Widerstand, Leitwert und Ohm’sches Gesetz
Wie Widerstand, Leitwert und Stromstärke über das Ohm’sche Gesetz zusammenhängen und wie man Kennlinien ohmscher und nichtohmscher Bauteile auswertet.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Widerstand ist der Quotient aus Spannung und Stromstärke, \(R = U/I\), mit der Einheit Ohm (\(1\ \Omega = 1\ \mathrm{V/A}\)).
- Der Leitwert \(G = I/U = 1/R\) hat die Einheit Siemens, also \(1/\Omega\) oder \(\mathrm{A/V}\).
- Am ohmschen Widerstand sind \(U\) und \(I\) proportional. Bei gleicher Spannung führt der kleinere Widerstand den größeren Strom, \(I = U/R\).
- Im \(U\)-über-\(I\)-Diagramm ist die Steigung \(R\), im \(I\)-über-\(U\)-Diagramm der Leitwert \(G\). Werte in mA vorher in A umrechnen.
- Proportionale Abhängigkeiten ergeben eine Ursprungsgerade, umgekehrt proportionale eine Hyperbel.
- Eine Elektrolysezelle leitet bis zur Zersetzungsspannung kaum. Ihren Widerstand liefert \(\Delta U/\Delta I\) im linearen Abschnitt.
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Worum es geht
Der Widerstand verknüpft Spannung und Stromstärke an einem Bauteil. Mit \(I = U/R\) rechnet man Ströme in Messgeräten, Heizdrähten und Elektrolysezellen aus. Die Formel ist das Werkzeug für alle späteren Schaltungsrechnungen.
Widerstand und Leitwert
Legt man an einen Leiter eine Spannung an, fließt ein Strom. Wie stark er ist, hängt davon ab, wie sehr der Leiter die Ladungsträger bremst. Diese Eigenschaft heißt Widerstand \(R\). Er ist definiert als Quotient aus Spannung und Stromstärke.
\[R = \frac{U}{I} \qquad I = \frac{U}{R} \qquad U = R \cdot I\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(R\) | Widerstand | Ohm, \(1\ \Omega = 1\ \mathrm{V/A}\) |
| \(U\) | Spannung am Bauteil | Volt (V) |
| \(I\) | Stromstärke durch das Bauteil | Ampere (A) |
| \(G\) | Leitwert, \(G = I/U = 1/R\) | Siemens, \(1\ \mathrm{S} = 1/\Omega = 1\ \mathrm{A/V}\) |
Ein Widerstand von 1 Ohm liegt vor, wenn bei 1 V genau 1 A fließt. Der Leitwert \(G = I/U\) dreht den Bruch um. Er sagt, wie gut ein Bauteil leitet. Widerstand und Leitwert sind deshalb umgekehrt proportional. Die Einheit des Leitwerts ist das Siemens (S), also \(1/\Omega\) oder \(\mathrm{A/V}\). Die Einheit \(\Omega\) gehört dagegen zum Widerstand, \(\Omega \cdot \mathrm{m}\) zum spezifischen Widerstand.
Der Quotient \(U/I\) lässt sich an jedem Punkt einer Messkurve bilden, dem Arbeitspunkt. Misst man bei 6,0 V einen Strom von 30 mA, ist \(R = 6{,}0\ \mathrm{V} / 0{,}030\ \mathrm{A} = 200\ \Omega\). Der Leitwert beträgt dann \(G = 1/(200\ \Omega) = 5\ \mathrm{mS}\).
Liegt ein Amperemeter im Kreis, liefert \(U_0/I\) aus Quellenspannung \(U_0\) und Strom den Gesamtwiderstand. Den Widerstand des Bauteils erhält man, wenn man den Innenwiderstand des Amperemeters abzieht: \(R = U_0/I - R_\mathrm{i}\). Ist \(R_\mathrm{i}\) sehr klein, darf man ihn vernachlässigen.
Ohm’sches Gesetz
Bei vielen Leitern, etwa Metalldrähten bei konstanter Temperatur, bleibt \(R\) konstant. Dann sind Spannung und Stromstärke proportional: doppelte Spannung, doppelter Strom. Das ist das Ohm’sche Gesetz. Ein Bauteil, das ihm folgt, heißt ohmscher Widerstand. Wie sich \(R\) mit der Temperatur ändert, zeigt die Einheit zur Elektronenleitung in Metallen.
Bei fester Spannung kehrt sich der Blick um. Jetzt ist \(I\) umgekehrt proportional zu \(R\). Man kann sich das wie zwei Rohre an derselben Pumpe vorstellen: Durch das weitere Rohr fließt mehr Wasser. Liegen 3 V an einem 3-Ω- und an einem 6-Ω-Draht, fließt durch den kleineren Widerstand der doppelte Strom.
Die Rechnung \(I = U/R\) wird im Examen gerne gefragt. Bei gleicher Spannung führt der kleinere Widerstand den größeren Strom. Der Quotient \(U/R\) ist die Stromstärke in A, die Stromdichte bekäme man erst durch weiteres Teilen durch die Querschnittsfläche.
So rechnet man den Strom aus einem Spannungsabfall:
- Größen notieren: Am Widerstand fallen \(U = 12\ \mathrm{V}\) ab, \(R = 48\ \Omega\).
- Formel wählen: \(I = U/R\).
- Einsetzen: \(I = 12\ \mathrm{V} / 48\ \Omega = 0{,}25\ \mathrm{A}\).
- Einheit prüfen: \(\mathrm{V}/\Omega = \mathrm{A}\), das Ergebnis ist eine Stromstärke.
Dieselbe Rechnung gilt für eine Spule in Reihe mit einem Widerstand an Gleichspannung. Nach dem Einschalten baut sich der Strom wegen der Selbstinduktion erst auf. Im stationären Zustand zählt nur der ohmsche Widerstand: \(I = U/R_\text{ges}\). Je kleiner der Widerstand der Spule, desto größer ist der Strom.
Kennlinien auswerten
Eine Kennlinie zeigt, welcher Strom bei welcher Spannung durch ein Bauteil fließt. Beim ohmschen Widerstand ist sie eine Ursprungsgerade. Welche Größe ihre Steigung angibt, hängt von der Achsenwahl ab. Trägt man \(U\) über \(I\) auf, ist die Steigung \(\Delta U/\Delta I = R\). Bei \(I\) über \(U\) ist sie der Leitwert \(G\), und \(R\) ist ihr Kehrwert.
Für den 250-Ω-Widerstand der Abbildung gehören zu 5,0 V genau 20 mA. Aus dem Steigungsdreieck folgt \(R = 5{,}0\ \mathrm{V} / 0{,}020\ \mathrm{A} = 250\ \Omega\).
Steht die Stromstärke in mA auf der Achse, rechne vor dem Teilen in A um. Wer 5,0 V durch 20 teilt, erhält 0,25 statt 250 Ω, also einen um den Faktor 1000 zu kleinen Wert.
Auch ohne Skalenwerte lässt sich ein Diagramm deuten. Eine proportionale Abhängigkeit wie \(I\) über \(U\) bei festem \(R\) ergibt eine Ursprungsgerade. Eine umgekehrt proportionale wie \(I\) über \(R\) bei fester Spannung ergibt eine Hyperbel. Sie fällt und nähert sich beiden Achsen an, ohne sie zu erreichen.
Kennlinie der Elektrolysezelle
Nicht jedes Bauteil ist ohmsch. Die Halbleiterdiode ist ein Beispiel, die Elektrolysezelle ein weiteres. Ihre Kennlinie verläuft zunächst fast waagerecht nahe null. Bis zur Zersetzungsspannung fließt kaum Strom. Erst darüber laufen an den Elektroden Reaktionen ab, und der Strom steigt annähernd linear an. Warum es diese Schwelle gibt, erklärt die Einheit zur Elektrolyse.
Der lineare Abschnitt zielt nicht auf den Ursprung. Seine gestrichelte Verlängerung trifft die Spannungsachse bei der Zersetzungsspannung. Der Quotient \(U/I\) an einem einzelnen Punkt ergäbe deshalb einen zu großen Wert. Den Widerstand während der Elektrolyse liefert der Kehrwert der Steigung im linearen Teil: \(R = \Delta U/\Delta I\). Steigt der Strom zwischen 3,0 V und 5,0 V von 0,10 A auf 0,50 A, ist \(R = 2{,}0\ \mathrm{V} / 0{,}40\ \mathrm{A} = 5{,}0\ \Omega\).
Quiz
Aussage 1
Bei einer ohmschen Kennlinie, in der die Stromstärke über der Spannung aufgetragen ist, gibt die Steigung direkt den Widerstand an.
Im \(I\)-über-\(U\)-Diagramm ist die Steigung der Leitwert \(G\). Der Widerstand ist ihr Kehrwert. Nur im \(U\)-über-\(I\)-Diagramm ist die Steigung \(R\).
Aussage 2
Der elektrische Leitwert kann in der Einheit \(\mathrm{A/V}\) angegeben werden.
\(G = I/U\), also Ampere pro Volt. Das entspricht \(1/\Omega\) und damit dem Siemens.
Aussage 3
Liegt dieselbe Spannung an einem 10-Ω- und einem 5-Ω-Widerstand, fließt durch den 5-Ω-Widerstand der doppelte Strom.
Nach \(I = U/R\) ist der Strom bei gleicher Spannung umgekehrt proportional zum Widerstand. Halber Widerstand bedeutet doppelten Strom.
Aussage 4
Den Widerstand einer Elektrolysezelle während der Elektrolyse bestimmt man aus \(\Delta U/\Delta I\) im linearen Abschnitt oberhalb der Zersetzungsspannung.
Der lineare Teil geht nicht durch den Ursprung. Deshalb liefert nur der Kehrwert seiner Steigung den Widerstand, nicht der Quotient \(U/I\) an einem Punkt.
Aussage 5
Teilt man die an einem Draht abfallende Spannung durch seinen Widerstand, erhält man die Stromdichte im Draht.
\(U/R\) ergibt die Stromstärke in A. Die Stromdichte erhält man erst, wenn man die Stromstärke noch durch die Querschnittsfläche teilt.
Aussage 6
Die Einheit \(\Omega \cdot \mathrm{m}\) ist eine gebräuchliche Einheit des elektrischen Leitwerts.
\(\Omega \cdot \mathrm{m}\) ist die Einheit des spezifischen Widerstands. Der Leitwert wird in Siemens, also \(1/\Omega\) oder \(\mathrm{A/V}\), angegeben.
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