Elektrisches Feld, Feldlinien und Potential
Wie ein elektrisches Feld auf Ladungen wirkt, wie man Feldlinienbilder liest und wie man die Arbeit beim Verschieben einer Ladung über das Potential bestimmt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die elektrische Feldstärke \(E = F/q\) beschreibt das Feld um Ladungen als Vektor in Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung, Einheit V/m (= N/C).
- Die Kraft auf eine Ladung ist \(F = q \cdot E\) und unabhängig von der Geschwindigkeit, beim Elektron gilt \(F = e \cdot E\).
- Protonen-, α- und β⁻-Strahlung werden im Feld abgelenkt, Neutronen- und γ-Strahlung laufen geradeaus.
- Feldlinien beginnen an positiven und enden an negativen Ladungen, ihre Dichte zeigt die Feldstärke. Im Kugelkondensator ist das Feld inhomogen und an der Innenkugel am stärksten.
- Die Arbeit \(W = q \cdot \Delta\varphi\) ist wegunabhängig. Im homogenen Feld zählt nur \(s_\parallel\), auf Äquipotentiallinien (senkrecht zu den Feldlinien) wird keine Arbeit verrichtet.
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Worum es geht
Ladungen wirken über das elektrische Feld aufeinander, das sie umgibt. Mit der Feldstärke berechnet man die Kraft auf jede Ladung, mit dem Potential die Arbeit beim Verschieben. Beides braucht man später für Kondensatoren, Elektrophorese und die Ablenkung von Strahlung.
Feldbegriff
Eine Ladung verändert den Raum um sich herum. Dieser veränderte Zustand heißt elektrisches Feld. Bringt man eine zweite Ladung hinein, spürt sie eine Kraft. Wie stark zwei Punktladungen einander anziehen oder abstoßen, beschreibt das Coulomb’sche Gesetz.
Um ein Feld auszumessen, benutzt man eine Probeladung. Das ist eine kleine positive Ladung, die das Feld selbst kaum stört. Man teilt die gemessene Kraft durch ihre Ladung und erhält die elektrische Feldstärke \(\vec{E} = \vec{F}/q\). Sie hängt nur noch vom Feld ab, nicht mehr von der Probeladung.
Die Feldstärke ist ein Vektor. Sie hat einen Betrag und eine Richtung. Ihre Richtung ist die Richtung der Kraft auf eine positive Ladung.
Feldstärke und Kraft
Stellt man die Definition der Feldstärke um, erhält man die Kraft auf jede beliebige Ladung im Feld.
\[F = q \cdot E\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(F\) | Kraft auf die Ladung | N |
| \(q\) | Ladung (auch \(Q\)), beim Elektron \(e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\) C | C |
| \(E\) | elektrische Feldstärke | V/m = N/C |
Die Kraft ist proportional zur Ladung: doppelte Ladung, doppelte Kraft. Ebenso gilt doppelte Feldstärke, doppelte Kraft. Eine positive Ladung wird in Feldrichtung gezogen, eine negative entgegen. Die Einheit der Feldstärke ist V/m. Sie ist gleichwertig mit N/C, denn 1 V = 1 J/C und 1 J = 1 N·m.
In der Formel kommt keine Geschwindigkeit vor. Ein ruhendes und ein schnelles Elektron erfahren im selben Feld genau dieselbe Kraft.
Die Kraft \(F = q \cdot E\) wird im Examen gerne gefragt. Achte darauf, dass sie nicht von der Geschwindigkeit abhängt: Eine angegebene Geschwindigkeit ist für die Rechnung überflüssig. Erst im Magnetfeld zählt sie, siehe Lorentzkraft.
- Gegeben: Elektron mit \(v = 3{,}0 \cdot 10^{6}\) m/s in einem Feld mit \(E = 2{,}0 \cdot 10^{4}\) V/m.
- Sortieren: Die Geschwindigkeit spielt keine Rolle. Die Ladung ist \(e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\) C.
- Einsetzen: \(F = e \cdot E = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{C} \cdot 2{,}0 \cdot 10^{4}\ \mathrm{V/m}\).
- Ergebnis: \(F \approx 3{,}2 \cdot 10^{-15}\) N, gerichtet entgegen der Feldrichtung.
Typische Fehler sind falsche Vorsilben. Rechne nC, µC und kV/cm vorher in C und V/m um. Das Vorzeichen der Ladung bestimmt nur die Richtung, für den Betrag rechnest du mit \(|q|\).
Aus demselben Grund trennt ein Feld geladene von ungeladener Strahlung. Protonen- und α-Strahlung sind positiv und werden zur negativen Platte abgelenkt. β⁻-Strahlung besteht aus Elektronen und wird zur positiven Platte gezogen. Weil Elektronen viel leichter sind, krümmt sich ihre Bahn stärker. Neutronen- und γ-Strahlung tragen keine Ladung und laufen geradeaus. Mehr zu den Strahlungsarten findest du bei der Gammastrahlung.
Feldlinien
Feldlinien machen das Feld sichtbar. Die Tangente an eine Feldlinie zeigt an jedem Punkt die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung. Im elektrostatischen Feld beginnen sie an positiven und enden an negativen Ladungen. Sie sind deshalb nie geschlossen. Der Pfeil zeigt von Plus weg und zu Minus hin.
Die Linien tragen auch die Stärke des Feldes. Wo sie dicht liegen, ist die Feldstärke groß. Wo sie auseinanderlaufen, ist sie klein. Man kann sich das wie Höhenlinien auf einer Wanderkarte vorstellen, nur dass hier die Dichte der Linien die Steilheit des Feldes anzeigt.
Daraus folgen zwei Feldtypen. Im homogenen Feld verlaufen die Linien parallel und gleich dicht. Die Kraft auf eine Probeladung ist überall gleich groß, so etwa zwischen den Platten eines Plattenkondensators. Im inhomogenen Feld ändern sich Dichte oder Richtung, und die Kraft ist von Ort zu Ort verschieden.
Die wichtigsten Feldlinienbilder zeigt die Abbildung:
- Positive Punktladung: Linien radial nach außen. Bei negativer Ladung zeigen sie radial nach innen.
- Dipol: Bögen von der positiven zur negativen Ladung. Ein Dipol übt auf eine Punktladung in seiner Nähe eine Kraft aus.
- Geladene Kugel: Außen gleicht das Feld dem einer Punktladung im Mittelpunkt, also \(E \sim 1/r^2\).
- Kugelkondensator: Linien radial zwischen Innen- und Außenkugel. Das Feld ist inhomogen und wird zur Innenkugel hin stärker, weil die Linien dort enger liegen.
- Plattenkondensator: parallele Linien, homogenes Feld.
Vergleicht man zwei Punkte im Kugelkondensator, liegt der Punkt näher an der Innenkugel im dichteren Linienbereich. Dort ist die Feldstärke größer.
Potential und Arbeit
Verschiebt man eine Ladung gegen die Feldkraft, muss man Arbeit verrichten, ähnlich wie beim Heben einer Last (Hubarbeit). Im elektrostatischen Feld ist diese Arbeit wegunabhängig. Sie hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab. Im Feld einer Punktladung kosten daher alle Wege zwischen denselben zwei Punkten gleich viel Arbeit.
Das Potential \(\varphi\) ist die potentielle Energie je Ladung an einem Ort, gemessen in V = J/C. In Feldrichtung nimmt es ab. Die Potentialdifferenz \(\Delta\varphi\) zwischen zwei Punkten ist die Spannung \(U\). Die Arbeit folgt direkt daraus:
\[W = q \cdot \Delta\varphi\]
Orte gleichen Potentials liegen auf Äquipotentiallinien. Sie stehen überall senkrecht auf den Feldlinien. Entlang einer Äquipotentiallinie bleibt das Potential gleich, entlang einer Feldlinie ändert es sich. Wer eine Ladung auf einer Äquipotentiallinie bewegt, verrichtet deshalb keine Arbeit.
Konzentrische Kreise um eine Punktladung sind Äquipotentiallinien. Die Feldlinien sind die radialen Strahlen, die diese Kreise rechtwinklig schneiden.
Im homogenen Feld zählt nur der Wegteil parallel zu den Feldlinien, denn senkrecht dazu bleibt man auf derselben Äquipotentiallinie:
\[W = Q \cdot E \cdot s_\parallel\]
In der Abbildung führt ein Weg 6,0 cm gegen die Feldrichtung und danach 8,0 cm senkrecht dazu. Für \(Q = 2{,}0\) nC und \(E = 5{,}0 \cdot 10^{4}\) V/m zählen nur die 6,0 cm. Das ergibt \(W = 2{,}0 \cdot 10^{-9}\ \mathrm{C} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{4}\ \mathrm{V/m} \cdot 0{,}060\ \mathrm{m} = 6{,}0 \cdot 10^{-6}\) J. Der direkte schräge Weg von 10 cm liefert denselben Wert. Wer hier die 10 cm einsetzt, macht den häufigsten Rechenfehler.
Quiz
Aussage 1
Im geladenen Kugelkondensator ist die Feldstärke an der Außenkugel am größten.
Die radialen Feldlinien liegen an der Innenkugel am dichtesten. Dort ist die Feldstärke am größten, sie nimmt zur Innenkugel hin zu.
Aussage 2
Ein Elektron, das mit hoher Geschwindigkeit in ein elektrisches Feld eintritt, erfährt dieselbe elektrische Kraft wie ein ruhendes Elektron am selben Ort.
Die Kraft \(F = e \cdot E\) enthält keine Geschwindigkeit. Sie hängt nur von Ladung und Feldstärke ab.
Aussage 3
Verschiebt man eine Ladung in einem homogenen Feld senkrecht zu den Feldlinien, wird dabei keine Arbeit verrichtet.
Senkrecht zu den Feldlinien bleibt das Potential gleich. Es zählt nur der Wegteil parallel zum Feld: \(W = Q \cdot E \cdot s_\parallel\).
Aussage 4
Die konzentrischen Kreise um eine Punktladung stellen deren elektrische Feldlinien dar.
Die Kreise sind Äquipotentiallinien. Die Feldlinien verlaufen radial und schneiden sie rechtwinklig.
Aussage 5
Die Einheit V/m der elektrischen Feldstärke ist gleichwertig mit N/C.
Aus 1 V = 1 J/C und 1 J = 1 N·m folgt 1 V/m = 1 N/C.
Aussage 6
Neutronenstrahlung wird zwischen zwei geladenen Platten zur negativen Platte hin abgelenkt.
Neutronen sind ungeladen und laufen geradeaus. Zur negativen Platte werden positive Teilchen wie Protonen und α-Teilchen abgelenkt.
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