Bahngeschwindigkeit, rollende Räder und Zahnräder
Wie man aus Winkelgeschwindigkeit und Radius die Bahngeschwindigkeit berechnet und damit rollende Räder und Zahnräder beschreibt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Bahngeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit eines Punktes auf seiner Kreisbahn: \(v = \omega r = 2\pi f r = 2\pi r/T\), am Rand auch Umfangsgeschwindigkeit genannt.
- In einem starr rotierenden Körper ist \(\omega\) überall gleich, die Bahngeschwindigkeit wächst proportional zum Abstand von der Achse.
- Bei gleicher Umfangsgeschwindigkeit ist \(\omega\) umgekehrt proportional zum Radius und \(f\) umgekehrt proportional zum Durchmesser.
- Der Geschwindigkeitsvektor zeigt tangential, ein abgelöstes Teilchen fliegt mit der Umfangsgeschwindigkeit entlang der Tangente weg.
- Beim Rollen ohne Schlupf ist die Umfangsgeschwindigkeit gleich der Fahrgeschwindigkeit, \(v = nU = \omega r\), unabhängig vom Durchmesser.
- Kämmende Zahnräder haben am Berührungspunkt gleiche Umfangsgeschwindigkeit, \(f_A d_A = f_B d_B\), und drehen entgegengesetzt.
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Worum es geht
Die Bahngeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Punkt eines drehenden Körpers auf seiner Kreisbahn bewegt. Mit \(v = \omega r\) berechnet man die Randgeschwindigkeit einer Zentrifuge oder Schleifscheibe, die Drehzahl eines rollenden Rades und die Übersetzung von Zahnrädern.
Bahngeschwindigkeit und Radius
Dreht sich ein Körper mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\), legt jeder seiner Punkte einen Kreisbogen zurück. Wie schnell das geschieht, gibt die Bahngeschwindigkeit \(v\) an. Für einen Punkt am Rand eines Rades oder einer Scheibe heißt sie auch Umfangsgeschwindigkeit. In einer Umlaufdauer \(T\) legt der Punkt den Kreisumfang \(2\pi r\) zurück. Daraus folgt die zentrale Beziehung.
\[v = \omega \cdot r = 2\pi f \cdot r = \frac{2\pi r}{T}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(v\) | Bahngeschwindigkeit (Umfangsgeschwindigkeit) | m/s |
| \(\omega\) | Winkelgeschwindigkeit, \(\omega = 2\pi f\) | 1/s (rad/s) |
| \(r\) | Abstand von der Drehachse | m |
| \(f\) | Drehfrequenz (Drehzahl) | 1/s = Hz |
| \(T\) | Umlaufdauer, \(T = 1/f\) | s |
Gleiches ω, verschiedenes v
In einem starr rotierenden Körper, etwa einem Zentrifugenrotor, laufen alle Teilchen gemeinsam um. Jedes überstreicht in derselben Zeit denselben Winkel. Die Winkelgeschwindigkeit ist daher an allen Punkten gleich. Die Bahngeschwindigkeit ist es nicht. Ein Punkt weiter außen muss im selben Takt einen größeren Kreis schaffen, so wie der äußere Läufer einer Reihe in der Kurve am schnellsten rennen muss.
Bei festem \(\omega\) gilt \(v \sim r\): doppelter Abstand von der Achse, doppelte Bahngeschwindigkeit. Ein Punkt auf der Achse (\(r = 0\)) ruht. Umgekehrt gilt bei gleicher Bahngeschwindigkeit \(\omega = v/r\). Dann ist die Winkelgeschwindigkeit umgekehrt proportional zum Radius und die Drehfrequenz umgekehrt proportional zum Durchmesser. Halber Durchmesser bedeutet also doppelte Frequenz. Dieses Prinzip trägt die beiden folgenden Abschnitte.
Richtung
Die Bahngeschwindigkeit ist ein Vektor. Er zeigt stets tangential zur Kreisbahn und steht damit senkrecht auf dem Radius. Senkrecht auf ihm steht auch die zur Mitte gerichtete Radialbeschleunigung. Löst sich ein Teilchen vom Rand, hält es nichts mehr auf der Kreisbahn. Es fliegt mit der Umfangsgeschwindigkeit am Ablösepunkt geradeaus entlang der Tangente weiter, wie der Funke einer Schleifscheibe.
Rechenbeispiel
Eine Schleifscheibe mit 20 cm Durchmesser dreht mit 3000 Umdrehungen pro Minute. Gesucht ist die Geschwindigkeit ihres Randes.
- Einheiten umrechnen: \(r = 10\ \text{cm} = 0{,}10\ \text{m}\) und \(f = 3000\ \text{min}^{-1} = 50\ \text{s}^{-1}\).
- Formel wählen: \(v = 2\pi f r\).
- Einsetzen: \(v = 2\pi \cdot 50\ \text{s}^{-1} \cdot 0{,}10\ \text{m} \approx 31{,}4\ \text{m/s}\), also rund 113 km/h.
Die typischen Fehler sind schnell aufgezählt. Wer den Durchmesser statt des Radius einsetzt, verdoppelt das Ergebnis. Wer \(f\) mit \(\omega\) verwechselt, verliert den Faktor \(2\pi\). Drehzahlen in \(\text{min}^{-1}\) und Längen in cm gehören vor dem Einsetzen in SI-Einheiten.
\(v = \omega r = 2\pi f r = 2\pi r/T\) ist ein Examensklassiker. Achte darauf, dass in einem starren Körper \(\omega\) überall gleich ist, \(v\) aber proportional zum Abstand von der Achse wächst, und rechne mit dem Radius in Metern.
Rollendes Rad
Ein rollendes Rad dreht sich und bewegt sich zugleich vorwärts. Beide Bewegungen sind fest gekoppelt, solange das Rad nicht rutscht.
Schlupf ist das Durchrutschen eines Rades gegenüber dem Untergrund. Beim Rollen ohne Schlupf gleitet die Lauffläche nicht, der Berührungspunkt ruht kurz auf der Straße.
Ohne Schlupf rollt das Rad pro Umdrehung genau seinen Umfang \(U = 2\pi r\) ab. Die Achse rückt also bei jeder Umdrehung um \(U\) vor. Bei \(n\) Umdrehungen pro Sekunde ergibt das die Fahrgeschwindigkeit:
\[v = n \cdot U = 2\pi r f = \omega r\]
Das ist dieselbe Formel wie für die Umfangsgeschwindigkeit. Beim schlupffreien Rollen ist die Umfangsgeschwindigkeit der Lauffläche (relativ zur Achse) gleich der Fahr- oder Achsgeschwindigkeit, und zwar unabhängig vom Raddurchmesser. Fahren ein Kleinwagen und ein Geländewagen mit großen Reifen gleich schnell, laufen ihre Laufflächen gleich schnell um. Der Unterschied steckt allein in der Drehzahl. Aufgelöst gilt \(\omega = v/r = 2\pi v/U\) und \(n = v/U\).
Drehzahl aus der Fahrgeschwindigkeit
Ein Fahrrad fährt mit 18 km/h, der Radumfang beträgt 2,0 m.
- In m/s umrechnen: \(v = 18\ \text{km/h} : 3{,}6 = 5{,}0\ \text{m/s}\).
- Drehzahl: \(n = v/U = 5{,}0\ \text{m/s} : 2{,}0\ \text{m} = 2{,}5\ \text{s}^{-1}\).
- Winkelgeschwindigkeit: \(\omega = 2\pi n \approx 15{,}7\ \text{s}^{-1}\).
Ist statt des Umfangs der Radius gegeben, rechnet man direkt \(\omega = v/r\) und \(f = v/(2\pi r)\).
Räder verschiedener Größe vergleichen
Vorder- und Hinterrad eines Traktors fahren gleich schnell, haben also dasselbe \(v\). Aus \(\omega = v/r\) folgt: Das Rad mit halbem Radius dreht doppelt so schnell. Das Drehzahlverhältnis ist der Kehrwert des Radienverhältnisses. Haben zwei Räder dagegen dieselbe Winkelgeschwindigkeit, gilt \(v \sim r\). Ein Rad mit 1,5-fachem Durchmesser kommt dann 1,5-mal so schnell voran. Dieser Vergleich wird im Examen gerne gefragt: Kläre zuerst, ob \(v\) oder \(\omega\) gleich ist, und wähle dann die passende Proportionalität.
Zahnräder
Zwei ineinandergreifende Zahnräder sind am Berührungspunkt fest gekoppelt. Die Zähne können nicht aneinander vorbeirutschen. Deshalb haben beide Räder dort dieselbe Umfangsgeschwindigkeit. Mit \(v = \omega r = \pi f d\) folgt:
\[f_A \cdot d_A = f_B \cdot d_B \quad\Rightarrow\quad f_B = f_A \cdot \frac{d_A}{d_B}\]
Das ist der Fall gleicher Umfangsgeschwindigkeit aus dem ersten Abschnitt. Die Frequenz ist umgekehrt proportional zum Durchmesser, das große Rad dreht langsamer. Bei gleich großen Zähnen ist die Zähnezahl proportional zum Durchmesser, man kann also auch mit Zähnezahlen rechnen. Treibt A das Rad B an, heißt das Verhältnis \(i = f_A/f_B = d_B/d_A\) Übersetzung.
Am Berührungspunkt bewegen sich beide Zahnkränze in dieselbe Richtung. Dieser Punkt liegt aber beim einen Rad links, beim anderen rechts von der Achse. Deshalb drehen sich kämmende Zahnräder entgegengesetzt. Dreht A im Uhrzeigersinn, dreht B gegen den Uhrzeigersinn.
Ein Zwischenrad kehrt den Drehsinn noch einmal um, sodass erstes und drittes Rad gleichsinnig drehen. Weil alle Räder dieselbe Umfangsgeschwindigkeit haben, ändert es die Übersetzung zwischen erstem und letztem Rad nicht. Ein Rechenbeispiel zeigt den Ablauf.
- Gegeben: Rad A mit \(d_A = 4{,}0\ \text{cm}\) dreht mit \(f_A = 30\ \text{Hz}\) im Uhrzeigersinn. Rad B hat \(d_B = 12\ \text{cm}\).
- Gleiche Umfangsgeschwindigkeit ansetzen: \(f_B = f_A \cdot d_A/d_B = 30\ \text{Hz} \cdot 4{,}0/12 = 10\ \text{Hz}\).
- Drehsinn bestimmen: B dreht entgegengesetzt zu A, also gegen den Uhrzeigersinn.
Hier darf man in cm rechnen, weil nur das Verhältnis der Durchmesser eingeht.
In einer Kette kämmender Räder drehen erstes und letztes Rad bei gerader Räderzahl entgegengesetzt, bei ungerader Räderzahl gleichsinnig.
Quiz
Aussage 1
Ein Auto mit 72 km/h und einem Radumfang von 2 m hat eine Raddrehzahl von 10 Umdrehungen pro Sekunde.
72 km/h entsprechen 20 m/s, also \(n = v/U = 20\ \text{m/s} : 2\ \text{m} = 10\ \text{s}^{-1}\).
Aussage 2
Zwei ineinandergreifende Zahnräder drehen sich gleichsinnig, weil sie am Berührungspunkt dieselbe Umfangsgeschwindigkeit haben.
Die Umfangsgeschwindigkeit am Berührungspunkt ist zwar gleich, die Räder drehen sich aber entgegengesetzt, weil der Berührungspunkt auf gegenüberliegenden Seiten ihrer Achsen liegt.
Aussage 3
Ein Funke, der sich vom Rand einer Schleifscheibe löst, fliegt radial von der Drehachse weg.
Er fliegt tangential weg, also senkrecht zum Radius, mit der Umfangsgeschwindigkeit am Ablösepunkt.
Aussage 4
In einem starr rotierenden Zentrifugenrotor laufen alle Teilchen mit derselben Winkelgeschwindigkeit um.
Alle Punkte eines starren Körpers überstreichen in derselben Zeit denselben Winkel, \(\omega\) ist also überall gleich.
Aussage 5
Verdoppelt man bei gleicher Winkelgeschwindigkeit den Abstand eines Punktes von der Drehachse, halbiert sich seine Bahngeschwindigkeit.
Wegen \(v = \omega r\) verdoppelt sich die Bahngeschwindigkeit bei doppeltem Abstand.
Aussage 6
Eine Scheibe mit 30 cm Durchmesser und einer Drehfrequenz von 50 Hz hat am Rand eine Bahngeschwindigkeit von etwa 47 m/s.
\(v = 2\pi f r = 2\pi \cdot 50\ \text{s}^{-1} \cdot 0{,}15\ \text{m} \approx 47\ \text{m/s}\), mit dem Radius statt des Durchmessers.
Aussage 7
Fahren zwei Autos ohne Schlupf gleich schnell, läuft die Lauffläche des Autos mit den größeren Reifen schneller um.
Die Umfangsgeschwindigkeit der Lauffläche ist bei beiden gleich der Fahrgeschwindigkeit, unabhängig vom Durchmesser. Die größeren Räder haben nur eine kleinere Drehzahl.
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