Lorentzkraft auf bewegte Ladungen und Kreisbahnen
Wie groß die Kraft eines Magnetfelds auf eine bewegte Ladung ist, in welche Richtung sie zeigt und warum geladene Teilchen dabei auf Kreisbahnen laufen.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Lorentzkraft ist die Kraft eines Magnetfelds auf eine bewegte Ladung; ruhende oder ungeladene Teilchen erfahren keine Kraft und ungeladene fliegen geradlinig weiter.
- Bei Bewegung senkrecht zum Feld gilt \(F = q \cdot v \cdot B\) in Newton; die Kraft ist proportional zu Ladung, Geschwindigkeit und Flussdichte und unabhängig von der Masse.
- Die Kraft steht senkrecht auf \(\vec v\) und \(\vec B\), verrichtet keine Arbeit und lässt den Geschwindigkeitsbetrag konstant; die Richtung liefert die Dreifingerregel der rechten Hand für positive Ladungen.
- Im homogenen Feld läuft ein senkrecht eintretendes Teilchen auf einer Kreisbahn, nicht auf einer Parabel wie im elektrischen Feld; positive Ladungen umlaufen ein Feld in die Ebene (⊗) gegen den Uhrzeigersinn.
- Der Bahnradius \(r = \frac{m v}{|q| B}\) sinkt mit steigender Ladung; die Beschleunigung hängt von der spezifischen Ladung \(q/m\) ab, die beim Elektron viel größer ist als bei Ionen.
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Worum es geht
Ein Magnetfeld lenkt bewegte Ladungen seitlich ab, ohne sie schneller oder langsamer zu machen. Diese Lorentzkraft verbindet Elektrizität und Magnetismus. Sie ist die Grundlage von Elektronenstrahlröhren und von Geräten, die Ionen nach Masse und Ladung trennen, wie sie in der Arzneistoffanalytik verwendet werden.
Voraussetzungen
Ein Magnetfeld wirkt nicht auf jede Ladung. Es braucht zwei Bedingungen gleichzeitig: Das Teilchen muss geladen sein, und es muss sich bewegen. Fehlt eine davon, wirkt keine Kraft.
Die Lorentzkraft ist die Kraft, die ein Magnetfeld auf eine bewegte elektrische Ladung ausübt. Sie ist am größten, wenn sich die Ladung senkrecht zu den Feldlinien bewegt.
Ein Ion, das ruhig zwischen den Polen eines Magneten liegt, spürt also nichts. Ein Neutron oder ein neutrales Atom fliegt ebenfalls unbeeinflusst hindurch. Ungeladene Teilchen bewegen sich im Magnetfeld geradlinig weiter. Bewegt sich dagegen ein Ion oder Elektron senkrecht zum Feld, wirkt eine Kraft, und das Teilchen wird abgelenkt.
Die Lorentzkraft ist keine Coulomb-Kraft. Die Coulomb-Kraft geht von Ladungen und elektrischen Feldern aus und wirkt auch auf ruhende Ladungen, wie das Coulomb’sche Gesetz beschreibt. Ein reines Magnetfeld übt auf ein bewegtes Elektron keine Coulomb-Kraft aus. Es wirkt ausschließlich über die Bewegung der Ladung.
In diesem Punkt ähnelt die Lorentzkraft der Gleitreibung. Auch sie tritt erst auf, wenn sich ein Körper bewegt.
Betrag
Für eine Ladung, die sich senkrecht zu den Feldlinien bewegt, gilt eine einfache Produktformel. Sie verknüpft die Ladung mit der Geschwindigkeit und der magnetischen Flussdichte.
\[F = q \cdot v \cdot B\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(F\) | Betrag der Lorentzkraft | N |
| \(q\) | Ladung des Teilchens | C = A·s |
| \(v\) | Geschwindigkeit senkrecht zum Feld | m/s |
| \(B\) | magnetische Flussdichte | T = N/(A·m) = V·s/m² |
Die Kraft ist zu allen drei Größen proportional. Doppelte Ladung bedeutet doppelte Kraft, ebenso doppelte Geschwindigkeit oder doppelte Flussdichte. Ein stärkeres Feld lenkt daher stärker ab. Bei gleichem \(v\) und \(B\) erfährt ein \(\ce{Ca^2+}\)-Ion doppelt so viel Kraft wie ein \(\ce{Na+}\)-Ion. Wer die größte Kraft sucht, vergleicht also nur die Ladungsbeträge.
Die Masse kommt in der Formel nicht vor. Ein schweres Ion und ein Elektron mit gleichem Ladungsbetrag und gleicher Geschwindigkeit erfahren dieselbe Kraft. Die Masse entscheidet erst darüber, wie stark diese Kraft die Bahn verbiegt.
Steht die Geschwindigkeit schräg zum Feld, zählt nur ihr senkrechter Anteil. Allgemein gilt \(F = q\,v\,B\,\sin\alpha\) mit dem Winkel \(\alpha\) zwischen \(\vec v\) und \(\vec B\). Daraus folgen die Grenzfälle: Bei \(\alpha = 90°\) ist die Kraft maximal. Fliegt das Teilchen parallel zu den Feldlinien, ist \(\sin 0° = 0\) und die Kraft verschwindet. Bei \(v = 0\) wirkt ebenfalls keine Kraft.
Rechenbeispiel
Ein zweifach positiv geladenes Ion fliegt mit \(5{,}0 \cdot 10^5\) m/s senkrecht durch ein Feld mit \(B = 0{,}40\) T.
- Ladung bestimmen: \(q = 2e = 2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{C} = 3{,}2 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}\).
- Einsetzen: \(F = 3{,}2 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{C} \cdot 5{,}0 \cdot 10^5\ \mathrm{m/s} \cdot 0{,}40\ \mathrm{T}\).
- Einheit prüfen: \(\mathrm{C \cdot \frac{m}{s} \cdot T} = \mathrm{A\,s \cdot \frac{m}{s} \cdot \frac{N}{A\,m}} = \mathrm{N}\).
- Ergebnis: \(F = 6{,}4 \cdot 10^{-14}\) N.
Typische Fehler sind schnell vermieden. Millitesla müssen in Tesla umgerechnet werden (\(1\ \mathrm{mT} = 10^{-3}\ \mathrm{T}\)). Bei mehrfach geladenen Ionen gehört die Ladungszahl in \(q\). Für den Betrag rechnet man auch beim Elektron mit \(|q| = e\), das Vorzeichen bestimmt nur die Richtung.
Richtung
Vollständig beschreibt man die Lorentzkraft mit dem Vektorprodukt:
\[\vec F = q\,\vec v \times \vec B\]
Ein Vektorprodukt steht immer senkrecht auf beiden Faktoren. Die Lorentzkraft zeigt deshalb senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung und senkrecht zu den Feldlinien. Ein Teilchen wird also nie in Richtung der Feldlinien abgelenkt. Tritt eine Ladung senkrecht in ein Feld ein, das in die Zeichenebene zeigt, bleibt ihre gekrümmte Bahn in der Zeichenebene. Sie wird nicht parallel zum Feld aus der Ebene herausgedrückt.
Weil die Kraft stets quer zur Bewegung wirkt, verrichtet sie keine Arbeit. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant, und damit auch die kinetische Energie. Das Magnetfeld ändert nur die Richtung, so wie ein Seil einen geschleuderten Stein auf der Kreisbahn hält, ohne ihn zu beschleunigen.
Dreifingerregel
Die Richtung findet man ohne Rechnung mit der Dreifingerregel der rechten Hand. Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger werden paarweise senkrecht abgespreizt:
- Daumen: Bewegungsrichtung \(\vec v\) der positiven Ladung (Ursache)
- Zeigefinger: Feldrichtung \(\vec B\) (Vermittlung)
- Mittelfinger: Richtung der Lorentzkraft \(\vec F\) (Wirkung)
In Skizzen zeigt das Feld meist senkrecht zur Zeichenebene. Ein Kreuz ⊗ steht für ein Feld in die Ebene hinein, man sieht das Ende eines Pfeils. Ein Punkt ⊙ steht für ein Feld aus der Ebene heraus, man sieht die Pfeilspitze.
Die Regel der rechten Hand gilt für positive Ladungen. Bei Elektronen und Anionen kehrt sich die Kraft um: Man dreht das Ergebnis um oder nimmt gleich die linke Hand.
Zwei Beispiele zeigen die Anwendung. Eine positive Ladung fliegt nach rechts durch ein Feld aus der Ebene (⊙): Daumen nach rechts, Zeigefinger zum Betrachter, der Mittelfinger zeigt nach unten. Ein negatives Teilchen fliegt nach rechts durch ein Feld in die Ebene (⊗): Für eine positive Ladung käme oben heraus, für die negative also ebenfalls nach unten.
Da die Kraft immer zur Bahnmitte zeigt, ergibt sich ein fester Umlaufsinn. Teilchen mit entgegengesetztem Vorzeichen laufen stets entgegengesetzt um.
| Feld | positive Ladung | negative Ladung |
|---|---|---|
| in die Ebene (⊗) | gegen den Uhrzeigersinn | im Uhrzeigersinn |
| aus der Ebene (⊙) | im Uhrzeigersinn | gegen den Uhrzeigersinn |
Die Ablenkrichtung aus einer Skizze zu bestimmen wird im Examen gerne gefragt: Eine positive Ladung, die im Feld ⊙ nach rechts fliegt, wird nach unten abgelenkt, im Feld ⊗ läuft sie gegen den Uhrzeigersinn um. Prüfe immer zuerst das Vorzeichen, denn bei negativer Ladung kehrt sich alles um.
Kreisbahn
Im homogenen Feld hat die Lorentzkraft überall denselben Betrag, denn \(q\), \(v\) und \(B\) ändern sich nicht. Gleichzeitig zeigt sie immer senkrecht zur Bewegung. Eine Kraft mit konstantem Betrag, die stets quer zur Bahn wirkt, ist genau eine Zentripetalkraft. Ein senkrecht eintretendes Teilchen läuft deshalb im Vakuum auf einer Kreisbahn mit konstantem Radius. Das gilt für einzelne Elektronen ebenso wie für einen ganzen Elektronenstrahl.
Im elektrischen Feld eines Plattenkondensators ist das anders. Dort zeigt die Kraft immer in dieselbe Richtung, unabhängig von der Bewegung. Wie beim waagerechten Wurf entsteht eine Parabel. Dass ein senkrecht eintretendes Elektron im Magnetfeld eine Kreisbahn beschreibt und weder eine Parabel noch eine Gerade, ist besonders prüfungsrelevant. Merkmal ist die mitdrehende Kraftrichtung.
Bahnradius
Den Bahnradius erhält man, indem man Lorentzkraft und Zentripetalkraft gleichsetzt:
\[|q|\,v\,B = \frac{m\,v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{m\,v}{|q|\,B}\]
Ein großer Radius bedeutet eine schwache Krümmung. Schwere und schnelle Teilchen laufen weite Bögen. Hohe Ladung und starkes Feld krümmen eng. Bei gleicher Masse und Geschwindigkeit ist der Radius umgekehrt proportional zur Ladung: doppelte Ladung, halber Radius. Ionen gleicher Ladung und Geschwindigkeit, aber verschiedener Masse landen auf verschiedenen Radien. Darauf beruht die Trennung von Ionen nach ihrer Masse.
Ein Elektron mit \(v = 2{,}0 \cdot 10^7\) m/s in einem Feld von 1,0 mT ergibt \(r = \frac{9{,}11 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{kg} \cdot 2{,}0 \cdot 10^7\ \mathrm{m/s}}{1{,}60 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{C} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{T}} \approx 0{,}11\) m. Schon ein schwaches Feld zwingt den Strahl also auf einen Kreis von etwa 11 cm Radius.
Spezifische Ladung
Wie stark ein Teilchen tatsächlich abgelenkt wird, zeigt seine Beschleunigung \(a = \frac{F}{m} = \frac{q\,v\,B}{m}\). Bei gleichem \(v\) und \(B\) hängt sie nur vom Verhältnis \(q/m\) ab.
Die spezifische Ladung ist das Verhältnis \(q/m\) aus Ladung und Masse eines Teilchens, Einheit C/kg. Je größer sie ist, desto stärker beschleunigt dasselbe Feld das Teilchen.
Das Elektron hat mit \(1{,}76 \cdot 10^{11}\) C/kg eine wesentlich größere spezifische Ladung als jedes Ion. Ein Proton trägt zwar betragsmäßig dieselbe Ladung, ist aber rund 1836-mal schwerer und kommt nur auf \(9{,}58 \cdot 10^7\) C/kg. Elektronen werden daher viel stärker abgelenkt als Ionen.
Bahnspuren deuten
Aus einer Skizze mehrerer gleich schneller, gleich schwerer Teilchen lassen sich die Ladungen ablesen:
- Eine gerade Spur gehört zu einem ungeladenen Teilchen.
- Die Krümmungsrichtung verrät mit der Dreifingerregel das Vorzeichen.
- Je enger die Kurve, desto größer der Ladungsbetrag.
In der Abbildung fliegt A ungeladen geradeaus. B krümmt sich im Feld ⊗ eng nach oben und ist damit positiv mit großem Ladungsbetrag. C krümmt sich weit nach unten, ist also negativ und trägt eine kleinere Ladung.
Quiz
Aussage 1
Ein Ion, das in einem Magnetfeld ruht, erfährt keine Lorentzkraft.
Die Lorentzkraft wirkt nur auf bewegte Ladungen; bei \(v = 0\) ist auch \(F = 0\).
Aussage 2
Verdoppelt man bei gleicher Masse und Geschwindigkeit die Ladung eines Teilchens, halbiert sich sein Bahnradius im Magnetfeld.
Nach \(r = \frac{m v}{|q| B}\) ist der Radius umgekehrt proportional zur Ladung.
Aussage 3
Ein Elektron, das senkrecht in ein homogenes Magnetfeld eintritt, beschreibt wie im Plattenkondensator eine Parabelbahn.
Im Magnetfeld dreht die Kraftrichtung mit der Bewegung mit und wirkt als Zentripetalkraft; es entsteht eine Kreisbahn. Parabeln entstehen im elektrischen Feld.
Aussage 4
Bei gleichem Ladungsbetrag, gleicher Geschwindigkeit und gleicher Flussdichte wirkt auf ein schweres Ion eine kleinere Lorentzkraft als auf ein Elektron.
Die Masse kommt in \(F = q v B\) nicht vor. Beide erfahren dieselbe Kraft; nur die Beschleunigung ist beim Ion kleiner.
Aussage 5
In einem in die Zeichenebene gerichteten Magnetfeld laufen positiv geladene Teilchen gegen den Uhrzeigersinn um.
Die Kraft auf eine nach rechts fliegende positive Ladung zeigt im Feld ⊗ nach oben, die Bahn dreht gegen den Uhrzeigersinn; negative Teilchen laufen umgekehrt.
Aussage 6
Eine positive Ladung, die sich nach rechts durch ein aus der Zeichenebene weisendes Magnetfeld bewegt, wird nach oben abgelenkt.
Nach der Dreifingerregel (Daumen rechts, Zeigefinger zum Betrachter) zeigt die Kraft nach unten.
Aussage 7
Die Lorentzkraft ändert die Bewegungsrichtung eines geladenen Teilchens, nicht aber den Betrag seiner Geschwindigkeit.
Sie steht stets senkrecht zur Geschwindigkeit und verrichtet daher keine Arbeit.
Aussage 8
Da Elektron und Proton denselben Ladungsbetrag tragen, haben sie auch dieselbe spezifische Ladung.
Die spezifische Ladung ist \(q/m\). Das Proton ist rund 1836-mal schwerer, das Elektron hat deshalb eine wesentlich größere spezifische Ladung.
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