Quellenspannung, Innenwiderstand und Zusammenschaltung
Wie Quellenspannung, Innenwiderstand und Kurzschlussstrom die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle bestimmen und was beim Zusammenschalten mehrerer Quellen passiert.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine reale Spannungsquelle lässt sich als ideale Quelle mit der Quellenspannung \(U_0\) und dem Innenwiderstand \(R_i\) in Reihe beschreiben.
- Die Leerlaufspannung ist die Klemmenspannung bei \(I = 0\); ein Voltmeter mit praktisch unendlich großem Innenwiderstand misst sie.
- Unter Last gilt \(U_K = U_0 - I \cdot R_i\): Die Klemmenspannung ist um den Spannungsabfall am Innenwiderstand kleiner als \(U_0\).
- Die U-I-Kennlinie ist eine fallende Gerade: Achsenabschnitt \(U_0\), Betrag der Steigung \(R_i\), Nullstelle beim Kurzschlussstrom \(I_K = U_0/R_i\).
- In Reihe addieren sich gleichsinnig gepolte Spannungen, gegensinnige werden subtrahiert; der maximale Strom steigt nicht. Parallel bleibt die Spannung gleich, \(R_i\) sinkt und der maximale Strom steigt.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Eine Batterie liefert unter Last weniger Spannung, als auf ihr steht. Der Grund ist ihr Innenwiderstand. Mit einem einfachen Ersatzschaltbild lassen sich Klemmenspannung, Kurzschlussstrom und das Verhalten von Batterien in Reihe oder parallel berechnen, etwa bei Messgeräten und batteriebetriebenen Geräten im Labor.
Ersatzschaltbild
Jede reale Spannungsquelle verhält sich nach außen wie zwei Bauteile in Reihe. Das gilt für Batterie, Akkumulator und Netzgerät. Das erste Bauteil ist eine ideale Spannungsquelle. Sie liefert immer dieselbe Spannung \(U_0\), egal wie viel Strom fließt.
Das zweite ist der Innenwiderstand \(R_i\). Er fasst alle Widerstände im Inneren der Quelle zusammen, etwa den von Elektrolyt und Elektroden. Beide sitzen hinter den zwei Klemmen, an die man den Verbraucher anschließt. Der Strom \(I\) durch den Lastwiderstand fließt deshalb immer auch durch \(R_i\).
Leerlauf- und Klemmenspannung
Fließt kein Strom, fällt an \(R_i\) nach dem Ohm’schen Gesetz keine Spannung ab. An den Klemmen liegt dann die volle Quellenspannung \(U_0\). Man nennt sie auch Leerlaufspannung: Sie ist die Klemmenspannung bei der Stromstärke null.
Gemessen wird sie mit einem Voltmeter, dessen Innenwiderstand praktisch unendlich groß ist. Es zieht kaum Strom, die Quelle bleibt im Leerlauf. Warum das so ist, erklärt die Einheit zur Strom- und Spannungsmessung.
Entnimmt ein Verbraucher Strom, fällt am Innenwiderstand die Spannung \(I \cdot R_i\) ab. Die Klemmenspannung \(U_K\) ist um genau diesen Betrag kleiner als \(U_0\). Bei einer belasteten Gleichspannungsquelle mit Innenwiderstand gilt also stets \(U_K < U_0\).
\[U_K = U_0 - I \cdot R_i\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(U_K\) | Klemmenspannung unter Last | V |
| \(U_0\) | Quellen- bzw. Leerlaufspannung | V |
| \(I\) | entnommene Stromstärke | A |
| \(R_i\) | Innenwiderstand der Quelle | Ω |
Der Verlust wächst proportional mit dem Strom: doppelter Strom, doppelter Spannungsabfall innen. Das sieht man beim Starten eines Autos. Der Anlasser zieht kurz einen großen Strom, und das Licht wird dunkler.
Beispiel: Ein Bleiakkumulator hat \(U_0 = 12{,}6\) V und \(R_i = 0{,}05\) Ω. Der Anlasser entnimmt 40 A.
- Spannungsabfall innen: \(I \cdot R_i = 40\ \mathrm{A} \cdot 0{,}05\ \Omega = 2{,}0\ \mathrm{V}\)
- Abziehen: \(U_K = 12{,}6\ \mathrm{V} - 2{,}0\ \mathrm{V} = 10{,}6\ \mathrm{V}\)
- Prüfen: \(U_K\) liegt unter \(U_0\), wie es bei Belastung sein muss.
Häufige Fehler sind das falsche Vorzeichen, also \(U_0 + I \cdot R_i\), und Milliohm, die nicht in Ohm umgerechnet werden.
Kennlinie und Kurzschluss
Trägt man \(U_K\) gegen \(I\) auf, erhält man die Kennlinie der Quelle. Ist \(R_i\) unabhängig von der Stromstärke, ist die Formel eine Geradengleichung. Die Kennlinie ist dann eine linear fallende Gerade. Eine ideale Quelle hätte dagegen eine waagerechte Kennlinie, weil ihr kein Innenwiderstand Spannung nimmt.
Aus der Geraden liest man ab:
- Der Achsenabschnitt auf der Spannungsachse ist die Leerlaufspannung \(U_0\).
- Der Betrag der Steigung ist der Innenwiderstand \(R_i\).
- Die Nullstelle auf der Stromachse ist der Kurzschlussstrom \(I_K\).
Sucht man unter mehreren Skizzen die reale Quelle mit konstantem \(R_i\), wählt man genau diese Form: eine Gerade, die bei \(U_0\) beginnt und nach rechts unten fällt. Gekrümmte oder steigende Verläufe beschreiben etwas anderes.
Verbindet man die Klemmen direkt, geht der äußere Widerstand \(R_a \to 0\). Die ganze Quellenspannung fällt dann innen ab, die Klemmenspannung wird null. Praktisch gilt das schon bei \(R_a \ll R_i\). Setzt man \(U_K = 0\) ein, folgt der Kurzschlussstrom:
\[I_K = \frac{U_0}{R_i} \qquad\Leftrightarrow\qquad R_i = \frac{U_0}{I_K}\]
Beispiel: Eine Zelle mit \(U_0 = 1{,}5\) V liefert im Kurzschluss 3 A. Ihr Innenwiderstand ist \(1{,}5\ \mathrm{V} / 3\ \mathrm{A} = 0{,}5\ \Omega\). Genauso bestimmt man \(R_i\) im Diagramm: Achsenabschnitt geteilt durch Nullstelle.
Zusammenschaltung von Quellen
In der Reihenschaltung verbindet man den Pluspol einer Zelle mit dem Minuspol der nächsten. Die Spannungen gleichsinnig gepolter Quellen addieren sich: \(U = U_1 + U_2 + \dots\). Ist eine Zelle umgedreht, zählt ihre Spannung negativ. Im Schaltsymbol ist die lange Platte der Pluspol, die kurze der Minuspol.
In der Abbildung liegen drei Zellen zu je 1,5 V in Reihe, die dritte ist umgedreht. Abgreifbar sind also \(1{,}5 + 1{,}5 - 1{,}5 = 1{,}5\) V. Auch die Innenwiderstände addieren sich. Bei \(n\) gleichen Zellen steigen \(U_0\) und \(R_i\) beide auf das \(n\)-Fache. Der Kurzschlussstrom \(nU_0/(nR_i)\) bleibt deshalb gleich.
Die Reihenschaltung wird im Examen gerne gefragt: Gleichsinnig gepolte Spannungen werden addiert, gegensinnig gepolte subtrahiert. Achte auf die Polung im Symbol und darauf, dass die Reihenschaltung nur die Spannung erhöht, die maximale Stromstärke aber nicht.
Bei der Parallelschaltung verbindet man alle Pluspole miteinander und alle Minuspole miteinander. Gleiche Quellen liefern zusammen dieselbe Spannung wie eine einzelne. Ihre Innenwiderstände liegen aber parallel. Bei \(n\) gleichen Zellen sinkt der Gesamtinnenwiderstand auf \(R_i/n\), und die maximale Stromstärke steigt auf das \(n\)-Fache. Man kann sich das wie mehrere parallele Wasserleitungen vorstellen: Der Druck bleibt, der mögliche Durchfluss wächst.
Schaltet man zwei gleiche Zellen parallel, aber jeweils Plus an Minus, liefert die Anordnung keine Spannung. Die Zellen schließen sich gegenseitig kurz, und durch beide Innenwiderstände fließt ein großer Strom.
Quiz
Aussage 1
Der Kurzschlussstrom einer Spannungsquelle ergibt sich als Produkt aus Leerlaufspannung und Innenwiderstand.
Es gilt \(I_K = U_0/R_i\), also der Quotient. Umgekehrt folgt \(R_i = U_0/I_K\).
Aussage 2
Schaltet man drei gleiche Zellen gleichsinnig in Reihe, verdreifacht sich der maximal entnehmbare Strom.
Spannung und Innenwiderstand verdreifachen sich beide, der Kurzschlussstrom bleibt gleich. Eine höhere Stromstärke erreicht man durch Parallelschaltung.
Aussage 3
Wird einer Gleichspannungsquelle mit Innenwiderstand Strom entnommen, steigt ihre Klemmenspannung über die Leerlaufspannung.
Unter Last sinkt die Klemmenspannung: \(U_K = U_0 - I \cdot R_i\), also stets kleiner als \(U_0\).
Aussage 4
Zwei gleiche, gleichsinnig parallel geschaltete Zellen liefern die Spannung einer Einzelzelle bei halbiertem Gesamtinnenwiderstand.
Parallel bleibt die Spannung gleich, die Innenwiderstände liegen parallel: \(R_i/2\).
Aussage 5
In der U-I-Kennlinie einer Quelle mit konstantem Innenwiderstand entspricht der Betrag der Steigung dem Innenwiderstand.
Die Kennlinie ist die Gerade \(U_K = U_0 - R_i \cdot I\); ihre Steigung ist \(-R_i\), der Achsenabschnitt \(U_0\).
Aussage 6
Ein Voltmeter mit praktisch unendlich großem Innenwiderstand zeigt an einer Batterie deren Leerlaufspannung an.
Es fließt praktisch kein Strom, also fällt an \(R_i\) keine Spannung ab und \(U_K = U_0\).
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.