LC-Schwingkreis und Thomson’sche Schwingungsgleichung
Wie Spule und Kondensator gemeinsam elektrisch schwingen und wie man mit der Thomson’schen Schwingungsgleichung Eigenfrequenz, Kapazität oder Induktivität berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus Spule und Kondensator, zwischen deren Feldern die Energie periodisch hin- und herpendelt.
- Im idealen Schwingkreis gibt es keinen ohmschen Widerstand, ein zusätzlicher Widerstand dämpft die Schwingung. Schaltungen aus nur Spulen, nur Kondensatoren oder Widerstand mit nur einem der beiden schwingen nicht.
- Thomson’sche Schwingungsgleichung: \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\), \(f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})\) und \(T = 2\pi\sqrt{LC}\). Die Eigenfrequenz ist zugleich die Resonanzfrequenz.
- Größeres \(L\) oder größeres \(C\) verlängert die Periodendauer. Die Eigenfrequenz bleibt gleich, solange das Produkt \(L \cdot C\) konstant ist, bei doppeltem \(L\) also halbes \(C\).
- Umgestellt gilt \(C = 1/(\omega_0^2 L)\) und \(L = 1/(\omega_0^2 C) = 1/(4\pi^2 f_0^2 C)\).
- Im offenen Schwingkreis (Hertz’scher Dipol) lösen sich die Felder ab und breiten sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit aus.
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Worum es geht
Ein Kondensator und eine Spule genügen, um eine elektrische Schwingung zu erzeugen. Der LC-Schwingkreis gehört zur Wechselstromlehre und ist das elektrische Gegenstück zum Federpendel. In der Pharmazie steckt er in Geräten, die mit festen Frequenzen arbeiten, etwa im Hochfrequenzteil eines NMR-Spektrometers.
Aufbau und Funktion
Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus einer Spule mit der Induktivität \(L\) und einem Kondensator mit der Kapazität \(C\). Beide sind zu einem geschlossenen Kreis verbunden und beide sind unverzichtbar. Der Kondensator speichert Energie im elektrischen Feld, die Spule im Magnetfeld. Die Grundlagen dazu stehen bei Kapazität und Selbstinduktion.
Energie pendelt zwischen zwei Feldern
Lädt man den Kondensator auf und schließt den Kreis, läuft eine Schwingung in vier Phasen ab.
- Kondensator voll: Die gesamte Energie steckt im elektrischen Feld zwischen den Platten, \(E_{\mathrm{el}} = \frac{1}{2}CU^2\). Der Strom ist null.
- Entladung: Der Kondensator entlädt sich über die Spule. Die Selbstinduktion bremst den Stromanstieg. Ist der Kondensator leer, ist der Strom maximal und die Energie steckt im Magnetfeld, \(E_{\mathrm{mag}} = \frac{1}{2}LI^2\).
- Umladung: Das abklingende Magnetfeld hält den Strom aufrecht. Er lädt den Kondensator mit umgekehrter Polung auf.
- Rückfluss: Alles läuft in Gegenrichtung ab, bis der Ausgangszustand wieder erreicht ist.
Man kann sich das wie ein Pendel vorstellen. Die Spule übernimmt die Rolle der trägen Masse, die über den Nullpunkt hinausschwingt.
Spannung am Kondensator und Strom verlaufen deshalb sinusförmig. Sie sind um eine Viertelperiode gegeneinander verschoben. Ist die Spannung maximal, fließt kein Strom. Beim Nulldurchgang der Spannung ist der Strom am größten.
Ideal und real
Im idealen Schwingkreis gibt es keinen ohmschen Widerstand. Die Energie pendelt dann verlustfrei, und die Schwingung hält unbegrenzt an. Jeder reale Kreis hat aber Leitungs- und Spulenwiderstand. Dort wird in jeder Periode ein Teil der Energie zu Joule’scher Wärme, und die Amplitude nimmt ab. So entsteht eine gedämpfte Schwingung im RLC-Kreis.
Schwingkreise in Schaltskizzen erkennen
Beim Erkennen hilft eine einzige Frage: Gibt es einen Speicher für das elektrische und einen für das magnetische Feld? Zwei parallel geschaltete Spulen wirken nur wie eine Spule, denn ihnen fehlt der Kondensator. Zwei parallele Kondensatoren ergeben entsprechend nur eine größere Kapazität. Ein RC-Glied entlädt sich bloß exponentiell, weil der Widerstand die Energie in Wärme umwandelt, statt sie an ein zweites Feld weiterzugeben. Für Widerstand und Spule gilt dasselbe.
Schwingfähig ist eine Schaltung nur mit L und C zugleich. Ein zusätzlicher Widerstand macht daraus einen gedämpften Schwingkreis, ersetzt aber keines der beiden Bauteile.
Thomson’sche Schwingungsgleichung
Wie schnell die Energie hin- und herpendelt, hängt nur von \(L\) und \(C\) ab. Diesen Zusammenhang beschreibt die Thomson’sche Schwingungsgleichung. Sie gilt für den idealen, verlustfreien Kreis und gibt seine Eigenschwingung in drei gleichwertigen Formen an.
\[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \qquad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \qquad T = 2\pi\sqrt{LC}\]
Die drei Formen hängen über \(\omega_0 = 2\pi f_0\) und \(T = 1/f_0\) zusammen.
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\omega_0\) | Eigenkreisfrequenz | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
| \(f_0\) | Eigenfrequenz | Hz \(= \mathrm{s^{-1}}\) |
| \(T\) | Periodendauer | s |
| \(L\) | Induktivität der Spule | H (Henry) \(= \mathrm{V\,s/A}\) |
| \(C\) | Kapazität des Kondensators | F (Farad) \(= \mathrm{A\,s/V}\) |
Das Produkt \(L \cdot C\) hat die Einheit \(\mathrm{s^2}\). Die Wurzel daraus ist also eine Zeit, wie es für eine Periodendauer sein muss.
Resonanz
Die Eigenfrequenz heißt auch Resonanzfrequenz. Regt eine äußere Wechselspannung den Kreis genau mit \(f_0\) an, wird die Amplitude maximal. Das ist Resonanz. Bei dieser Frequenz sind induktiver und kapazitiver Widerstand gleich groß. Aus \(\omega L = 1/(\omega C)\) folgt direkt \(\omega_0^2 = 1/(LC)\). Den Vergleich mit dem Federpendel findest du bei Eigenfrequenz von Federpendel und Schwingkreis.
Die Thomson’sche Schwingungsgleichung ist ein Examensklassiker: \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\), \(f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})\) und \(T = 2\pi\sqrt{LC}\) musst du sicher auseinanderhalten. Achte darauf, dass der Faktor \(2\pi\) nur bei \(f_0\) und \(T\) auftaucht und \(L\) und \(C\) immer unter der Wurzel stehen.
Einfluss von L und C
Größere Werte von \(L\) oder \(C\) machen die Schwingung langsamer. Eine größere Induktivität bremst jede Stromänderung stärker. Eine größere Kapazität fasst mehr Ladung, die erst durch die Spule fließen muss. In beiden Fällen verlängert sich die Periodendauer, und die Eigenfrequenz sinkt.
Weil \(L\) und \(C\) unter einer Wurzel stehen, wirken sie nicht linear:
- Vierfache Kapazität oder vierfache Induktivität: doppelte Periodendauer, halbe Eigenfrequenz.
- Doppelte Kapazität: Die Frequenz sinkt um den Faktor \(\sqrt{2}\) auf etwa 71 %.
- Doppelte Induktivität und halbe Kapazität: Die Eigenfrequenz bleibt gleich.
Entscheidend ist allein das Produkt \(L \cdot C\). Solange es konstant bleibt, bleibt auch die Eigenfrequenz gleich.
Rechnungen
Für Rechnungen stellt man die Thomson-Gleichung zuerst um. Quadrieren liefert \(L \cdot C = 1/\omega_0^2\). Daraus folgen die gesuchten Bauteilwerte.
\[C = \frac{1}{\omega_0^2 L} \qquad L = \frac{1}{\omega_0^2 C} = \frac{1}{4\pi^2 f_0^2 C}\]
Frequenz aus L und C
Eine Spule mit \(L = 10\ \mathrm{mH}\) ist mit einem Kondensator mit \(C = 100\ \mathrm{nF}\) verbunden.
- In SI-Einheiten umrechnen: \(L = 1{,}0 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{H}\) und \(C = 1{,}0 \cdot 10^{-7}\ \mathrm{F}\).
- Produkt bilden: \(L \cdot C = 1{,}0 \cdot 10^{-9}\ \mathrm{s^2}\), also \(\sqrt{LC} \approx 3{,}16 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{s}\).
- Kreisfrequenz: \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC} \approx 3{,}16 \cdot 10^{4}\ \mathrm{s^{-1}}\).
- Frequenz und Periode: \(f_0 = \omega_0/(2\pi) \approx 5{,}0\ \mathrm{kHz}\) und \(T = 1/f_0 \approx 0{,}20\ \mathrm{ms}\).
Induktivität für eine Wunschfrequenz
Ein Kreis mit \(C = 1{,}0\ \mathrm{nF}\) soll bei \(f_0 = 1{,}0\ \mathrm{MHz}\) schwingen. Der Nenner ist \(4\pi^2 f_0^2 C \approx 39{,}5 \cdot 10^{12}\ \mathrm{s^{-2}} \cdot 10^{-9}\ \mathrm{F} \approx 3{,}95 \cdot 10^{4}\ \mathrm{H^{-1}}\). Daraus folgt \(L \approx 2{,}5 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{H}\), also etwa 25 µH. Ist statt \(f_0\) die Kreisfrequenz gegeben, entfällt der Faktor \(4\pi^2\).
Kapazität anpassen
Tauscht man eine Spule mit 2,0 mH gegen eine mit 6,0 mH, steigt \(L\) auf das Dreifache. Damit \(f_0\) gleich bleibt, muss \(L \cdot C\) konstant bleiben. Die Kapazität muss also auf ein Drittel sinken, etwa von 300 nF auf 100 nF. Den Zahlenwert von \(f_0\) braucht man dafür nicht.
Verwechsle \(\omega_0\) und \(f_0\) nicht, sie unterscheiden sich um den Faktor \(2\pi \approx 6{,}28\). Rechne Vorsätze wie mH, µF und nF vor dem Einsetzen in Zehnerpotenzen um und ziehe die Wurzel erst aus dem fertigen Produkt \(L \cdot C\).
Abstrahlung
Im geschlossenen Schwingkreis bleiben die Felder weitgehend im Bauteil. Das elektrische Feld sitzt zwischen den Platten, das magnetische in der Spule. Zieht man die Platten auseinander und streckt die Spule, reichen die Felder immer weiter in den Raum. Am Ende steht ein gerader Stab, der Hertz’sche Dipol. Er ist ein offener Schwingkreis und die Grundform jeder Antenne.
Die Feldlinien lösen sich vom Dipol ab und wandern als elektromagnetische Welle davon. Im Vakuum breiten sich elektromagnetische Felder mit Lichtgeschwindigkeit aus, \(c \approx 3{,}00 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}\). Wie Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit zusammenhängen, steht bei den Kenngrößen von Wellen.
Quiz
Aussage 1
Die von einem Hertz’schen Dipol abgestrahlten elektromagnetischen Felder breiten sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit aus.
Elektromagnetische Felder breiten sich im Vakuum mit \(c \approx 3{,}00 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}\) aus.
Aussage 2
Im Augenblick des maximalen Stroms ist der Kondensator eines idealen Schwingkreises vollständig entladen.
Dann steckt die gesamte Energie im Magnetfeld der Spule. Spannung und Strom sind um eine Viertelperiode verschoben.
Aussage 3
Wird die Induktivität verdoppelt und gleichzeitig die Kapazität halbiert, behält der Schwingkreis seine Eigenfrequenz.
Die Eigenfrequenz hängt nur vom Produkt \(L \cdot C\) ab, und dieses bleibt hier unverändert.
Aussage 4
Verdoppelt man die Kapazität eines Schwingkreises, halbiert sich seine Eigenfrequenz.
\(C\) steht unter der Wurzel. Die Eigenfrequenz sinkt daher nur um den Faktor \(\sqrt{2}\) auf etwa 71 %. Halbiert wird sie erst bei vierfacher Kapazität.
Aussage 5
Ein ohmscher Widerstand in Reihe mit einem Kondensator bildet bereits einen elektrischen Schwingkreis.
Es fehlt die Spule als Speicher für das Magnetfeld. Ein solches RC-Glied entlädt sich nur exponentiell. Schwingfähig ist eine Schaltung nur mit Spule und Kondensator.
Aussage 6
Die Periodendauer eines idealen LC-Schwingkreises beträgt \(T = 2\pi\sqrt{LC}\).
Das ist eine der drei Formen der Thomson’schen Schwingungsgleichung, sie ist der Kehrwert von \(f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})\).
Aussage 7
Die Eigenkreisfrequenz eines LC-Schwingkreises berechnet man mit \(\omega_0 = 2\pi\sqrt{LC}\).
\(2\pi\sqrt{LC}\) ist die Periodendauer \(T\). Für die Eigenkreisfrequenz gilt \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).
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