Induktionsgesetz und induzierte Spannung
Wann in einer Leiterschleife eine Spannung induziert wird und wie man ihren Betrag aus dem Induktionsgesetz, aus Diagrammen und aus Feldgrößen bestimmt.
Das Wichtigste in Kürze
- Elektromagnetische Induktion ist die Entstehung einer Spannung in einem Leiter durch eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses \(\Phi = B \cdot A \cdot \cos\alpha\).
- Nur eine Flussänderung induziert: Ein konstanter Fluss, auch ein großer, und eine Verschiebung im homogenen Feld liefern \(U_{ind} = 0\).
- Induktionsgesetz: \(U_{ind} = -d\Phi/dt\), für Spulen \(U_{ind} = -n \cdot A \cdot dB/dt\). Die Spannung wächst mit der Änderungsgeschwindigkeit und der Windungszahl.
- Im \(\Phi(t)\)- oder \(B(t)\)-Diagramm ist die Spannung die negative Steigung. Waagerechte Abschnitte geben null, der steilste Abschnitt den größten Betrag.
- Beim Einbringen einer Schleife gilt \(|U| = B \cdot A \cdot \cos\alpha / \Delta t\) mit \(\alpha\) als Winkel zur Flächennormale.
- Ein veränderliches Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld, ein veränderliches elektrisches Feld ein Magnetfeld.
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Worum es geht
Ändert sich das Magnetfeld, das eine Leiterschleife durchsetzt, entsteht an ihren Enden eine Spannung. Dieses Prinzip steckt in Generator, Transformator und Induktionskochfeld. Es ist die Grundlage der Wechselstromtechnik, mit der jedes elektrische Laborgerät betrieben wird.
Phänomen der Induktion
Schiebt man einen Stabmagneten in eine Spule, schlägt ein angeschlossenes Voltmeter aus. Hält man den Magneten still, geht der Zeiger auf null zurück. Zieht man ihn wieder heraus, schlägt der Zeiger in die Gegenrichtung aus. Diese Erscheinung heißt elektromagnetische Induktion: Ein sich änderndes Magnetfeld erzeugt in einem Leiter eine induzierte Spannung \(U_{ind}\), ganz ohne Batterie.
Entscheidend ist nicht das Feld allein, sondern wie viel davon die Schleife durchsetzt. Diese Größe ist der magnetische Fluss \(\Phi = B \cdot A \cdot \cos\alpha\) mit der Einheit Weber (\(1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{V \cdot s}\)). Man kann sich den Fluss als Zahl der Feldlinien vorstellen, die durch die Schleifenfläche treten. Induktion heißt: Diese Zahl ändert sich mit der Zeit.
Flussänderung als Bedingung
Die Bedingung für Induktion lautet: Der Fluss durch die Schleife muss sich zeitlich ändern. Ein großer, aber konstanter Fluss induziert nichts. Ein Ring, der ruhig in einem starken Dauermagnetfeld liegt, zeigt keine Spannung, obwohl \(\Phi\) deutlich von null verschieden ist. Ebenso erzeugt ein konstanter Gleichstrom durch eine Spule ein konstantes Feld und damit keine zusätzliche induzierte Spannung.
Weil \(\Phi = B \cdot A \cdot \cos\alpha\) gilt, gibt es drei Stellschrauben:
- Flussdichte \(B\) ändert sich: Das Feld wird stärker oder schwächer, etwa weil der Strom im Elektromagneten steigt. In einer ruhenden Schleife ist das der einzige Weg zur Induktion.
- Durchsetzte Fläche \(A\) ändert sich: Man verkleinert die Schleife oder zieht sie aus dem Feld heraus.
- Orientierung \(\alpha\) ändert sich: Die Schleife dreht sich im Feld, wie im Generator.
Diese Vorgänge sind mögliche, aber keine zwingenden Ursachen. Entscheidend ist immer, was mit \(\Phi\) passiert. Dreht sich eine Schleife um eine Achse parallel zu den Feldlinien, bleibt der Winkel zwischen Normale und Feld gleich. Der Fluss bleibt konstant, induziert wird nichts. Verkleinert man eine Schleife, deren Ebene parallel zum Feld liegt, bleibt \(\Phi = 0\).
Bei Bewegung kommt es auf die Form des Feldes an. Verschiebt man eine Schleife vollständig innerhalb eines homogenen Feldes, tritt überall gleich viel Fluss hindurch. Das gilt für jede Richtung der Translation, auch parallel zu den Feldlinien: \(U_{ind} = 0\). Zieht man die Schleife dagegen über den Feldrand hinaus, schrumpft die durchsetzte Fläche und es entsteht eine Spannung. Im inhomogenen Feld genügt schon eine Verschiebung vom dichten in den dünneren Feldbereich. Das Feld selbst bleibt dabei zeitlich konstant, doch \(B\) am Ort der Schleife ändert sich.
Die Bedingung Flussänderung ist ein Examensklassiker: Induziert wird nur, wenn sich \(\Phi\) zeitlich ändert. Achte darauf, dass auch ein großer konstanter Fluss keine Spannung liefert und dass Bewegung im homogenen Feld allein nicht genügt.
Induktionsgesetz
Wie groß die Spannung ist, beschreibt das Induktionsgesetz von Faraday. Die induzierte Spannung ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des Flusses. Bei einer Spule kommt die Windungszahl als Faktor hinzu.
\[U_{ind} = -\frac{d\Phi}{dt} \qquad U_{ind} = -n \cdot A \cdot \frac{dB}{dt}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(U_{ind}\) | induzierte Spannung | V |
| \(\Phi\) | magnetischer Fluss | \(\mathrm{Wb} = \mathrm{V \cdot s}\) |
| \(t\) | Zeit | s |
| \(n\) | Windungszahl der Spule | 1 |
| \(A\) | vom Feld senkrecht durchsetzte Fläche | \(\mathrm{m^2}\) |
| \(B\) | magnetische Flussdichte | \(\mathrm{T} = \mathrm{V \cdot s/m^2}\) |
Der Ableitungsquotient \(d\Phi/dt\) gibt die momentane Änderungsrate an. Der Differenzenquotient \(-\Delta\Phi/\Delta t\) liefert die mittlere Spannung über ein Zeitintervall. Bei gleichmäßiger Flussänderung sind beide gleich. Für eine einzelne Windung gilt im Betrag \(|U_{ind}| = |d\Phi/dt|\).
Jede Windung einer Spule wirkt wie eine eigene kleine Spannungsquelle. Alle Windungen liegen in Reihe, ihre Spannungen addieren sich. Deshalb steht \(n\) vor der Flussänderung. Bleiben Fläche und Orientierung fest, ändert sich nur \(B\), und es ergibt sich die Form \(n \cdot A \cdot dB/dt\) als Betrag.
Die Spannung hängt nicht vom Fluss selbst ab, sondern davon, wie schnell er sich ändert. Das ist wie beim Tacho: Er zeigt nicht den zurückgelegten Weg, sondern wie schnell dieser wächst. Daraus folgen einfache Proportionalitäten:
- doppelte Änderungsgeschwindigkeit, doppelte Spannung
- doppelte Windungszahl, doppelte Spannung
- gleiche Flussänderung in halber Zeit, doppelte Spannung
- konstanter Fluss, Spannung null
Der Betrag ist also dort maximal, wo sich der Fluss am schnellsten ändert. Das Induktionsgesetz gehört zum Pflichtprogramm: Du solltest \(U_{ind} = -d\Phi/dt\) samt Faktor \(n\) sicher hinschreiben und wissen, dass die Änderungsgeschwindigkeit zählt und nicht die Größe des Flusses.
Das Minuszeichen drückt die Lenz’sche Regel aus. Die induzierte Spannung treibt einen Strom, der seiner Ursache entgegenwirkt. Steigt der Fluss, ist \(U_{ind}\) negativ, fällt er, ist \(U_{ind}\) positiv. Fragt eine Aufgabe nur nach dem Betrag, lässt man das Vorzeichen weg.
Spannung aus Diagrammen
Das Induktionsgesetz lässt sich direkt aus einem Diagramm ablesen. \(d\Phi/dt\) ist die Steigung der Kurve im \(\Phi(t)\)-Diagramm, genau wie bei Steigungen in Bewegungsdiagrammen. Die induzierte Spannung ist also die negative Steigung. Im \(B(t)\)-Diagramm gilt dasselbe, nur mit dem Faktor \(n \cdot A\).
Steigung lesen, Vorzeichen umdrehen. Gerade Stücke im \(\Phi(t)\)-Diagramm werden zu waagerechten Stufen im \(U(t)\)-Diagramm, waagerechte Stücke zu \(U = 0\).
Ein Beispiel: Der Fluss steigt von 0 bis 2 s gleichmäßig auf 6 mWb, bleibt bis 5 s konstant und fällt bis 6 s wieder auf null.
- Anstieg (0 bis 2 s): Steigung \(6\ \mathrm{mWb} / 2\ \mathrm{s} = 3\ \mathrm{mWb/s}\), also \(U_{ind} = -3\ \mathrm{mV}\).
- Plateau (2 bis 5 s): Steigung null, also \(U_{ind} = 0\), obwohl der Fluss hier maximal ist.
- Abfall (5 bis 6 s): Steigung \(-6\ \mathrm{mWb} / 1\ \mathrm{s}\), also \(U_{ind} = +6\ \mathrm{mV}\).
Der doppelt so steile Abfall liefert den doppelten Betrag mit umgekehrtem Vorzeichen. Das passende Spannungsdiagramm ist eine Stufenfolge: negatives Plateau, Nulllinie, doppelt so hohes positives Plateau.
Sollen Spannungsbeträge in mehreren Intervallen eines \(B(t)\)-Diagramms geordnet werden, vergleicht man nur die Steilheit der Abschnitte. Ob die Kurve steigt oder fällt, bestimmt das Vorzeichen, nicht den Betrag. Der steilste Abschnitt liefert die größte Spannung, waagerechte Abschnitte liefern null. Diese Diagrammauswertung wird im Examen gerne gefragt, und entscheidend ist, die Steigung der Kurve zu lesen statt ihrer Höhe.
Bei sinusförmigem Fluss \(\Phi(t) = \hat{\Phi} \sin(\omega t)\) ergibt sich \(U_{ind} = -\hat{\Phi}\,\omega \cos(\omega t)\). Die Spannung ist also um eine Viertelperiode verschoben. Am Scheitel des Flusses verläuft die Kurve kurz waagerecht, dort ist \(U = 0\). Am Nulldurchgang ist sie am steilsten, dort erreicht \(|U|\) sein Maximum.
Berechnungen
Wird eine Schleife in der Zeit \(\Delta t\) vollständig in ein homogenes Feld gebracht, steigt der Fluss von null auf seinen Endwert. Steht die Fläche senkrecht zum Feld, gilt für den Betrag der mittleren Spannung \(U = \frac{B \cdot A}{\Delta t}\). Steht sie schräg, zählt nur ihr Anteil senkrecht zum Feld. Dann setzt man \(\Phi = B \cdot A \cdot \cos\alpha\) ein. Dabei ist \(\alpha\) der Winkel zwischen Feldrichtung und Flächennormale. Ist der Winkel zur Ringebene gegeben, rechnet man mit \(90^\circ - \alpha\) um.
Beispiel: Ein Drahtring mit 20 \(\mathrm{cm^2}\) Fläche wird in 0,1 s in ein Feld mit \(B = 0{,}5\ \mathrm{T}\) gebracht. Seine Normale bildet mit den Feldlinien den Winkel \(60^\circ\).
- Fläche umrechnen: \(A = 20\ \mathrm{cm^2} = 2 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^2}\).
- Fluss im Feld: \(\Phi = 0{,}5\ \mathrm{T} \cdot 2 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^2} \cdot \cos 60^\circ = 5 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{Wb}\).
- Flussänderung: Vorher war \(\Phi = 0\), also \(\Delta\Phi = 5 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{Wb}\).
- Spannung: \(|U| = \Delta\Phi / \Delta t = 5 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{Wb} / 0{,}1\ \mathrm{s} = 5\ \mathrm{mV}\).
Bei senkrechter Stellung (\(\alpha = 0^\circ\)) wären es 10 mV. Eine Spule mit 100 Windungen statt des einzelnen Rings liefert hundertmal so viel, also 0,5 V.
Bei \(\alpha = 90^\circ\) liegt die Ringebene parallel zu den Feldlinien, und es gilt \(\Phi = 0\). Flächen immer in \(\mathrm{m^2}\) einsetzen, denn \(1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\).
Elektrische Wirbelfelder
Induktion braucht eigentlich keinen Leiter. Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt im Raum ein elektrisches Feld. Die Leiterschleife macht dieses Feld nur messbar: Es treibt die Elektronen im Draht im Kreis und erzeugt so die induzierte Spannung.
Ein elektrisches Feld mit in sich geschlossenen Feldlinien, das ein sich änderndes Magnetfeld umgibt. Anders als das Feld ruhender Ladungen beginnt und endet es nicht auf Ladungen.
Umgekehrt erzeugt auch ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld ein Magnetfeld, etwa zwischen den Platten eines Kondensators beim Aufladen. Beide Felder können sich so gegenseitig hervorbringen. Darauf beruht die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen wie Licht.
Quiz
Aussage 1
Verschiebt man eine Leiterschleife innerhalb eines homogenen Magnetfelds parallel zu den Feldlinien, entsteht eine Induktionsspannung.
Bei jeder Translation innerhalb eines homogenen Feldes bleibt der Fluss gleich, also ist \(U_{ind} = 0\). Eine Spannung entsteht erst im inhomogenen Feld oder beim Verlassen des Feldes.
Aussage 2
Bei gleicher Flussänderung pro Zeit liefert eine Spule mit doppelter Windungszahl die doppelte induzierte Spannung.
Die Windungen liegen in Reihe und ihre Spannungen addieren sich: \(U_{ind} = -n \cdot d\Phi/dt\).
Aussage 3
Zieht man eine Leiterschleife über den Rand eines homogenen Magnetfelds hinaus, wird eine Spannung induziert.
Die vom Feld durchsetzte Fläche nimmt ab, damit sinkt der Fluss und es entsteht eine Spannung.
Aussage 4
Wird ein Ring mit \(0{,}01\ \mathrm{m^2}\) Fläche senkrecht zum Feld in 0,05 s in ein Feld mit \(B = 0{,}2\ \mathrm{T}\) gebracht, beträgt die mittlere induzierte Spannung 40 mV.
\(|U| = B \cdot A / \Delta t = 0{,}2\ \mathrm{T} \cdot 0{,}01\ \mathrm{m^2} / 0{,}05\ \mathrm{s} = 0{,}04\ \mathrm{V} = 40\ \mathrm{mV}\).
Aussage 5
Eine ruhende Leiterschleife in einem starken, zeitlich konstanten Magnetfeld liefert eine Induktionsspannung, weil der Fluss durch sie von null verschieden ist.
Induziert wird nur bei zeitlicher Änderung des Flusses. Ein konstanter Fluss liefert keine Spannung, egal wie groß er ist.
Aussage 6
Verläuft das \(\Phi(t)\)-Diagramm in einem Zeitintervall waagerecht, ist die induzierte Spannung dort null.
Die Spannung ist die negative Steigung der Flusskurve, und eine waagerechte Kurve hat die Steigung null.
Aussage 7
Die induzierte Spannung ist proportional zur Größe des magnetischen Flusses durch die Schleife.
Maßgeblich ist die zeitliche Änderung des Flusses: \(U_{ind} = -d\Phi/dt\). Ein großer konstanter Fluss liefert null.
Aussage 8
Bei sinusförmigem Fluss erreicht der Betrag der induzierten Spannung sein Maximum am Scheitel der Flusskurve.
Am Scheitel ist die Flusskurve waagerecht, dort gilt \(U = 0\). Das Maximum von \(|U|\) liegt am Nulldurchgang des Flusses, wo die Kurve am steilsten ist.
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