Homogenes Feld im Plattenkondensator
Zwischen zwei parallelen, entgegengesetzt geladenen Platten entsteht ein homogenes elektrisches Feld, dessen Stärke sich aus Spannung und Plattenabstand ergibt.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen, entgegengesetzt geladenen Platten im Abstand \(d\), zwischen denen ein homogenes Feld herrscht.
- Die Feldlinien verlaufen innen parallel, gleichabständig und senkrecht zu den Platten von plus nach minus, am Randfeld sind sie gekrümmt und das Feld ist schwächer.
- Die Feldstärke ist \(E = U/d\) und im homogenen Bereich an jedem Ort gleich, die Kapazität geht nicht ein.
- Ein quer eintretendes Elektron wird zur positiven Platte abgelenkt, läuft auf einer Parabel und danach geradlinig weiter, mit \(a = eE/m\).
- Im Dielektrikum schwächt die Polarisation das Feld, die Richtung bleibt gleich.
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Worum es geht
Der Plattenkondensator ist das Standardmodell für ein homogenes elektrisches Feld. Mit \(E = U/d\) berechnest du die Feldstärke in diesem Feld, die Kraft auf Ionen und Elektronen und sogar das Feld über einer Zellmembran. Das Modell trägt bis zur Elektrophorese und zur Membranphysiologie.
Aufbau des Plattenkondensators
Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen, ebenen Metallplatten im Abstand \(d\). Die Plattenfläche ist groß gegenüber dem Abstand. Eine Spannungsquelle lädt eine Platte mit \(+Q\) und die andere mit \(-Q\) auf.
Zwischen den Platten liegt dann die Spannung \(U\). Sie ist die Differenz der beiden Plattenpotentiale, also eine Potentialdifferenz. Wie viel Ladung der Kondensator bei gegebener Spannung speichert, beschreibt die Kapazität. Für die Feldstärke brauchst du sie nicht.
Feldlinienbild
Im Inneren verlaufen die Feldlinien parallel zueinander und senkrecht zu den Platten. Sie beginnen an der positiven Platte und enden an der negativen. Alle zeigen also in dieselbe Richtung, und ihr Abstand ist überall gleich. Parallel zu den Platten verlaufen sie nie, denn Feldlinien stehen immer senkrecht auf einer Leiteroberfläche.
Gleiche Dichte und gleiche Richtung bedeuten ein homogenes Feld. Die Feldstärke ist darin an jedem Ort nach Betrag und Richtung gleich. Ein Punkt dicht an der Platte erfährt dasselbe Feld wie ein Punkt in der Mitte. Man kann sich das wie einen gleichmäßig geneigten Hang vorstellen: Überall wirkt dieselbe Hangabtriebskraft.
An den Plattenkanten wölben sich die Feldlinien nach außen. Dieser Bereich heißt Randfeld. Dort ist das Feld inhomogen, die Linien liegen weiter auseinander, die Feldstärke ist kleiner.
Im Bild herrscht deshalb an A, B und C dieselbe Feldstärke, obwohl die Punkte verschieden weit von den Platten entfernt sind. Nur an D im Randfeld ist sie kleiner. Beim Auswählen eines Feldlinienbilds prüfst du drei Dinge: parallele, gleichabständige Linien innen, Richtung von plus nach minus, gekrümmte Linien am Rand.
Feldstärke E = U/d
Im homogenen Feld fällt das Potential gleichmäßig von der Plus- zur Minusplatte ab. Die Feldstärke ist dieses konstante Gefälle.
\[E = \frac{U}{d} = \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{d}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(E\) | Betrag der elektrischen Feldstärke | V/m = N/C |
| \(U\) | Spannung zwischen den Platten | V |
| \(\varphi_1\), \(\varphi_2\) | Potentiale der beiden Platten | V |
| \(d\) | Plattenabstand | m |
Doppelte Spannung bei gleichem Abstand ergibt doppelte Feldstärke. Doppelter Abstand bei gleicher Spannung halbiert sie. Liegt eine Platte auf \(-50\) V und die andere auf \(+150\) V, zählt nur die Differenz von 200 V.
Die Kapazität geht in \(E\) nicht ein. Ein Kondensator mit \(C = 10\) pF, \(U = 200\) V und \(d = 4\) mm hat \(E = 200\ \mathrm{V}/0{,}004\ \mathrm{m} = 5 \cdot 10^4\) V/m. Die Kapazitätsangabe ist hier schlicht überflüssig.
Auch eine Zellmembran lässt sich als Plattenkondensator modellieren. Die Ionenschichten auf beiden Seiten bilden die Platten, das Membranpotential ist die Spannung.
- Daten in SI: Membranpotential 90 mV = 0,090 V, Membrandicke 6 nm = \(6 \cdot 10^{-9}\) m.
- Einsetzen: \(E = 0{,}090\ \mathrm{V} / (6 \cdot 10^{-9}\ \mathrm{m})\).
- Ergebnis: \(E = 1{,}5 \cdot 10^7\) V/m, ein enorm starkes Feld.
- Kraft auf ein Ion: \(F = z \cdot e \cdot U/d\). Für \(\ce{Na+}\) mit \(z = 1\) folgt \(F = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{C} \cdot 1{,}5 \cdot 10^7\ \mathrm{V/m} \approx 2{,}4 \cdot 10^{-12}\) N.
Die Ladungszahl \(z\) zählt die Elementarladungen des Teilchens.
Rechne mm, µm und nm immer zuerst in Meter um, sonst liegt das Ergebnis um Zehnerpotenzen daneben. Teile die Spannung durch den Abstand, nicht umgekehrt.
Geladene Teilchen im Feld
Auf eine Ladung \(q\) wirkt im homogenen Feld überall dieselbe Kraft \(F = qE\). Ein Elektron ist negativ geladen. Es wird deshalb entgegen der Feldrichtung zur positiven Platte gezogen. Ein positiv geladenes Teilchen, etwa ein von der Plusplatte abgelöster Splitter, wird dagegen zur negativen Platte hin beschleunigt.
Die konstante Kraft erzeugt eine konstante Beschleunigung. Für das Elektron gilt \(a = eE/m\). Bei \(E = 5 \cdot 10^4\) V/m und \(m = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\) kg ergibt sich \(a \approx 8{,}8 \cdot 10^{15}\) m/s².
Tritt das Elektron quer zu den Feldlinien ein, behält es seine Geschwindigkeit parallel zu den Platten. Senkrecht dazu wird es gleichmäßig beschleunigt. Wie beim waagerechten Wurf entsteht eine Parabelbahn. Hinter dem Kondensator wirkt keine Kraft mehr. Das Elektron fliegt geradlinig weiter, in der Richtung, die es beim Austritt hatte.
Dielektrikum im Feld
Ein Dielektrikum ist ein Isolator mit der Dielektrizitätszahl \(\varepsilon_r > 1\). Seine Ladungen sind gebunden und können nicht frei wandern. Im Feld verschieben sie sich aber ein wenig, und polare Moleküle richten sich aus. Das nennt man Polarisation des Dielektrikums. Mehr zu Dipolen im Feld steht unter elektrischer Dipol.
Durch die Polarisation entstehen an den Oberflächen gebundene Ladungen. Der Plusplatte gegenüber sammeln sich negative, der Minusplatte gegenüber positive Ladungen. Ihr eigenes Feld zeigt gegen das äußere Feld und schwächt es. Bei fester Plattenladung sinkt die Feldstärke im Inneren um den Faktor \(\varepsilon_r\).
Das Innenfeld ist also schwächer, behält aber seine Richtung. Im Feldlinienbild laufen die Linien im Dielektrikum in derselben Richtung weiter, nur weniger dicht. Ganz abgeschirmt wird das Feld nicht. Anders ist es im Metall: Freie Elektronen verschieben sich so weit, bis das Innere feldfrei ist, wie beim Faraday-Käfig.
Quiz
Aussage 1
In einem geladenen Plattenkondensator verlaufen die Feldlinien parallel zu den Plattenoberflächen.
Die Feldlinien stehen senkrecht auf den Platten und laufen von der positiven zur negativen Platte.
Aussage 2
Verdoppelt man bei konstanter Spannung den Plattenabstand, halbiert sich die Feldstärke im Kondensator.
Nach \(E = U/d\) ist die Feldstärke bei konstantem \(U\) umgekehrt proportional zum Abstand.
Aussage 3
Ein quer zu den Feldlinien eintretendes Elektron beschreibt im Kondensator eine Parabel und fliegt danach geradlinig weiter.
Die konstante Kraft zur positiven Platte erzeugt eine Parabelbahn, außerhalb des Feldes wirkt keine Kraft mehr.
Aussage 4
Im homogenen Bereich eines Plattenkondensators ist die Feldstärke dicht an einer Platte größer als in der Mitte zwischen den Platten.
Im homogenen Bereich ist die Feldstärke überall nach Betrag und Richtung gleich, unabhängig vom Abstand zu den Platten.
Aussage 5
Im Inneren eines Dielektrikums mit \(\varepsilon_r > 1\) im homogenen Feld ist die Feldstärke geringer als außen, zeigt aber in dieselbe Richtung.
Die Polarisationsladungen schwächen das Innenfeld, kehren es aber nicht um und schirmen es nicht vollständig ab.
Aussage 6
Um die Feldstärke im Plattenkondensator aus Spannung und Plattenabstand zu berechnen, muss man zusätzlich die Kapazität kennen.
Es gilt \(E = U/d\). Die Kapazität geht nicht ein, eine Angabe dazu ist überflüssig.
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