Effektivwert und Scheitelwert bei Sinusverlauf
Wie der Effektivwert einer Wechselgröße über die Leistung definiert ist und wie man bei Sinusverlauf mit dem Faktor √2 zwischen Effektiv- und Scheitelwert umrechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Effektivwert eines Wechselstroms ist die Stärke des Gleichstroms, der im selben ohmschen Widerstand im Mittel dieselbe Leistung umsetzt.
- Am ohmschen Widerstand beträgt die mittlere Leistung bei Sinusverlauf \(\bar{P} = \tfrac{1}{2}\hat{U}\hat{I} = U_{\mathrm{eff}}\cdot I_{\mathrm{eff}}\), nicht \(\hat{U}\hat{I}\).
- Bei Sinusgrößen gilt \(U_{\mathrm{eff}} = \hat{U}/\sqrt{2}\) und \(I_{\mathrm{eff}} = \hat{I}/\sqrt{2}\); der Effektivwert liegt bei rund 71 % des Scheitelwerts und ist stets kleiner als die Amplitude.
- Die Netzspannung von 230 V ist ein Effektivwert; ihr Scheitelwert beträgt rund 325 V, ihr Spitze-Spitze-Wert rund 650 V.
- Im U-t-Diagramm liest man den Scheitelwert von der Nulllinie bis zum Maximum ab und teilt ihn durch \(\sqrt{2}\); zur Auswahl einer Kurve berechnet man \(\hat{U} = \sqrt{2}\,U_{\mathrm{eff}}\) und \(T = 1/f\).
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Worum es geht
Eine Wechselspannung ändert ständig Betrag und Richtung. Trotzdem steht auf jedem Netzteil eine einzige Zahl, etwa 230 V. Diese Zahl ist der Effektivwert, und du brauchst ihn, sobald du Leistungen, Messwerte oder Oszilloskopbilder von Wechselgrößen deuten willst.
Definition
Welcher einzelne Wert beschreibt eine Wechselspannung sinnvoll? Der Scheitelwert taugt dafür schlecht, denn er wird in jeder Periode nur kurz erreicht. Man vergleicht deshalb über die Wirkung: die Wärme, die ein Strom in einem ohmschen Widerstand erzeugt.
Der Effektivwert \(I_{\mathrm{eff}}\) eines Wechselstroms ist die Stärke des Gleichstroms, der im selben ohmschen Widerstand im Mittel dieselbe Leistung umsetzt. Entsprechend ist \(U_{\mathrm{eff}}\) die Gleichspannung mit derselben Wärmewirkung.
Am ohmschen Widerstand laufen Spannung und Strom gleichphasig. Die Momentanleistung ist das Produkt der beiden Momentanwerte:
\[p(t) = u(t)\cdot i(t) = \hat{U}\hat{I}\sin^2(\omega t)\]
Ein Quadrat wird nie negativ. Die Leistung ist daher stets positiv, auch wenn der Strom gerade rückwärts fließt. Sie pendelt mit doppelter Frequenz zwischen null und \(\hat{U}\hat{I}\).
Der Mittelwert von \(\sin^2\) über eine Periode beträgt genau \(\tfrac{1}{2}\). Die mittlere Leistung ist deshalb \(\bar{P} = \tfrac{1}{2}\hat{U}\hat{I}\). Das Produkt der Scheitelwerte \(\hat{U}\hat{I}\) beschreibt nur die kurze Spitze der Leistungskurve, nicht ihren Mittelwert.
Bei Gleichstrom gilt einfach \(P = U\cdot I\). Die Effektivwerte sind so gewählt, dass diese Formel auch für Wechselstrom stimmt: \(\bar{P} = U_{\mathrm{eff}}\cdot I_{\mathrm{eff}}\). Wie man Leistungen an Widerständen berechnet, steht unter Leistung am ohmschen Widerstand.
Beziehung zum Scheitelwert
Aus der Leistungsgleichheit folgt der Umrechnungsfaktor direkt. Mit \(P = I^2 R\) muss gelten: \(I_{\mathrm{eff}}^2 R = \tfrac{1}{2}\hat{I}^2 R\). Der Widerstand kürzt sich heraus. Zieht man die Wurzel, bleibt \(I_{\mathrm{eff}} = \hat{I}/\sqrt{2}\). Für die Spannung gilt mit \(P = U^2/R\) dasselbe.
\[U_{\mathrm{eff}} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}} \qquad I_{\mathrm{eff}} = \frac{\hat{I}}{\sqrt{2}}\]
\[\hat{U} = \sqrt{2}\,U_{\mathrm{eff}} \qquad \hat{I} = \sqrt{2}\,I_{\mathrm{eff}}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(U_{\mathrm{eff}}\) | Effektivwert der Spannung | V |
| \(\hat{U}\) (auch \(U_0\)) | Scheitelwert (Amplitude) der Spannung | V |
| \(I_{\mathrm{eff}}\) | Effektivwert der Stromstärke | A |
| \(\hat{I}\) (auch \(I_0\)) | Scheitelwert (Amplitude) der Stromstärke | A |
Zahlenmäßig ist \(1/\sqrt{2} \approx 0{,}707\) und \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Der Effektivwert einer Sinusgröße liegt also bei rund 71 % des Scheitelwerts. Er ist immer kleiner als die Amplitude. Das leuchtet ein: Die Kurve berührt den Scheitel nur kurz und verläuft sonst darunter.
Der Zusammenhang ist linear. Doppelter Scheitelwert bedeutet doppelten Effektivwert. Der Faktor \(\sqrt{2}\) gilt aber nur für sinusförmige Verläufe. Im Grenzfall einer Gleichspannung fallen Scheitel- und Effektivwert zusammen, weil sich nichts ändert.
Den Scheitelwert und den Spitze-Spitze-Wert kennst du bereits. Die Abbildung zeigt sie zusammen mit dem Effektivwert an einer Kurve. Die gestrichelte Linie bei \(\hat{U}/\sqrt{2}\) liegt deutlich über der halben Amplitude.
Die Umrechnung über \(\sqrt{2}\) ist ein Examensklassiker: \(U_{\mathrm{eff}} = \hat{U}/\sqrt{2}\) und \(\hat{U} = \sqrt{2}\,U_{\mathrm{eff}}\), für die Stromstärke genauso. Der Effektivwert beträgt rund 71 % des Scheitelwerts. Die Hälfte wäre zu wenig, und der doppelte Wert gehört zum Spitze-Spitze-Wert.
Netzspannung
Die Angabe 230 V an der Haushaltssteckdose ist ein Effektivwert. Sie bedeutet: Ein Heizlüfter wird an der Steckdose genauso warm wie an 230 V Gleichspannung. Der Scheitelwert liegt deutlich höher:
\[\hat{U} = \sqrt{2}\cdot 230\ \mathrm{V} \approx 325\ \mathrm{V}\]
Die Netzspannung schwankt also zwischen etwa +325 V und −325 V. Vom Tal bis zum Berg misst man den Spitze-Spitze-Wert \(U_{\mathrm{ss}} = 2\hat{U} = 2\sqrt{2}\,U_{\mathrm{eff}} \approx 650\ \mathrm{V}\). Bei der Netzfrequenz von 50 Hz dauert eine Periode 20 ms.
Auf dem Oszilloskop sieht man genau dieses Bild: Die Kurve kehrt bei rund ±325 V um, die 230 V erscheinen nur als gedachte Linie darunter. Ein Multimeter im Wechselspannungsbereich zeigt dagegen direkt den Effektivwert an. Dass 230 V der Effektivwert sind und zum Scheitel rund 325 V gehören, wird im Examen gerne gefragt. Unterscheide dabei sauber zwischen dem Scheitel über der Nulllinie und der Höhe von Tal zu Berg mit rund 650 V.
Umrechnung und Diagramme
Jede Umrechnung folgt demselben Muster. Zuerst klärst du, welcher Wert gegeben ist. Dann multiplizierst du mit \(\sqrt{2}\) oder teilst durch \(\sqrt{2}\).
Vom Scheitel zum Effektivwert wird es kleiner: durch \(\sqrt{2}\) teilen, also mal 0,707. Vom Effektivwert zum Scheitel wird es größer: mal \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\).
Rechnen in beide Richtungen
Ein Labortransformator liefert eine Sinusspannung mit dem Scheitelwert 34 V. Der Effektivwert ist \(U_{\mathrm{eff}} = 34\ \mathrm{V}/1{,}414 \approx 24\ \mathrm{V}\). Umgekehrt fließt durch eine Heizwicklung ein Effektivstrom von 2,0 A. Dann erreicht der Strom den Scheitelwert \(\hat{I} = 1{,}414 \cdot 2{,}0\ \mathrm{A} \approx 2{,}8\ \mathrm{A}\). Für eine Abschätzung genügt oft \(\sqrt{2} \approx 1{,}4\).
Amplitude aus dem U-t-Diagramm
In einem Spannung-Zeit-Diagramm liest du zuerst die Amplitude ab und rechnest dann um. Am Beispiel der Abbildung:
- Skala prüfen: Ein Kästchen auf der Spannungsachse entspricht 5 V. Achte auch auf die Einheit, etwa mV statt V.
- Kästchen zählen: Von der Nulllinie bis zum Maximum sind es 3 Kästchen, also \(\hat{U} = 3 \cdot 5\ \mathrm{V} = 15\ \mathrm{V}\).
- Umrechnen: \(U_{\mathrm{eff}} = 15\ \mathrm{V}/\sqrt{2} \approx 10{,}6\ \mathrm{V}\).
Den Scheitelwert misst man von der Nulllinie bis zum Maximum. Wer vom Tal bis zum Berg zählt, erhält \(U_{\mathrm{ss}} = 2\hat{U}\), im Beispiel 30 V, und damit einen doppelt so großen, falschen Effektivwert.
Passendes Diagramm auswählen
Umgekehrt kann die Effektivspannung gegeben sein, und du suchst unter mehreren Kurven die richtige. Beispiel: 12 V effektiv bei 50 Hz. Der Scheitelwert beträgt \(\sqrt{2} \cdot 12\ \mathrm{V} \approx 17\ \mathrm{V}\). Die Periodendauer ist \(T = 1/f = 1/(50\ \mathrm{Hz}) = 20\ \mathrm{ms}\).
Passend ist nur die Kurve, die bei etwa ±17 V umkehrt und sich nach 20 ms wiederholt. Eine Kurve mit Maximum bei 12 V stellt den Effektivwert fälschlich als Amplitude dar. Eine Kurve mit 17 V Scheitel, aber 10 ms Periode hat die doppelte Frequenz.
Typische Fehler
- Richtung verwechselt: Wer beim Weg zum Effektivwert mit \(\sqrt{2}\) multipliziert, erhält einen Wert über dem Scheitel. Der Effektivwert muss aber kleiner sein.
- Durch 2 statt durch \(\sqrt{2}\) geteilt: Das liefert 50 % statt rund 71 % des Scheitelwerts.
- Spitze-Spitze-Wert als Amplitude abgelesen: Der Effektivwert fällt dann doppelt so groß aus.
- Skala übersehen: Kästchenwert und Einheit immer zuerst prüfen.
- Faktor auf andere Kurvenformen übertragen: \(\sqrt{2}\) gilt nur beim Sinus.
Quiz
Aussage 1
Bei einer sinusförmigen Spannung ist der Effektivwert genau halb so groß wie der Scheitelwert.
Der Effektivwert ist der Scheitelwert geteilt durch \(\sqrt{2}\), also rund 71 % davon, nicht 50 %.
Aussage 2
Auf einem Oszilloskop beträgt die Höhe der Netzspannungskurve vom tiefsten bis zum höchsten Punkt rund 650 V.
Der Spitze-Spitze-Wert ist \(2\sqrt{2}\cdot 230\ \mathrm{V} \approx 650\ \mathrm{V}\), also das Doppelte des Scheitelwerts von rund 325 V.
Aussage 3
Für einen sinusförmigen Wechselstrom mit der Scheitelstromstärke \(I_0\) gilt \(I_{\mathrm{eff}} = I_0/\sqrt{2}\).
Der Faktor \(1/\sqrt{2}\) gilt für Spannung und Stromstärke gleichermaßen.
Aussage 4
Liegt das Maximum einer Sinuskurve 4 Kästchen zu je 2 V über der Nulllinie, beträgt der Effektivwert etwa 5,7 V.
Der Scheitelwert ist \(4 \cdot 2\ \mathrm{V} = 8\ \mathrm{V}\), der Effektivwert \(8\ \mathrm{V}/\sqrt{2} \approx 5{,}7\ \mathrm{V}\).
Aussage 5
Die Angabe 230 V der Haushaltsnetzspannung bezeichnet den Scheitelwert der Spannung.
230 V ist der Effektivwert. Der Scheitelwert beträgt \(\sqrt{2}\cdot 230\ \mathrm{V} \approx 325\ \mathrm{V}\).
Aussage 6
An einem ohmschen Widerstand beträgt die mittlere Leistung eines sinusförmigen Wechselstroms \(\hat{U}\cdot\hat{I}\).
\(\hat{U}\hat{I}\) ist nur die Spitze der Leistungskurve. Weil der Mittelwert von \(\sin^2\) gleich \(\tfrac{1}{2}\) ist, beträgt die mittlere Leistung \(\tfrac{1}{2}\hat{U}\hat{I}\).
Aussage 7
Der Effektivwert eines Wechselstroms ist so festgelegt, dass ein gleich starker Gleichstrom im selben ohmschen Widerstand im Mittel dieselbe Leistung umsetzt.
Genau so ist der Effektivwert über die Leistungsgleichheit am ohmschen Widerstand definiert.
Aussage 8
Eine Sinusspannung mit dem Scheitelwert 20 V hat einen Effektivwert von etwa 28 V.
Zum Effektivwert teilt man durch \(\sqrt{2}\): \(20\ \mathrm{V}/1{,}414 \approx 14\ \mathrm{V}\). 28 V entstünde fälschlich durch Multiplizieren.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.