Rotierende Leiterschleife und Generatorprinzip
Wie eine im Magnetfeld rotierende Leiterschleife durch periodische Flussänderung eine sinusförmige Wechselspannung erzeugt und welche Größen deren Höhe bestimmen.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Generator erzeugt mit einer im Magnetfeld rotierenden Leiterschleife durch periodische Flussänderung eine Wechselspannung.
- Eine Spannung entsteht nur, wenn sich der Winkel zwischen Flächennormale und \(\vec{B}\) ändert; bei Drehachse parallel zu \(\vec{B}\) bleibt der Fluss konstant und die Spannung null.
- Gleichförmige Rotation liefert eine sinusförmige Spannung mit positiven und negativen Halbwellen; die Periodendauer ist gleich der Umlaufdauer.
- Der Scheitelwert \(U_{max} = N B A \omega\) wächst mit Windungszahl, Flussdichte und Drehfrequenz.
- Der maximale Fluss \(\Phi_{max} = B A\) ist von der Drehfrequenz unabhängig.
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Worum es geht
Ein Generator wandelt Drehbewegung über elektromagnetische Induktion in elektrische Energie um. Vom Fahrraddynamo bis zum Kraftwerk beruht das auf derselben rotierenden Leiterschleife. Ihr Spannungsverlauf ist zugleich das Grundmodell jeder Wechselspannung.
Rotation im Magnetfeld
Der magnetische Fluss durch eine Schleife ist \(\Phi = B \cdot A \cdot \cos\varphi\). Dabei ist \(\varphi\) der Winkel zwischen der Flächennormale und \(\vec{B}\) (siehe magnetischer Fluss). Dreht sich die Schleife, kann sich \(\varphi\) periodisch ändern. Nach dem Induktionsgesetz \(U_{ind} = -\frac{d\Phi}{dt}\) entsteht dann eine Spannung.
Steht die Drehachse senkrecht oder schräg zu den Feldlinien, kippt die Normale mal zum Feld hin, mal von ihm weg. Der Fluss schwankt, und es wird eine Wechselspannung induziert. Liegt die Achse dagegen parallel zu \(\vec{B}\), kreist die Normale wie ein Kegelmantel um die Feldrichtung. Der Winkel bleibt gleich, der Fluss ist konstant, und es entsteht keine Spannung.
Bei Skizzen zählt nur eine Frage: Ändert sich bei der Drehung der Winkel zwischen Flächennormale und \(\vec{B}\)? Nur dann wird eine Spannung induziert.
Im technischen Generator rotiert eine Spule mit vielen Windungen zwischen zwei Magnetpolen. Schleifringe und Schleifkontakte führen die Spannung ab.
Sinusförmige Generatorspannung
Dreht sich die Schleife gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\), gilt \(\varphi = \omega t\). Der Fluss folgt dann \(\Phi = B A \cos(\omega t)\), und die Ableitung liefert eine Sinuskurve:
\[U_{ind} = N \cdot B \cdot A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)\]
Hier ist \(N\) die Windungszahl und \(A\) die Schleifenfläche in m². Eine Wechselspannung wechselt periodisch ihr Vorzeichen. Der Generator liefert also positive und negative Halbwellen. Über Schleifringe bleibt das so. Eine gleichgerichtete Spannung entsteht erst mit Kommutator oder Gleichrichter.
Eine volle Umdrehung entspricht einer vollen Schwingung. Die Periodendauer der Spannung ist daher gleich der Umlaufdauer \(T\). Die Spannung ist null, wenn der Fluss maximal ist und die Schleife senkrecht zum Feld steht. Am größten ist sie dort, wo sich der Fluss am schnellsten ändert. Diese Viertelperiode Versatz zeigt die Abbildung.
Amplitude, Frequenz und Kreisfrequenz behandelt die Seite Kenngrößen sinusförmiger Wechselspannung.
Einflussgrößen
Der Scheitelwert der Generatorspannung ist \(U_{max} = N \cdot B \cdot A \cdot \omega\) mit \(\omega = 2\pi f\). Daraus lassen sich alle Einflüsse ablesen:
- Windungszahl \(N\): Die Spannung ist proportional zu \(N\), denn jede Windung trägt ihren Anteil bei.
- Flussdichte \(B\): Ein stärkeres Magnetfeld liefert mehr Spannung.
- Drehfrequenz \(f\): Schnellere Drehung ändert den Fluss schneller, die Spannung steigt.
Der maximale Fluss \(\Phi_{max} = B \cdot A\) hängt dagegen nicht von der Drehfrequenz ab. Die Schleife erfasst bei jeder Drehzahl dieselben Feldlinien, nur in kürzerer Zeit. Ein Beispiel: Dreht sich ein Dynamo statt mit 10 Hz mit 20 Hz, verdoppelt sich der Scheitelwert der Spannung. Die Periodendauer halbiert sich von 0,1 s auf 0,05 s.
Quiz
Aussage 1
Die Periodendauer der Spannung einer gleichförmig rotierenden Leiterschleife ist gleich ihrer Umlaufdauer.
Eine volle Umdrehung entspricht genau einer vollen Schwingung der induzierten Spannung.
Aussage 2
Verdoppelt man die Drehfrequenz eines Generators, verdoppelt sich auch der maximal von der Spule erfasste magnetische Fluss.
\(\Phi_{max} = B \cdot A\) hängt nicht von der Drehfrequenz ab. Verdoppelt wird der Scheitelwert der Spannung, weil sich der Fluss schneller ändert.
Aussage 3
Rotiert eine Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld um eine Achse parallel zu den Feldlinien, wird keine Spannung induziert.
Der Winkel zwischen Flächennormale und \(\vec{B}\) bleibt bei dieser Drehung konstant, also ändert sich der Fluss nicht.
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