Stromstärke, Stromdichte und Spannung
Wie man Stromstärke, transportierte Ladung, Zahl der Ladungsträger und Stromdichte berechnet und welche Energie ein geladenes Teilchen beim Durchlaufen einer Spannung gewinnt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Stromstärke ist die pro Zeit durch einen Leiterquerschnitt fließende Ladung, \(I = Q/t = N \cdot e/t\), gemessen in Ampere (\(1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C/s}\)).
- Bei konstantem Strom gilt \(Q = I \cdot t\); die Zeit wird vorher in Sekunden umgerechnet, die Transportzeit folgt aus \(\Delta t = Q/I\).
- Pro Sekunde fließen \(N/t = I/e\) Elementarladungen, bei \(1\,\mathrm{mA}\) etwa \(6 \cdot 10^{15}\).
- Die Stromdichte ist \(j = I/A\) in \(\mathrm{A/m^2}\); für einen runden Leiter gilt \(I = j \cdot \pi r^2\), die Raumladungsdichte dagegen ist Ladung pro Volumen.
- Der technische Strom fließt außen von Plus nach Minus; im Metall erzeugt er stets Joule-Wärme, aber keine Elektrolyse.
- Eine Ladung \(e\) gewinnt aus der Ruhe beim Durchlaufen von \(U\) die Energie \(E = e \cdot U\), mit \(U\) in Volt direkt in eV.
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Worum es geht
Stromstärke, Stromdichte und Spannung sind die Grundgrößen jedes Stromkreises. Mit ihnen rechnet man aus, wie viel Ladung eine Batterie liefert, wie stark ein Draht belastet wird und welche Energie Elektronen in einer Röntgenröhre erreichen. In der Pharmazie begegnen sie dir überall dort, wo Messgeräte, Elektrophorese oder Elektrolyse im Spiel sind.
Elektrischer Strom
Elektrischer Strom ist die gerichtete Bewegung von Ladungsträgern. In Metallen sind das frei bewegliche Elektronen, in Elektrolytlösungen Ionen. Welche Teilchen wo die Ladung tragen, behandeln Elektronenleitung in Metallen und Ionenleitung in Elektrolytlösungen.
Ohne Antrieb bewegen sich die Ladungsträger nur ungeordnet durcheinander. Erst eine Spannungsquelle erzeugt ein elektrisches Feld, das sie in eine Vorzugsrichtung schiebt. Dauerhaft fließen kann der Strom nur in einem geschlossenen Stromkreis. Die Ladungsträger werden dabei nicht verbraucht. Sie laufen im Kreis, und die Quelle hält sie in Bewegung, ähnlich wie eine Pumpe das Wasser in einem Heizungsrohr.
Stromstärke und Ladung
Die Stromstärke gibt an, wie viel Ladung pro Zeit durch einen Leiterquerschnitt fließt. Man stellt sich eine gedachte Schnittfläche quer durch den Draht vor und zählt die Ladung, die sie in einer Sekunde passiert. Da jede Ladung ein Vielfaches der Elementarladung \(e\) ist, kann man auch die Zahl \(N\) der Ladungsträger einsetzen.
\[I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{N \cdot e}{t}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(I\) | Stromstärke | A (Ampere) |
| \(Q\) | transportierte Ladung | C = A·s |
| \(t\) | Zeitdauer | s |
| \(N\) | Zahl der Elementarladungen | 1 |
| \(e\) | Elementarladung, \(1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\) | C |
Ist der Strom nicht konstant, liefert \(I = Q/t\) die mittlere Stromstärke über das Zeitintervall. Wird im Examen gerne gefragt, wie die Ladung pro Zeit durch den Querschnitt heißt: Das ist die Stromstärke, nicht die Stromdichte, denn bei der Stromdichte wird zusätzlich durch die Fläche geteilt.
Das Ampere ist eine SI-Basiseinheit. Ein Ampere bedeutet, dass pro Sekunde ein Coulomb durch den Querschnitt fließt: \(1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C/s}\). Seit der SI-Reform ist es über den festgelegten Zahlenwert der Elementarladung definiert.
Ladung aus Strom und Zeit
Stellt man die Definition um, erhält man bei konstanter Stromstärke die transportierte Ladung: \(Q = I \cdot t\). Proportional heißt hier: doppelter Strom oder doppelte Zeit, doppelte Ladung. So berechnet man, wie viel Ladung eine Batterie abgibt oder gespeichert hat.
\(Q = I \cdot t\) ist ein Examensklassiker, meist als entnommene Ladung einer Batterie. Achte darauf, die Zeit vorher in Sekunden umzurechnen, sonst ist das Ergebnis um den Faktor 60 oder 3600 falsch.
Eine Taschenlampe zieht 40 Minuten lang \(0{,}25\,\mathrm{A}\). Welche Ladung entnimmt sie der Batterie?
- Zeit umrechnen: \(t = 40 \cdot 60\,\mathrm{s} = 2400\,\mathrm{s}\).
- Einsetzen: \(Q = 0{,}25\,\mathrm{A} \cdot 2400\,\mathrm{s} = 600\,\mathrm{A\,s}\).
- Einheit deuten: \(600\,\mathrm{A\,s} = 600\,\mathrm{C}\).
Umgekehrt liefert \(\Delta t = Q/I\) die Transportzeit. Sollen \(9000\,\mathrm{C}\) mit \(0{,}5\,\mathrm{A}\) fließen, dauert das \(18\,000\,\mathrm{s}\). Geteilt durch 3600 sind das 5 Stunden.
Wie viele Ladungsträger fließen?
Aus \(I = N \cdot e / t\) folgt die Zahl der Elementarladungen pro Sekunde: \(N/t = I/e\). Das gilt für Elektronen im Draht ebenso wie für einen Strahl einfach geladener Ionen. Bei \(2\,\mathrm{A}\) sind es \(2\,\mathrm{A} / 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C} = 1{,}25 \cdot 10^{19}\) Elektronen pro Sekunde.
\(1\,\mathrm{mA}\) entspricht etwa \(6 \cdot 10^{15}\) Elementarladungen pro Sekunde, \(1\,\mathrm{A}\) also etwa \(6 \cdot 10^{18}\).
Typische Fehler sind vergessene Zehnerpotenzen bei mA oder µA und die Zeit in Minuten oder Stunden. Bei mehrfach geladenen Teilchen zählt jedes Teilchen mit seiner Ladungszahl.
Stromdichte
Dieselbe Stromstärke kann einen Leiter ganz unterschiedlich belasten. Entscheidend ist, auf welche Fläche sich der Strom verteilt. Dafür gibt es die Stromdichte.
Die elektrische Stromdichte ist die Stromstärke pro Querschnittsfläche des Leiters: \(j = I/A\). Ihre Einheit ist \(\mathrm{A/m^2}\), in der Praxis meist \(\mathrm{A/mm^2}\).
Wie die Abbildung zeigt, passieren in beiden Leiterstücken gleich viele Ladungsträger pro Sekunde, die Stromstärke ist also gleich. Im dünnen Leiter drängen sie sich durch eine kleinere Fläche. Dort ist die Stromdichte größer, und der Draht erwärmt sich stärker. Halbe Querschnittsfläche bei gleichem Strom bedeutet doppelte Stromdichte.
Nicht verwechseln sollte man die Stromdichte mit der Raumladungsdichte \(\rho = Q/V\). Sie beschreibt Ladung pro Volumen und hat die Einheit \(\mathrm{C/m^3}\). Sie sagt also, wie viel Ladung in einem Raumbereich sitzt, nicht wie viel durch eine Fläche strömt. Besonders prüfungsrelevant ist die Unterscheidung über die Einheit: Stromdichte in \(\mathrm{A/m^2}\), Raumladungsdichte in \(\mathrm{C/m^3}\).
Verteilt sich der Strom gleichmäßig über den Querschnitt, gilt umgekehrt \(I = j \cdot A\). Für einen runden Draht mit Radius \(r\) ist \(A = \pi r^2\), also \(I = j \cdot \pi r^2\).
- Fläche berechnen: Ein Draht mit \(r = 0{,}5\,\mathrm{mm}\) hat \(A = \pi \cdot (0{,}5\,\mathrm{mm})^2 \approx 0{,}785\,\mathrm{mm^2}\).
- Einsetzen: Bei \(j = 4\,\mathrm{A/mm^2}\) folgt \(I = 4\,\mathrm{A/mm^2} \cdot 0{,}785\,\mathrm{mm^2}\).
- Ergebnis: \(I \approx 3{,}1\,\mathrm{A}\).
Achte darauf, dass der Radius quadratisch eingeht. Wer den Durchmesser statt des Radius einsetzt, erhält das Vierfache. Gibt man \(j\) in \(\mathrm{A/m^2}\) an, muss auch die Fläche in \(\mathrm{m^2}\) stehen.
Stromrichtung und Stromwirkungen
Die technische Stromrichtung wurde festgelegt, bevor man das Elektron kannte. Man nahm positive Ladungsträger an. Deshalb fließt der technische Strom im äußeren Stromkreis vom Plus- zum Minuspol. Die Elektronen im Draht bewegen sich tatsächlich in die Gegenrichtung, von Minus nach Plus. Schaltpläne und Rechenregeln verwenden trotzdem die technische Richtung.
In einem Metalldraht stoßen die wandernden Elektronen ständig mit den Atomrümpfen des Gitters zusammen. Dabei geben sie Energie ab, und der Leiter erwärmt sich. Diese Joule-Wärme tritt bei jedem Stromfluss in einem nicht supraleitenden Metall auf. Rechnerisch behandelt sie Leistung am ohmschen Widerstand.
Eine chemische Wirkung hat der Strom im Metall dagegen nicht. Die Ladung tragen allein Elektronen, die Metallatome bleiben an ihrem Platz. Anders als in einer Elektrolytlösung wird daher nichts zersetzt oder abgeschieden, auch nicht bei lang anhaltendem Gleichstrom. Stoffumsatz durch Strom gibt es erst bei Ionenleitung, siehe Elektrolyse.
Spannung und Teilchenenergie
Die Spannung \(U\) ist eine Potentialdifferenz. Sie gibt an, wie viel Energie pro Ladung beim Durchlaufen frei wird oder aufgewendet werden muss. Daraus folgt ihre Einheit, das Volt: \(1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J/C}\).
Einheiten ineinander umrechnen
Mit \(\mathrm{J} = \mathrm{N \cdot m} = \mathrm{W \cdot s}\) und \(1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A\,s}\) lassen sich Einheitengleichungen prüfen. Man ersetzt Schritt für Schritt abgeleitete Einheiten, bis beide Seiten gleich aussehen. Mehr dazu unter abgeleitete Größen und Einheiten.
- Definition: \(1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J/C}\).
- Joule ersetzen: \(1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N \cdot m}\), also \(1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{N \cdot m / C}\).
- Coulomb ersetzen: \(1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A \cdot s}\), also \(1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{N \cdot m/(A \cdot s)}\).
- Nach Ampere auflösen: \(1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{N \cdot m/(V \cdot s)} = 1\,\mathrm{W/V}\).
\(1\,\mathrm{J/V}\) ist ein Coulomb, kein Ampere. Erst wenn zusätzlich durch die Zeit geteilt wird, entsteht mit \(1\,\mathrm{J/(V \cdot s)}\) ein Ampere.
Energie beim Durchlaufen einer Spannung
Bewegt sich eine Ladung \(Q\) durch die Potentialdifferenz \(U\), wird die Energie \(W = Q \cdot U\) umgesetzt. Will man \(0{,}02\,\mathrm{C}\) gegen \(12\,\mathrm{V}\) befördern, muss man \(0{,}24\,\mathrm{J}\) aufwenden.
Für ein einzelnes Teilchen mit der Ladung \(e\), das aus der Ruhe startet, wird die ganze Energie zu Bewegungsenergie:
\[E_{kin} = e \cdot U\]
Das gilt für Elektron und Proton gleichermaßen. Das Elektron startet an der negativen Platte und fliegt zur positiven, das Proton umgekehrt. Beide erreichen nach derselben Spannung dieselbe Energie, wie die Abbildung zeigt. Das schwerere Proton ist dabei allerdings viel langsamer.
In Joule ergeben sich winzige Zahlen. Ein Elektron, das \(2000\,\mathrm{V}\) durchläuft, gewinnt \(1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C} \cdot 2000\,\mathrm{V} = 3{,}2 \cdot 10^{-16}\,\mathrm{J}\). Praktischer ist das Elektronenvolt. Setzt man \(U\) in Volt ein, steht die Energie direkt in eV da: hier also \(2000\,\mathrm{eV} = 2\,\mathrm{keV}\). Ein Proton zwischen Kondensatorplatten mit \(500\,\mathrm{V}\) erreicht entsprechend \(500\,\mathrm{eV}\).
Genauso bestimmt man die Auftreffenergie der Elektronen in einer Röntgenröhre. Bei \(30\,\mathrm{kV}\) Anodenspannung treffen sie mit \(30\,\mathrm{keV}\) auf. Für ein zweifach geladenes Ion verdoppelt sich der Wert, denn die Energie wächst proportional zur Ladung.
Quiz
Aussage 1
Bei einer Stromstärke von \(1\,\mathrm{mA}\) passieren etwa \(6 \cdot 10^{15}\) Elementarladungen pro Sekunde den Querschnitt.
\(N/t = I/e = 10^{-3}\,\mathrm{A} / 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C} \approx 6 \cdot 10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}\).
Aussage 2
Die elektrische Stromdichte hat die Einheit \(\mathrm{C/m^3}\).
\(\mathrm{C/m^3}\) ist die Einheit der Raumladungsdichte. Die Stromdichte \(j = I/A\) wird in \(\mathrm{A/m^2}\) angegeben.
Aussage 3
Die Einheit \(1\,\mathrm{J/V}\) entspricht einem Ampere.
\(1\,\mathrm{J/V} = 1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A\,s}\). Ein Ampere ist \(1\,\mathrm{J/(V \cdot s)} = 1\,\mathrm{N \cdot m/(V \cdot s)}\).
Aussage 4
Gleichstrom durch einen Kupferdraht erwärmt den Draht, verändert ihn aber chemisch nicht.
Im Metall tragen nur Elektronen die Ladung. Es entsteht Joule-Wärme, aber kein Stoffumsatz wie bei der Elektrolyse.
Aussage 5
Ein anfangs ruhendes Proton, das eine Spannung von \(200\,\mathrm{V}\) durchläuft, besitzt danach eine kinetische Energie von \(200\,\mathrm{eV}\).
\(E = e \cdot U\); mit \(U\) in Volt ergibt sich die Energie direkt in eV, unabhängig von der Masse des Teilchens.
Aussage 6
Fließt 10 Minuten lang ein konstanter Strom von \(0{,}5\,\mathrm{A}\), werden \(300\,\mathrm{C}\) transportiert.
\(Q = I \cdot t = 0{,}5\,\mathrm{A} \cdot 600\,\mathrm{s} = 300\,\mathrm{C}\).
Aussage 7
Die pro Zeitintervall durch den Leiterquerschnitt fließende Ladung bezeichnet man als Stromdichte.
Das ist die Stromstärke \(I = \Delta Q/\Delta t\). Die Stromdichte ist zusätzlich auf die Querschnittsfläche bezogen: \(j = I/A\).
Aussage 8
Im äußeren Stromkreis fließt der technische Strom vom Minus- zum Pluspol.
Von Minus nach Plus bewegen sich die Elektronen. Der technische Strom fließt außen vom Plus- zum Minuspol.
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