechte und das v-t-Diagramm eine Gerade mit Achsenabschnitt \(v_0\), liest man direkt das Geschwindigkeitsgesetz \(v = v_0 + a \cdot t\) ab. Mehr dazu bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
Die Abbildung stellt vier Bewegungsarten in allen drei Diagrammen nebeneinander: Ruhe, gleichförmige, gleichmäßig beschleunigte und gleichmäßig verzögerte Bewegung.
Jedes Diagramm zeigt die Steigung des darüberliegenden: aus \(s\) wird \(v\), aus \(v\) wird \(a\). Die Fläche unter dem Graphen führt eine Ebene zurück nach oben.
Quiz
Aussage 1
Am Hochpunkt einer gekrümmten s-t-Kurve ist die Momentangeschwindigkeit null.
Am Maximum ist die Tangente waagerecht, ihre Steigung und damit \(v\) ist null. Der Körper kehrt dort um.
Aussage 2
Integriert man die Beschleunigung über die Zeit, erhält man den zurückgelegten Weg.
Das Zeitintegral der Beschleunigung ist die Geschwindigkeit, \(v = \int a \, dt\). Den Weg liefert erst die Fläche unter dem v-t-Graphen.
Aussage 3
Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit.
Die Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit und die zweite Ableitung des Wegs: \(a = dv/dt = d^2s/dt^2\).
Aussage 4
Steigt der Ort in einem geraden Abschnitt innerhalb von 4 s von 0,20 m auf 1,00 m, beträgt die Geschwindigkeit 20 cm/s.
\(v = 0{,}80\ \mathrm{m} / 4\ \mathrm{s} = 0{,}20\ \mathrm{m/s} = 20\ \mathrm{cm/s}\).
Aussage 5
Verläuft das v-t-Diagramm bei \(v = -3\ \mathrm{m/s}\) waagerecht, ist die Beschleunigung in diesem Bereich null.
Entscheidend ist nur die Steigung im v-t-Diagramm. Eine Waagerechte hat Steigung null, unabhängig vom Vorzeichen von \(v\).
Aussage 6
Eine linear abfallende Gerade im s-t-Diagramm beschreibt einen frei fallenden Körper.
Eine fallende Gerade bedeutet konstante negative Geschwindigkeit. Beim freien Fall wächst \(v\), der s-t-Graph ist gekrümmt.
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