Kapazität, Plattenkondensator und Feldenergie
Wie viel Ladung und Energie ein Kondensator bei gegebener Spannung speichert und wie die Kapazität eines Plattenkondensators von Fläche, Abstand und Dielektrikum abhängt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Kapazität \(C = Q/U\) gibt an, wie viel Ladung ein Kondensator pro Volt Spannung speichert, Einheit Farad (\(1\ \mathrm{F} = 1\ \mathrm{C/V}\)).
- Die Kapazität ist eine Bauteileigenschaft und unabhängig von der Spannung: Doppelte Spannung ergibt doppelte Ladung \(Q = C \cdot U\).
- An konstanter Gleichspannung fließt im stationären Zustand kein Strom, ein von der Quelle getrennter Kondensator behält seine Ladung.
- Bei konstantem Ladestrom steigt die Spannung linear: \(U = I \cdot t / C\).
- Plattenkondensator: \(C = \varepsilon_0 \varepsilon_r A/d\), also proportional zu Fläche und Dielektrizitätszahl, umgekehrt proportional zum Abstand und unabhängig vom Plattenmaterial.
- Die Feldenergie beträgt \(W = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} Q^2/C\), doppelte Spannung bringt vierfache Energie.
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Worum es geht
Ein Kondensator speichert elektrische Ladung und damit Energie. Wie viel er aufnimmt, beschreibt seine Kapazität. Das Prinzip begegnet dir auch in der Physiologie, denn jede Zellmembran wirkt als winziger Kondensator.
Kondensator als Ladungsspeicher
Ein Kondensator besteht aus zwei leitenden Flächen, die ein Isolator trennt. Die einfachste Bauform ist der Plattenkondensator: zwei parallele Metallplatten mit Luft oder einem Dielektrikum dazwischen. Ladungen können den Isolator nicht durchqueren. Deshalb sammeln sie sich auf den Platten.
Schließt man eine Gleichspannungsquelle an, zieht sie Elektronen von der einen Platte ab und schiebt sie auf die andere. Die eine Platte wird positiv, die andere gleich stark negativ. Zwischen ihnen entsteht ein elektrisches Feld. Der Kondensator als Ganzes bleibt dabei neutral.
Der Ladestrom fließt nur so lange, bis die Spannung am Kondensator gleich der Quellenspannung ist. Verbindet man die Platten danach über einen Verbraucher, fließen die Elektronen zurück. Der Kondensator entlädt sich und gibt seine gespeicherte Energie ab. Wie viel Ladung er bei einer bestimmten Spannung aufnimmt, beschreibt seine Kapazität.
Kapazität C = Q/U
Die gespeicherte Ladung wächst proportional zur angelegten Spannung. Der Proportionalitätsfaktor ist die Kapazität. Sie gibt an, wie viel Ladung ein Kondensator pro Volt Spannung trägt.
\[C = \frac{Q}{U} \qquad Q = C \cdot U\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(C\) | Kapazität | F (Farad) |
| \(Q\) | Ladung auf einer Platte (Betrag) | C (Coulomb) = A·s |
| \(U\) | Spannung zwischen den Platten | V (Volt) |
Die Einheit der Kapazität ist das Farad: \(1\ \mathrm{F} = 1\ \mathrm{C/V} = 1\ \mathrm{A\,s/V}\). Ein Kondensator von 1 F trägt bei 1 V also 1 C. Das ist sehr viel. Übliche Bauteile liegen im Bereich µF, nF und pF.
Die Kapazität ist eine Eigenschaft des Bauteils. Sie hängt nur von Geometrie und Dielektrikum ab, nicht von der Spannung. Verdoppelt man \(U\), verdoppelt sich \(Q\), und der Quotient bleibt gleich. Man kann sich den Kondensator wie ein Gefäß vorstellen: Die Grundfläche entspricht \(C\), der Füllstand \(U\) und die eingefüllte Menge \(Q\). Wer mehr einfüllt, ändert die Grundfläche nicht.
\(C = Q/U\) und \(Q = C \cdot U\) sind ein Examensklassiker. Achte darauf, dass der Quotient aus Ladung und Spannung die Kapazität ist und keine Energie, und dass \(C\) bei steigender Spannung konstant bleibt.
Rechnen mit Vorsätzen
Die meisten Rechenfehler entstehen bei den Einheitenvorsätzen. Setze deshalb immer in Grundeinheiten ein: µ \(= 10^{-6}\), m \(= 10^{-3}\), n \(= 10^{-9}\), p \(= 10^{-12}\).
- Gegeben: Ein Kondensator mit \(C = 20\ \mathrm{\mu F}\) trägt \(Q = 0{,}5\ \mathrm{mC}\). Gesucht ist \(U\).
- Umformen: \(U = Q/C\).
- Einsetzen: \(U = \frac{0{,}5 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{C}}{20 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{F}} = 25\ \mathrm{V}\).
- Kontrolle: C/F ergibt V, die Einheit stimmt.
Das Modell trägt auch in der Biologie. Eine Zellmembran trennt zwei leitende Elektrolytlösungen durch eine isolierende Lipiddoppelschicht. Das ist genau der Aufbau eines Kondensators, mit der Membran als Dielektrikum.
Biomembranen haben etwa \(1\ \mathrm{\mu F}\) pro \(\mathrm{cm^2}\). Bei einem Membranpotential von 70 mV trägt jeder Quadratzentimeter \(Q = 10^{-6}\ \mathrm{F} \cdot 0{,}07\ \mathrm{V} = 7 \cdot 10^{-8}\ \mathrm{C}\), also 70 nC. Schon diese winzige Ladungsmenge erzeugt die Spannung über der Membran.
Kondensator im Gleichstromkreis
Zwischen den Platten liegt ein Isolator, durch den kein Strom fließt. Im äußeren Kreis fließt nur Strom, solange sich die Ladung auf den Platten ändert. Liegt eine konstante Gleichspannung an und ist der Kondensator voll geladen, ist der stationäre Zustand erreicht. Dann fließt kein Strom mehr. Wie sich ein Kondensator bei Wechselspannung verhält, steht beim kapazitiven Widerstand.
Trennt man einen geladenen Kondensator von der Quelle, können die Ladungen nirgendwohin abfließen. Seine Ladung bleibt konstant. Ändert man danach die Kapazität, etwa durch Auseinanderziehen der Platten, ändert sich die Spannung nach \(U = Q/C\). Bleibt er dagegen an der Quelle, bleibt \(U\) konstant und \(Q\) ändert sich.
Laden mit konstantem Strom
Fließt ein konstanter Strom \(I\) für die Zeit \(t\), transportiert er die Ladung \(Q = I \cdot t\) (siehe Stromstärke und Spannung). Eingesetzt in \(U = Q/C\) folgt:
\[U = \frac{I \cdot t}{C} \qquad t = \frac{C \cdot U}{I}\]
Die Spannung steigt also linear mit der Zeit. Doppelter Strom bedeutet doppelt so schnellen Anstieg. Doppelte Kapazität halbiert ihn. Lädt man dagegen einfach über einen Widerstand an einer Spannungsquelle, sinkt der Strom mit wachsender Kondensatorspannung. Die Kurve flacht dann ab und nähert sich der Quellenspannung.
- Gegeben: \(C = 100\ \mathrm{\mu F}\), Ladestrom \(I = 0{,}5\ \mathrm{mA}\), Ladedauer \(t = 4\ \mathrm{s}\).
- Ladung: \(Q = I \cdot t = 0{,}5 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{A} \cdot 4\ \mathrm{s} = 2 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{C}\).
- Spannung: \(U = Q/C = \frac{2 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{C}}{10^{-4}\ \mathrm{F}} = 20\ \mathrm{V}\).
- Umgekehrt: Bis 5 V dauert es \(t = \frac{10^{-4}\ \mathrm{F} \cdot 5\ \mathrm{V}}{0{,}5 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{A}} = 1\ \mathrm{s}\).
Kapazität des Plattenkondensators
Beim Plattenkondensator lässt sich die Kapazität aus den Abmessungen berechnen. Grundlage ist das homogene Feld zwischen den Platten, das in Homogenes Feld im Plattenkondensator beschrieben ist. Es gilt:
\[C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}\] Dabei ist \(A\) die Fläche einer Platte in \(\mathrm{m^2}\), \(d\) der Plattenabstand in m, \(\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{F/m}\) die elektrische Feldkonstante und \(\varepsilon_r\) die dimensionslose Dielektrizitätszahl.
Mit Vakuum oder Luft zwischen den Platten ist \(\varepsilon_r \approx 1\), und es bleibt \(C = \varepsilon_0 A/d\). Beide Konstanten sind beim Coulomb’schen Gesetz eingeführt. Das Material der Metallplatten kommt in der Formel nicht vor. Ob Kupfer oder Aluminium, die Kapazität bleibt gleich, denn jedes Metall bringt die Ladung bis an seine Oberfläche.
Fläche, Abstand, Dielektrikum
Die Formel enthält drei Stellschrauben:
- Fläche \(A\): \(C \sim A\). Doppelte Fläche, doppelte Kapazität. Kleinere Fläche, kleinere Kapazität.
- Abstand \(d\): \(C \sim 1/d\). Halber Abstand, doppelte Kapazität. Wachsender Abstand senkt \(C\).
- Dielektrikum \(\varepsilon_r\): \(C \sim \varepsilon_r\). Ein Stoff mit höherer Dielektrizitätszahl erhöht \(C\) um genau diesen Faktor.
Physikalisch ist das gut verständlich. Eine größere Fläche bietet mehr Platz für Ladung. Ein kleinerer Abstand verstärkt bei gleicher Spannung das Feld \(E = U/d\), und die Platten ziehen mehr Ladung an. Ein Dielektrikum polarisiert sich im Feld und schwächt es ab. Bei gleicher Spannung passt dann mehr Ladung auf die Platten.
Die Abhängigkeit von Fläche und Dielektrizitätszahl wird im Examen gerne gefragt: \(C\) ist zu beiden direkt proportional, zum Abstand dagegen umgekehrt proportional. Ein anschauliches Beispiel ist Wasser. Mit \(\varepsilon_r \approx 80\) steigert es die Kapazität gegenüber Luft auf rund das Achtzigfache, also weit mehr als das Doppelte.
Plattenfläche berechnen
- Gegeben: \(C = 1\ \mathrm{nF}\), \(d = 0{,}1\ \mathrm{mm}\), Luft mit \(\varepsilon_r = 1\).
- Umformen: \(A = \frac{C \cdot d}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}\).
- Einsetzen: \(A = \frac{10^{-9}\ \mathrm{F} \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m}}{8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{F/m}} \approx 1{,}13 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{m^2}\).
- Umrechnen: \(1\ \mathrm{m^2} = 10^4\ \mathrm{cm^2}\), also \(A \approx 113\ \mathrm{cm^2}\).
Typische Fehler sind der Faktor 100 statt \(10^4\) beim Umrechnen von \(\mathrm{m^2}\) in \(\mathrm{cm^2}\) und ein Abstand, der nicht in Meter eingesetzt wird.
Energie des geladenen Kondensators
Beim Laden muss die Quelle Arbeit verrichten. Jede weitere Ladung wird gegen die schon vorhandene Spannung auf die Platten geschoben. Diese Arbeit steckt danach als Feldenergie im elektrischen Feld zwischen den Platten.
\[W = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} Q U\]
Woher kommt der Faktor \(\frac{1}{2}\)? Zu Beginn ist die Spannung null, am Ende beträgt sie \(U\). Die ersten Ladungen kosten also fast nichts, die letzten den vollen Betrag. Im Mittel wirkt nur die halbe Endspannung. Grafisch ist die Energie die Dreiecksfläche unter der Geraden \(U = Q/C\), also die Hälfte des Rechtecks \(Q \cdot U\).
Weil \(U\) quadratisch eingeht, bringt doppelte Spannung die vierfache Energie. Bei fester Ladung, also am getrennten Kondensator, sinkt die Energie mit wachsender Kapazität. Die Energieformel ist besonders prüfungsrelevant: Du solltest \(W = \frac{1}{2} C U^2\) sicher anwenden und nach \(C = \frac{2W}{U^2}\) umstellen können.
\(Q/U\) ist die Kapazität, und \(Q \cdot E\) ist die Kraft auf eine Ladung im Feld. Beide Ausdrücke geben nicht die Feldenergie an. Auch \(Q \cdot U\) ohne den Faktor \(\frac{1}{2}\) liefert das Doppelte der gespeicherten Energie.
- Energie berechnen: Für \(C = 470\ \mathrm{\mu F}\) und \(U = 10\ \mathrm{V}\) gilt \(W = \frac{1}{2} \cdot 470 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{F} \cdot (10\ \mathrm{V})^2 = 23{,}5\ \mathrm{mJ}\).
- Umgekehrte Aufgabe: Ein Kondensator speichert \(W = 0{,}9\ \mathrm{J}\) bei \(U = 300\ \mathrm{V}\). Gesucht ist \(C\).
- Umstellen und einsetzen: \(C = \frac{2W}{U^2} = \frac{1{,}8\ \mathrm{J}}{9 \cdot 10^4\ \mathrm{V^2}} = 2 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{F} = 20\ \mathrm{\mu F}\).
- Einheit prüfen: \(\mathrm{F \cdot V^2} = \mathrm{C \cdot V} = \mathrm{J}\).
Quiz
Aussage 1
Ein Kondensator mit \(10\ \mathrm{\mu F}\) trägt bei 5 V eine Ladung von \(50\ \mathrm{\mu C}\).
\(Q = C \cdot U = 10 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{F} \cdot 5\ \mathrm{V} = 5 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{C} = 50\ \mathrm{\mu C}\).
Aussage 2
Ersetzt man die Luft zwischen den Platten durch Wasser, steigt die Kapazität auf weit mehr als das Doppelte.
Die Kapazität ist proportional zu \(\varepsilon_r\). Wasser hat \(\varepsilon_r \approx 80\), die Kapazität steigt also etwa auf das Achtzigfache.
Aussage 3
Verdoppelt man die Ladespannung eines Kondensators, verdoppelt sich die gespeicherte Feldenergie.
Nach \(W = \frac{1}{2} C U^2\) geht die Spannung quadratisch ein. Doppelte Spannung ergibt die vierfache Energie.
Aussage 4
Trennt man einen geladenen Kondensator von der Spannungsquelle, bleibt die Ladung auf seinen Platten erhalten.
Die Ladungen können nicht abfließen, die Ladung bleibt konstant. Ändert sich danach \(C\), ändert sich die Spannung nach \(U = Q/C\).
Aussage 5
Ein Plattenkondensator aus Kupferplatten hat eine größere Kapazität als ein baugleicher aus Aluminiumplatten.
Das Plattenmaterial kommt in \(C = \varepsilon_0 \varepsilon_r A/d\) nicht vor. Bei gleicher Fläche, gleichem Abstand und gleichem Dielektrikum ist die Kapazität gleich.
Aussage 6
Ein vollständig geladener Kondensator an konstanter Gleichspannung lässt dauerhaft einen konstanten Strom durch sich hindurchfließen.
Zwischen den Platten liegt ein Isolator. Im stationären Zustand fließt kein Strom mehr, Strom fließt nur, solange sich die Ladung ändert.
Aussage 7
Legt man an einen Kondensator die doppelte Spannung an, verdoppelt sich seine Kapazität.
Die Kapazität hängt nur von Geometrie und Dielektrikum ab. Bei doppelter Spannung verdoppelt sich die Ladung, der Quotient \(C = Q/U\) bleibt gleich.
Aussage 8
Halbiert man den Plattenabstand eines Plattenkondensators, verdoppelt sich seine Kapazität.
Nach \(C = \varepsilon_0 \varepsilon_r A/d\) ist die Kapazität umgekehrt proportional zum Abstand.
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