Induktiver und kapazitiver Widerstand
Wie ohmscher, induktiver und kapazitiver Widerstand von der Frequenz abhängen, wie man mit ihnen rechnet und wie Strom und Spannung an R, L und C zueinander phasenverschoben sind.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Blindwiderstand ist der Wechselstromwiderstand von Spule und Kondensator: Er hängt von der Frequenz ab und setzt im Mittel keine Energie in Wärme um, anders als der frequenzunabhängige ohmsche Widerstand.
- Der induktive Widerstand \(X_L = \omega L = 2\pi f L\) steigt linear mit Frequenz und Induktivität, im Diagramm eine Ursprungsgerade.
- Der kapazitive Widerstand \(X_C = \frac{1}{\omega C}\) ist umgekehrt proportional zur Frequenz und fällt hyperbelartig, bei Gleichstrom sperrt der Kondensator.
- Bei fester Spannung steigt der Strom durch einen Kondensator proportional zur Frequenz, durch eine Spule nimmt er ab, am Widerstand bleibt er konstant; \(X_C = R\) gilt bei \(\omega = \frac{1}{RC}\), \(X_L = R\) bei \(\omega = R/L\).
- Am Kondensator eilt der Strom um \(90^\circ\) voraus, an der idealen Spule die Spannung, am Widerstand sind beide in Phase; bei Spule mit ohmschem Widerstand eilt der Strom um \(0^\circ\) bis \(90^\circ\) nach.
- Am RC-Glied hat die Kondensatorspannung \(U_a\) dieselbe Frequenz wie \(U_e\), ist proportional zu ihr, kleiner und phasenverschoben.
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Worum es geht
Spule und Kondensator setzen einem Wechselstrom einen Widerstand entgegen, der von der Frequenz abhängt. Dieses Verhalten steckt in jedem Netzteil, in Frequenzfiltern und in Messgeräten wie der Konduktometrie, die mit Wechselspannung arbeitet. Wer die beiden Formeln und die Phasenlage sicher beherrscht, löst die meisten Aufgaben zum Wechselstromkreis.
Bauelemente im Wechselstromkreis
Im Gleichstromkreis bestimmt allein der ohmsche Widerstand die Stromstärke. Bei Wechselspannung verhalten sich zwei weitere Bauelemente anders. Eine Spule baut bei jeder Stromänderung eine Gegenspannung auf, wie bei der Selbstinduktion beschrieben. Ein Kondensator wird im Takt der Spannung ständig umgeladen (zu seinen Grundlagen siehe Kapazität).
Den Widerstand von Spule und Kondensator nennt man Blindwiderstand \(X\). Er ist wie jeder Widerstand das Verhältnis von Spannungs- zu Stromamplitude und hat die Einheit Ohm. Im Mittel wandelt er aber keine Energie in Wärme um. Die Energie pendelt nur zwischen Quelle und Magnetfeld der Spule bzw. elektrischem Feld des Kondensators hin und her. Der ohmsche Widerstand heißt dagegen Wirkwiderstand, weil er elektrische Energie in Wärme umsetzt.
Beide Blindwiderstände hängen von der Kreisfrequenz \(\omega = 2\pi f\) ab. Die Übersicht zeigt, was in den folgenden Abschnitten erklärt wird:
| Bauelement | Widerstand | bei steigender Frequenz | Phase von Strom \(I\) und Spannung \(U\) |
|---|---|---|---|
| Ohm’scher Widerstand | \(R\) | bleibt konstant | in Phase |
| Spule | \(X_L = \omega L\) | steigt linear | \(U\) eilt \(90^\circ\) voraus |
| Kondensator | \(X_C = \frac{1}{\omega C}\) | fällt hyperbelartig | \(I\) eilt \(90^\circ\) voraus |
Ohm’scher Widerstand
Ein ohmscher Widerstand folgt bei jeder Frequenz dem Ohm’schen Gesetz \(U = R \cdot I\). Die Elektronen stoßen im Leiter mit den Atomrümpfen. Wie oft die Stromrichtung wechselt, ändert daran nichts. Deshalb ist \(R\) frequenzunabhängig.
Bei gleicher Spannungsamplitude fließt somit bei 50 Hz derselbe Strom wie bei 50 kHz. Die Stromstärke durch einen ohmschen Widerstand hängt also nicht von der Frequenz ab. Im Diagramm über \(f\) oder \(\omega\) erscheint \(R\) als waagerechte Linie, ebenso die Stromstärke.
Induktiver Widerstand
Eine Spule wehrt sich gegen jede Änderung des Stroms. Sie induziert eine Spannung \(U_{ind} = -L \cdot \frac{dI}{dt}\), die der Änderung entgegenwirkt. Je höher die Frequenz, desto schneller ändert sich der Strom und desto größer ist diese Gegenspannung. Der Widerstand der Spule wächst deshalb mit der Frequenz. Man nennt ihn induktiven Widerstand \(X_L\), manchmal auch \(R_L\) geschrieben.
\[X_L = \omega L = 2\pi f L\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(X_L\) | induktiver Widerstand | \(\Omega\) |
| \(\omega\) | Kreisfrequenz, \(\omega = 2\pi f\) | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
| \(f\) | Frequenz | Hz |
| \(L\) | Induktivität der Spule | \(\mathrm{H = V \cdot s/A}\) |
\(X_L\) ist proportional zur Frequenz und zur Induktivität. Doppelte Frequenz bedeutet doppelten Widerstand. Eine Spule mit doppelter Induktivität hat bei gleicher Frequenz ebenfalls den doppelten Widerstand. Zwei Grenzfälle helfen beim Einordnen:
- Gleichstrom (\(f = 0\)): \(X_L = 0\). Die Spule lässt Gleichstrom durch, nur ihr Drahtwiderstand bremst.
- Sehr hohe Frequenz: \(X_L\) wird sehr groß. Die Spule sperrt hochfrequenten Wechselstrom.
Trägt man \(X_L\) gegen \(f\) oder gegen \(\omega\) auf, entsteht eine Ursprungsgerade. Ihre Steigung ist \(2\pi L\) bzw. \(L\). Den richtigen Verlauf aus mehreren Diagrammen auszuwählen, wird im Examen gerne gefragt: Gesucht ist die steigende Gerade, die durch den Nullpunkt geht, und nicht eine Kurve mit Achsenabschnitt oder Krümmung.
Kapazitiver Widerstand
Beim Kondensator ist es umgekehrt. Bei Gleichspannung lädt er sich einmal auf, danach fließt kein Strom mehr. Bei Wechselspannung wird er ständig umgeladen. Je höher die Frequenz, desto früher wird umgepolt, bevor er nennenswert geladen ist. Ladung strömt dann fast ungehindert hin und her, wie Wasser, das in einem Schlauch hin und her schwappt, ohne je ein volles Becken zu füllen. Der kapazitive Widerstand \(X_C\) (auch \(R_C\)) sinkt also mit steigender Frequenz.
\[X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(X_C\) | kapazitiver Widerstand | \(\Omega\) |
| \(\omega\) | Kreisfrequenz | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
| \(f\) | Frequenz | Hz |
| \(C\) | Kapazität des Kondensators | \(\mathrm{F = A \cdot s/V}\) |
\(X_C\) ist umgekehrt proportional zur Frequenz und zur Kapazität. Doppelte Frequenz halbiert den Widerstand, ebenso eine doppelte Kapazität. Die Grenzfälle sind spiegelbildlich zur Spule: Bei \(f = 0\) wird \(X_C\) unendlich groß, der Kondensator sperrt Gleichstrom. Bei sehr hoher Frequenz geht \(X_C\) gegen null.
Über \(f\) oder \(\omega\) aufgetragen, ergibt \(X_C\) eine fallende Hyperbel. Sie kommt von oben, wird immer flacher und erreicht die Achse nie. Die Abbildung zeigt alle drei Widerstände in einem Diagramm. Wo sich \(X_L\) und \(X_C\) schneiden, gilt \(\omega L = \frac{1}{\omega C}\), also \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\). Das ist die Eigenfrequenz des Schwingkreises.
Den Verlauf von \(X_C\) im Diagramm zu erkennen, ist besonders prüfungsrelevant: \(X_C = \frac{1}{\omega C}\) fällt hyperbelartig, während \(X_L = \omega L\) als Ursprungsgerade steigt. Achte darauf, dass dies für die Auftragung über \(f\) und über \(\omega\) gleichermaßen gilt.
In \(X_C\) steht \(\omega C\) im Nenner, ohne Kehrwert erhält man eine falsche Einheit. Setzt man \(f\) statt \(\omega\) ein, fehlt der Faktor \(2\pi\) und das Ergebnis weicht um mehr als das Sechsfache ab.
Stromstärke und Frequenz
Mit dem Blindwiderstand rechnet man wie mit einem ohmschen Widerstand: \(I = U/X\). Bei fester Spannungsamplitude folgt daraus der Strom.
- Kondensator: \(I = U \cdot \omega C = U \cdot 2\pi f C\). Der Strom ist proportional zur Frequenz und steigt als Ursprungsgerade.
- Spule: \(I = \frac{U}{\omega L}\). Der Strom fällt mit steigender Frequenz hyperbelartig ab.
- Ohm’scher Widerstand: \(I = U/R\) bleibt konstant.
Die Stromkurven sind also die Kehrbilder der Widerstandskurven. Wer Kurven \(I\) gegen \(f\) zuordnen soll, ordnet die steigende Gerade dem Kondensator zu, die fallende Hyperbel der Spule und die Waagerechte dem Widerstand.
Aus den Formeln lassen sich auch Frequenzen berechnen. Ein Beispiel mit \(C = 2\ \mu\mathrm{F}\) und \(R = 500\ \Omega\):
- Frage klären: Bei welcher Kreisfrequenz ist \(X_C = R\)?
- Gleichsetzen: \(\frac{1}{\omega C} = R\), also \(\omega = \frac{1}{RC}\).
- Einsetzen: \(\omega = \frac{1}{500\ \Omega \cdot 2 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{F}} = \frac{1}{10^{-3}\ \mathrm{s}} = 1000\ \mathrm{s^{-1}}\).
- Einheit prüfen: \(\Omega \cdot \mathrm{F} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}} \cdot \frac{\mathrm{A \cdot s}}{\mathrm{V}} = \mathrm{s}\), das Ergebnis hat also die Einheit \(\mathrm{s^{-1}}\).
Genauso geht es mit vorgegebenem Blindwiderstand: \(\omega = \frac{1}{X_C \cdot C}\). Für die Spule liefert \(\omega L = R\) die Kreisfrequenz \(\omega = R/L\). Mit \(R = 100\ \Omega\) und \(L = 0{,}5\ \mathrm{H}\) ergibt sich \(\omega = 200\ \mathrm{s^{-1}}\).
Verhältnisse rechnet man ohne Zahlenwerte der Bauteile. Steigt die Frequenz an einem Kondensator von 50 Hz auf 200 Hz, also auf das Vierfache, sinkt \(X_C\) wegen \(X_C \propto 1/f\) auf ein Viertel. Bei gleichem Scheitelwert der Spannung fließt dann der vierfache Strom.
Phasenverschiebung
Am ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung in Phase. Beide erreichen ihr Maximum und ihren Nulldurchgang gleichzeitig. An Spule und Kondensator sind sie dagegen um eine Viertelperiode verschoben. Was eine Phasendifferenz ist und wie man sie abliest, steht in der eigenen Einheit.
Am Kondensator gilt \(I = C \cdot \frac{dU}{dt}\). Der Strom ist also dort am größten, wo sich die Spannung am schnellsten ändert, nämlich im Nulldurchgang der Spannung. Der Strom erreicht sein Maximum daher eine Viertelperiode früher: Der Strom eilt der Spannung um \(90^\circ\) (\(\pi/2\), \(T/4\)) voraus. An der idealen Spule gilt \(U = L \cdot \frac{dI}{dt}\). Hier ist es umgekehrt, die Spannung eilt dem Strom um \(90^\circ\) voraus.
Beim Kondensator eilt der Strom vor, bei der Induktivität wird der Strom sich verspäten.
Eine reale Spule hat immer auch einen Drahtwiderstand. Bei einer Spule mit ohmschem Widerstand eilt der Strom der Spannung nach, aber um weniger als \(90^\circ\). Die Phasendifferenz liegt zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\) und folgt aus \(\tan\varphi = \frac{\omega L}{R}\). Überwiegt \(R\), nähert sie sich \(0^\circ\). Überwiegt \(X_L\), nähert sie sich \(90^\circ\).
RC-Glied
Ein RC-Glied besteht aus einem Widerstand \(R\) in Reihe mit einem Kondensator \(C\). Die Eingangsspannung \(U_e\) liegt an beiden, die Ausgangsspannung \(U_a\) wird am Kondensator abgegriffen. Die Schaltung wirkt wie ein frequenzabhängiger Spannungsteiler.
Für die Ausgangsspannung gelten drei Aussagen:
- Frequenz: \(U_a\) hat dieselbe Frequenz wie \(U_e\). R und C ändern Amplitude und Phase, erzeugen aber keine neue Frequenz.
- Amplitude: Bei fester Frequenz ist \(U_a\) proportional zu \(U_e\): \(U_a = \frac{U_e}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\). Sie ist kleiner als \(U_e\) und sinkt mit steigender Frequenz, weil \(X_C\) kleiner wird. Hohe Frequenzen werden also gedämpft, das RC-Glied wirkt als Tiefpass.
- Phase: \(U_a\) ist gegenüber \(U_e\) phasenverschoben, sie eilt um \(0^\circ\) bis \(90^\circ\) nach.
Bauelement aus dem Oszillographenbild
Zeigt ein Oszillograph Strom und Spannung, liest man den zeitlichen Versatz \(\Delta t\) der Maxima ab. Daraus folgt die Phasendifferenz \(\varphi = \frac{\Delta t}{T} \cdot 360^\circ\). Liegen die Maxima übereinander, ist es ein ohmscher Widerstand. Kommt das Strommaximum \(T/4\) früher, ist es ein Kondensator. Kommt das Spannungsmaximum \(T/4\) früher, ist es eine ideale Spule. Hinkt der Strom um weniger als \(T/4\) hinterher, handelt es sich um eine Spule mit ohmschem Widerstand.
Quiz
Aussage 1
Der kapazitive Widerstand eines Kondensators nimmt mit steigender Frequenz hyperbelartig ab.
\(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\) ist umgekehrt proportional zur Frequenz, der Graph ist eine fallende Hyperbel.
Aussage 2
Verdoppelt man die Frequenz der Wechselspannung, verdoppelt sich der Widerstand eines ohmschen Widerstands.
Der ohmsche Widerstand ist frequenzunabhängig, er bleibt bei jeder Frequenz gleich.
Aussage 3
Eine Spule mit größerer Induktivität hat bei gleicher Frequenz einen kleineren induktiven Widerstand.
\(X_L = \omega L\) wächst proportional mit \(L\); größere Induktivität bedeutet größeren Widerstand.
Aussage 4
Bei gleicher Spannungsamplitude fließt durch einen Kondensator bei 150 Hz der dreifache Strom wie bei 50 Hz.
\(I = U \cdot 2\pi f C\) ist proportional zur Frequenz; dreifache Frequenz ergibt dreifachen Strom.
Aussage 5
Die Kreisfrequenz, bei der der induktive Widerstand einer Spule gleich einem ohmschen Widerstand \(R\) ist, beträgt \(\omega = \frac{1}{RL}\).
Aus \(\omega L = R\) folgt \(\omega = R/L\). Die Form \(\frac{1}{RC}\) gilt für den Kondensator.
Aussage 6
Trägt man den induktiven Widerstand einer Spule gegen die Kreisfrequenz auf, erhält man eine Gerade durch den Ursprung.
Wegen \(X_L = \omega L\) ist \(X_L\) proportional zu \(\omega\), die Steigung ist \(L\).
Aussage 7
Am RC-Glied hat die am Kondensator abgegriffene Ausgangsspannung dieselbe Frequenz wie die Eingangsspannung, ist aber gegen sie phasenverschoben.
R und C ändern nur Amplitude und Phase; \(U_a\) eilt \(U_e\) um \(0^\circ\) bis \(90^\circ\) nach.
Aussage 8
An einem Kondensator eilt die Spannung dem Strom um eine Viertelperiode voraus.
Am Kondensator eilt der Strom der Spannung um \(90^\circ\) voraus; die Spannung eilt an der Spule voraus.
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