Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren
Wie man die Gesamtkapazität parallel und in Reihe geschalteter Kondensatoren bestimmt und gemischte Netzwerke Schritt für Schritt vereinfacht.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Gesamtkapazität ist die Kapazität des Ersatzkondensators, der eine ganze Kondensatorschaltung nach außen ersetzt.
- Parallel addieren sich die Kapazitäten, weil alle an derselben Spannung liegen und sich die Ladungen addieren.
- In Reihe addieren sich die Kehrwerte, weil alle dieselbe Ladung tragen und sich die Spannungen addieren.
- \(n\) gleiche Kondensatoren ergeben in Reihe \(C/n\) und parallel \(n \cdot C\).
- Gemischte Netzwerke vereinfacht man schrittweise; Ringe aus gleichen Kondensatoren ergeben im Dreieck \(\frac{3}{2}C\), im Quadrat benachbart \(\frac{4}{3}C\) und diagonal \(C\).
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Worum es geht
Mehrere Kondensatoren in einer Schaltung wirken nach außen wie ein einziger Ersatzkondensator. Seine Kapazität folgt aus zwei einfachen Regeln, die genau umgekehrt zu denen für Widerstände funktionieren. Wer sie sicher anwendet, kann auch Ringe und verschachtelte Netzwerke in wenigen Schritten berechnen.
Parallel- und Reihenschaltung
Die Kapazität des Ersatzkondensators heißt Gesamtkapazität \(C_{ges}\). Was Kapazität bedeutet und warum \(C = Q/U\) gilt, erklärt die Einheit Kapazität und Plattenkondensator. Hier geht es nur um das Zusammenschalten.
\[C_{ges} = C_1 + C_2 + \dots \quad \text{(parallel)}\]
\[\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots \quad \text{(Reihe)}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(C_{ges}\) | Gesamtkapazität der Schaltung | F (meist µF, nF) |
| \(C_i\) | Kapazität des einzelnen Kondensators | F |
Bei der Parallelschaltung liegen alle Kondensatoren an derselben Spannung \(U\). Ihre Ladungen addieren sich. Weil \(C = Q/U\) gilt, addieren sich auch die Kapazitäten. Man kann sich das wie eine einzige, größere Plattenfläche vorstellen.
Bei der Reihenschaltung trägt jeder Kondensator dieselbe Ladung \(Q\), denn die inneren Platten laden sich durch Influenz gegengleich auf. Dafür teilt sich die Spannung auf. Aus \(U = U_1 + U_2\) und \(U = Q/C\) folgt die Addition der Kehrwerte. Das wirkt wie ein größerer Plattenabstand.
Daraus ergeben sich zwei Grenzfälle. Parallel ist \(C_{ges}\) immer größer als die größte Einzelkapazität. In Reihe ist \(C_{ges}\) immer kleiner als die kleinste. Für \(n\) gleiche Kondensatoren \(C\) gilt parallel \(C_{ges} = n \cdot C\) und in Reihe \(C_{ges} = C/n\). Umgekehrt liefert \(n = C/C_{ges}\) die nötige Anzahl. Aus Kondensatoren mit 2 µF erhält man 0,5 µF also mit \(n = 2/0{,}5 = 4\) Stück in Reihe.
Die Additionsregeln werden im Examen gerne gefragt, oft mit gleichen Kondensatoren. Achte darauf: \(n\) gleiche Kondensatoren ergeben in Reihe \(C/n\) und parallel \(n \cdot C\), also umgekehrt wie bei Widerständen.
Die Reihenformel liefert zuerst \(1/C_{ges}\). Ergibt sich etwa \(1/C_{ges} = 0{,}25\ \mu\text{F}^{-1}\), so ist \(C_{ges} = 4\) µF und nicht 0,25 µF.
Kombinierte Netzwerke
Gemischte Schaltungen löst man durch schrittweises Zusammenfassen. Man sucht eine Gruppe, die eindeutig rein parallel oder rein in Reihe liegt. Diese ersetzt man durch ihren Ersatzkondensator und zeichnet die Schaltung neu. Das wiederholt man, bis ein einziger Kondensator übrig ist.
Ein Beispiel mit \(C_1 = 6\) µF, \(C_2 = 3\) µF, \(C_3 = 4\) µF und \(C_4 = 12\) µF:
- Reihe \(C_1\), \(C_2\): \(\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6}\ \mu\text{F}^{-1}\), also \(C_{12} = 2\) µF.
- Parallel zu \(C_3\): \(2 + 4 = 6\) µF.
- Reihe mit \(C_4\): \(\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12}\ \mu\text{F}^{-1}\), also \(C_{ges} = 4\) µF.
Das Ergebnis ist plausibel, denn es liegt unter 6 µF und 12 µF. Nach demselben Muster ergeben zwei parallele Zweige aus je zwei gleichen Kondensatoren in Reihe \(C/2 + C/2 = C\). Liegen zwei solche Blöcke in Reihe, erhält man \(C/2\).
Bei Ringschaltungen gleicher Kondensatoren führen zwischen den Anschlüssen zwei Wege. Beide Wege liegen parallel, jeder Weg ist eine Reihenschaltung. Man berechnet also jeden Weg mit \(C/n\) und addiert dann.
| Anordnung | Weg 1 | Weg 2 | \(C_{ges}\) |
|---|---|---|---|
| Dreieck, zwei Ecken | \(C\) | \(C/2\) | \(\frac{3}{2}C\) |
| Quadrat, benachbarte Ecken | \(C\) | \(C/3\) | \(\frac{4}{3}C\) |
| Quadrat, diagonale Ecken | \(C/2\) | \(C/2\) | \(C\) |
| Sechseck, benachbarte Knoten | \(C\) | \(C/5\) | \(\frac{6}{5}C\) |
Die Ringwerte \(\frac{3}{2}C\), \(\frac{4}{3}C\) und \(C\) solltest du sicher können. Entscheidend ist, die Wege richtig zu zählen: Bei benachbarten Anschlüssen besteht ein Weg aus einem einzigen Kondensator, der andere aus allen übrigen.
Quiz
Aussage 1
Vier gleiche Kondensatoren im Quadrat, an diagonal gegenüberliegenden Ecken angeschlossen, ergeben \(\frac{4}{3}C\).
Diagonal liegen zwei Wege aus je zwei Kondensatoren in Reihe parallel: \(C/2 + C/2 = C\). Den Wert \(\frac{4}{3}C\) erhält man bei benachbarten Ecken.
Aussage 2
Bei einer Parallelschaltung ist die Gesamtkapazität kleiner als die kleinste Einzelkapazität.
Parallel addieren sich die Kapazitäten, die Gesamtkapazität ist also größer als die größte Einzelkapazität. Kleiner als die kleinste wird sie bei der Reihenschaltung.
Aussage 3
Drei gleiche Kondensatoren im Dreieck ergeben zwischen zwei Ecken die Gesamtkapazität \(\frac{3}{2}C\).
Ein Kondensator liegt parallel zur Reihe aus den beiden anderen: \(C + C/2 = \frac{3}{2}C\).
Aussage 4
Drei gleiche Kondensatoren der Kapazität \(C\) in Reihe haben die Gesamtkapazität \(C/3\).
In Reihe addieren sich die Kehrwerte: \(1/C_{ges} = 3/C\), also \(C_{ges} = C/3\).
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