Coulomb’sches Gesetz: Kräfte zwischen Punktladungen
Wie die Kraft zwischen zwei Punktladungen von den Ladungen, ihrem Abstand und dem umgebenden Medium abhängt und wie man Kraftänderungen schnell berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Das Coulomb’sche Gesetz beschreibt die Kraft zwischen zwei Punktladungen: \(F = \frac{Q_1 Q_2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2}\).
- Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Nach actio gleich reactio wirken auf beide Ladungen gleich große, entgegengesetzte Kräfte, auch bei ungleichen Ladungen.
- Die Kraft ist proportional zum Produkt \(Q_1 Q_2\) und umgekehrt proportional zu \(r^2\): halber Abstand, vierfache Kraft.
- Bei fester Gesamtladung ist die Kraft bei gleicher Aufteilung \(q_1 = q_2 = Q/2\) maximal und umso kleiner, je ungleicher die Ladungen verteilt sind.
- Die Kraft ist umgekehrt proportional zur Dielektrizitätszahl \(\varepsilon_r\). In Wasser (\(\varepsilon_r \approx 80\)) beträgt sie nur etwa ein Achtzigstel des Vakuumwerts.
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Worum es geht
Das Coulomb’sche Gesetz beschreibt die Kraft zwischen zwei elektrischen Ladungen. Es ist die Grundlage für das elektrische Feld, für Ionenbindungen und für die Frage, warum sich Kochsalz in Wasser löst, in Benzin aber nicht. Für das Examen muss man vor allem abschätzen können, wie sich die Kraft ändert, wenn Ladung, Abstand oder Medium sich ändern.
Anziehung und Abstoßung
Elektrische Ladungen üben Kräfte aufeinander aus, auch ohne sich zu berühren. Das Vorzeichen entscheidet über die Richtung. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Zwei Elektronen drücken sich also auseinander, ein Elektron und ein Proton ziehen sich an.
Für die Rechnung idealisiert man die Ladungsträger als Punktladungen. Gemeint ist eine Ladung, deren Ausdehnung gegenüber dem Abstand zur anderen Ladung vernachlässigbar ist. Für Elektronen, Ionen und kleine geladene Kugeln in ausreichendem Abstand passt dieses Modell gut.
Gleiche Kraft auf beide Partner
Die Kraft von Ladung 1 auf Ladung 2 ist genauso groß wie die Kraft von Ladung 2 auf Ladung 1. Beide zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Das ist das Wechselwirkungsprinzip actio gleich reactio. Es gilt auch bei sehr ungleichen Ladungen.
Ein Beispiel: Eine Ladung von \(+4\) nC und eine von \(-1\) nC ziehen sich an. Intuitiv erwartet man, dass die große Ladung stärker zieht. Doch beide spüren denselben Kraftbetrag, das Verhältnis ist 1 : 1. Die Formel im nächsten Abschnitt zeigt den Grund: Sie enthält nur das Produkt \(Q_1 Q_2\), und das ist für beide Partner dasselbe. Verschieden ist nur die Wirkung. Ein leichtes Teilchen wird bei gleicher Kraft stärker beschleunigt als ein schweres.
Coulomb’sches Gesetz
Wie stark sich zwei Punktladungen anziehen oder abstoßen, beschreibt das Coulomb’sche Gesetz. Es verknüpft die Kraft mit beiden Ladungen und ihrem Abstand. Im Vakuum lautet es:
\[F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(F\) | Betrag der Coulomb-Kraft | N |
| \(Q_1\), \(Q_2\) | die beiden Ladungen | C (Coulomb) |
| \(r\) | Abstand der Ladungsmittelpunkte | m |
| \(\varepsilon_0\) | elektrische Feldkonstante, \(8{,}854\cdot10^{-12}\) | As/(V m) |
Ein positiver Wert für \(F\) bedeutet Abstoßung, ein negativer Anziehung. Für Kraftvergleiche rechnet man mit Beträgen.
Proportionalitäten
Die Kraft ist proportional zum Produkt der Ladungen und damit zu jeder einzelnen Ladung. Verdoppelt man eine Ladung, verdoppelt sich die Kraft. Verdoppelt man beide, steigt sie auf das Vierfache. Bei zwei gleichen Ladungen \(Q\) gilt deshalb \(F \propto Q^2\). Für zwei Elektronen mit der Ladung \(-e\) (Elementarladung) folgt \(F \propto e^2/r^2\). Das Produkt zweier negativer Ladungen ist positiv, die Elektronen stoßen sich also ab.
Mit dem Abstand fällt die Kraft mit dem Quadrat: \(F \propto 1/r^2\). Man kann sich das wie das Licht einer Lampe vorstellen. Die Wirkung verteilt sich auf eine Kugeloberfläche, die mit \(r^2\) wächst. Doppelter Abstand bedeutet ein Viertel der Kraft, dreifacher Abstand ein Neuntel. Halbiert man den Abstand, wirkt auf beide Ladungen die vierfache Kraft. Die Kurve fällt deutlich steiler ab als eine \(1/r\)-Kurve.
Die Abstandsabhängigkeit wird im Examen gerne gefragt: Die Coulomb-Kraft ist proportional zu \(1/r^2\), nicht zu \(r\) und nicht zu \(1/r\). Bei geändertem Abstand den Faktor daher immer quadrieren und den Kehrwert bilden.
Rechenbeispiel mit Faktoren
Für Kraftänderungen braucht man die Konstante nicht. Man setzt nur die Änderungsfaktoren ein. Beispiel: Eine Ladung wird verdreifacht, der Abstand halbiert.
- Ansatz: Aus \(F \propto \frac{Q_1 Q_2}{r^2}\) folgt \(\frac{F'}{F} = \frac{Q_1' Q_2'}{Q_1 Q_2}\cdot\frac{r^2}{r'^2}\).
- Ladungsfaktor: \(Q_1' = 3Q_1\) liefert den Faktor 3.
- Abstandsfaktor: \(r' = r/2\) liefert \(\frac{r^2}{(r/2)^2} = 4\).
- Ergebnis: \(F' = 3 \cdot 4 \cdot F = 12\,F\), für beide Ladungen gleich.
Für einen Absolutwert setzt man vollständig ein. Zwei Ladungen von je 2 nC im Abstand 3 cm erfahren
\[F = 8{,}99\cdot10^9\ \mathrm{\frac{N\,m^2}{C^2}}\cdot\frac{(2\cdot10^{-9}\ \mathrm{C})^2}{(0{,}03\ \mathrm{m})^2} \approx 4\cdot10^{-5}\ \mathrm{N}\]
Die Kraft hängt vom Produkt \(Q_1 Q_2\) ab, nicht von der Summe \(Q_1 + Q_2\). Die Ladungen stehen im Zähler, sie wirken also verstärkend. Abstände vor dem Einsetzen in Meter umrechnen.
Aufteilung einer Gesamtladung
Eine Variante verbindet die Ladungsabhängigkeit mit einer Nebenbedingung. Eine feste Gesamtladung \(Q\) wird auf zwei Kugeln verteilt, der Abstand bleibt gleich. Mit \(q_2 = Q - q_1\) ist die Kraft proportional zu
\[q_1 \cdot q_2 = q_1(Q - q_1)\]
Dieses Produkt ist eine nach unten geöffnete Parabel in \(q_1\). Sie ist null, wenn eine Kugel die gesamte Ladung trägt. Ihr Maximum liegt bei gleicher Aufteilung \(q_1 = q_2 = Q/2\) und beträgt \(Q^2/4\). Formal folgt das aus der Ableitung \(Q - 2q_1 = 0\). Je ungleicher die Aufteilung, desto kleiner die Kraft.
Für \(Q = 10\) nC zeigt ein Vergleich den Trend:
| \(q_1\) in nC | \(q_2\) in nC | \(q_1 \cdot q_2\) in nC² | Kraft relativ zum Maximum |
|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 9 | 0,36 |
| 2 | 8 | 16 | 0,64 |
| 3 | 7 | 21 | 0,84 |
| 5 | 5 | 25 | 1 |
Sucht man unter mehreren Aufteilungen die mit der kleinsten Kraft, wählt man die mit dem kleinsten Produkt. Das ist immer die ungleichste Aufteilung.
Einfluss des Mediums
Bisher lag Vakuum zwischen den Ladungen. Dort legt die elektrische Feldkonstante \(\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot10^{-12}\) As/(V m) die Stärke der Kraft fest. Sie ist eine Naturkonstante und verbindet die elektrischen mit den mechanischen Einheiten. Der Vorfaktor \(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) beträgt rund \(8{,}99\cdot10^9\) N m²/C².
Befindet sich ein Isolator zwischen den Ladungen, wird die Kraft schwächer. Das Medium beschreibt die Dielektrizitätszahl \(\varepsilon_r\), auch relative Permittivität genannt. Sie ist dimensionslos und gibt an, um welchen Faktor das Medium die Kraft gegenüber dem Vakuum verringert. Das Gesetz erweitert sich zu
\[F = \frac{Q_1 \cdot Q_2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2}\]
Die Kraft ist damit umgekehrt proportional zu \(\varepsilon_r\). Diese Abhängigkeit ist besonders prüfungsrelevant: \(\varepsilon_r\) steht im Nenner, doppelte Dielektrizitätszahl heißt also halbe Kraft. Warum das Medium die Kraft schwächt, erklärt die Polarisation des Dielektrikums.
| Medium | \(\varepsilon_r\) (etwa) | Kraft relativ zum Vakuum |
|---|---|---|
| Vakuum | 1 | 1 |
| Luft | 1,0006 | praktisch 1 |
| Ethanol | 25 | 1/25 |
| Wasser (20 °C) | 80 | 1/80 |
Bringt man zwei Ionen aus Luft in Wasser, sinkt ihre Anziehung bei gleichem Abstand auf etwa ein Achtzigstel. Das erklärt mit, warum Salze wie \(\ce{NaCl}\) in Wasser in \(\ce{Na+}\) und \(\ce{Cl-}\) zerfallen. In unpolaren Lösungsmitteln mit kleinem \(\varepsilon_r\) halten die Ionen dagegen fest zusammen.
Was im Zähler steht, verstärkt: jede Ladung einfach. Was im Nenner steht, schwächt: der Abstand quadratisch, die Dielektrizitätszahl einfach. Kurz: \(F \propto \frac{Q_1 Q_2}{\varepsilon_r r^2}\).
Quiz
Aussage 1
Für zwei Elektronen im Abstand \(r\) gilt \(F \propto e^2/r^2\).
Beide tragen die Ladung \(-e\). Das Produkt ist \(e^2\), die Kraft ist abstoßend und fällt mit \(r^2\).
Aussage 2
Verdoppelt man bei festem Abstand eine der beiden Ladungen, verdoppelt sich die Kraft auf beide Ladungen.
Die Kraft ist proportional zu jeder einzelnen Ladung, also proportional zum Produkt \(Q_1 Q_2\).
Aussage 3
Eine Ladung von \(+4\) nC übt auf eine Ladung von \(-1\) nC eine betragsmäßig gleich große Kraft aus wie umgekehrt.
Nach dem Wechselwirkungsprinzip sind die Kräfte gleich groß und entgegengesetzt gerichtet. Die Formel enthält nur das Produkt \(Q_1 Q_2\), das für beide Partner gleich ist.
Aussage 4
In Wasser mit \(\varepsilon_r \approx 80\) ist die Coulomb-Kraft zwischen zwei Ionen etwa 80-mal größer als im Vakuum.
Die Kraft ist umgekehrt proportional zu \(\varepsilon_r\). In Wasser beträgt sie nur etwa ein Achtzigstel des Vakuumwerts.
Aussage 5
Halbiert man den Abstand zweier Punktladungen, verdoppelt sich die Coulomb-Kraft.
Wegen \(F \propto 1/r^2\) vervierfacht sich die Kraft bei halbem Abstand.
Aussage 6
Wird eine feste Gesamtladung auf zwei Kugeln in festem Abstand verteilt, ist die Kraft bei gleicher Aufteilung am größten.
Das Produkt \(q_1(Q - q_1)\) hat sein Maximum \(Q^2/4\) bei \(q_1 = Q/2\).
Aussage 7
Die Coulomb-Kraft ist proportional zur Summe der beiden Ladungen \(Q_1 + Q_2\).
Die Kraft ist proportional zum Produkt \(Q_1 \cdot Q_2\).
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