Spannungsquelle unter Last
Wie Innen- und Lastwiderstand den Strom im Kreis, die Klemmenspannung und die abgegebene Leistung einer realen Spannungsquelle bestimmen.
Das Wichtigste in Kürze
- Unter Last bilden Innenwiderstand \(R_i\) und Lastwiderstand \(R_a\) einer realen Spannungsquelle einen Reihenkreis, durch den derselbe Strom fließt.
- Der Strom ist \(I = U_0/(R_i + R)\); ein Amperemeter addiert \(R_A\) zum Gesamtwiderstand, \(n\) gleiche parallele Lasten wirken wie \(R/n\).
- Die Klemmenspannung folgt aus dem Spannungsteiler \(U_K = U_0 \cdot R_a/(R_a + R_i)\).
- Ein Voltmeter belastet die Quelle mit \(R_V\) und zeigt \(U_K = U_0 \cdot R_V/(R_i + R_V)\), also weniger als \(U_0\).
- Bei \(R_a \gg R_i\) ist \(U_K \approx U_0\); bei Leistungsanpassung \(R_a = R_i\) ist \(U_K = U_0/2\) und die Leistung am Verbraucher maximal.
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Worum es geht
Sobald eine Batterie einen Verbraucher speist, sinkt ihre Spannung an den Klemmen. Der Grund ist ihr Innenwiderstand, der mit dem Verbraucher einen einfachen Reihenkreis bildet. Mit diesem Modell berechnest du Strom und Klemmenspannung, etwa bei Messgeräten im Labor oder bei batteriebetriebenen Geräten.
Strom im Lastkreis
Im Ersatzschaltbild besteht eine reale Quelle aus einer idealen Spannungsquelle mit der Quellenspannung \(U_0\) und einem Innenwiderstand \(R_i\). Den Widerstand des angeschlossenen Verbrauchers nennt man Lastwiderstand (\(R\) oder \(R_a\)). Innen- und Lastwiderstand liegen in Reihe. Derselbe Strom fließt also durch beide.
Wie in jeder Reihenschaltung addieren sich die Widerstände. Das Ohm’sche Gesetz für den ganzen Kreis liefert dann den Strom:
\[I = \frac{U_0}{R_i + R}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(I\) | Stromstärke im Kreis | A |
| \(U_0\) | Quellenspannung (Leerlaufspannung) | V |
| \(R_i\) | Innenwiderstand der Quelle | Ω |
| \(R\) | Lastwiderstand des Verbrauchers | Ω |
Je kleiner der Lastwiderstand, desto größer der Strom. Bei \(R = 0\) fließt der Kurzschlussstrom \(I_K = U_0/R_i\), den allein der Innenwiderstand begrenzt. Beim Generator übernimmt der Widerstand der Spule die Rolle von \(R_i\). Auch dort hängt der Strom vom Widerstand des Verbrauchers ab.
Jedes weitere Bauteil im Kreis erhöht den Gesamtwiderstand. Ein Amperemeter in Reihe bringt seinen Innenwiderstand \(R_A\) mit, also \(R_{ges} = R_i + R + R_A\). Hängen \(n\) gleiche Lastwiderstände parallel, wirken sie wie \(R/n\). Dann gilt \(I = U_0/(R_i + R/n)\). Diese Varianten werden im Examen gerne gefragt: Entscheidend ist, \(R_i\) nie zu vergessen und bei Parallelschaltung erst den Ersatzwiderstand zu bilden.
- Gegeben: Batterie mit \(U_0 = 4{,}5\) V und \(R_i = 1{,}5\) Ω, drei Lämpchen mit je \(R = 9\) Ω parallel.
- Ersatzwiderstand der Last: \(R/n = 9\ \Omega / 3 = 3\) Ω.
- Gesamtwiderstand: \(R_{ges} = 1{,}5\ \Omega + 3\ \Omega = 4{,}5\) Ω.
- Strom aus der Quelle: \(I = 4{,}5\ \mathrm{V} / 4{,}5\ \Omega = 1\) A.
Typische Fehler sind, nur \(U_0/R\) zu rechnen oder bei parallelen Verbrauchern \(n \cdot R\) statt \(R/n\) einzusetzen. Mehr Verbraucher parallel bedeuten mehr Strom, nicht weniger.
Klemmenspannung als Spannungsteiler
Die Quellenspannung teilt sich auf die beiden Reihenwiderstände auf. Ein Teil \(I R_i\) fällt im Inneren ab. Der Rest liegt als Klemmenspannung am Verbraucher. Innen- und Lastwiderstand bilden also einen Spannungsteiler:
\[U_K = I \cdot R_a = U_0 \cdot \frac{R_a}{R_a + R_i}\]
Im Zähler steht immer der Widerstand, an dem man die Spannung sucht, hier \(R_a\). Im obigen Beispiel liegt die Last bei 3 Ω. Damit ist \(U_K = 4{,}5\ \mathrm{V} \cdot 3/4{,}5 = 3\) V. Bei parallelen Verbrauchern setzt man für \(R_a\) den Ersatzwiderstand ein. Mit Amperemeter im Kreis wächst der Nenner: \(U_R = U_0 \cdot R/(R_i + R + R_A)\).
Die Klemmenspannung \(U_K = U_0 \cdot R_a/(R_a + R_i)\) solltest du sicher können. Achte darauf, dass \(R_a\) im Zähler steht und dass parallele Lasten vorher zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst werden.
Auch ein Voltmeter ist eine Last. Sein Innenwiderstand \(R_V\) ist zwar groß, aber endlich. Es zieht einen kleinen Messstrom und bildet mit \(R_i\) einen Spannungsteiler.
Das Voltmeter zeigt deshalb die Klemmenspannung unter seiner eigenen Last an. Sie ist kleiner als die Leerlaufspannung:
\[U_K = U_0 \cdot \frac{R_V}{R_i + R_V}\]
Umgestellt liefert dieselbe Beziehung den Innenwiderstand: \(R_i/R_V = (U_0 - U_K)/U_K\). Ein Beispiel: Eine Quelle mit \(U_0 = 9{,}0\) V zeigt an einem Voltmeter mit \(R_V = 1\) kΩ nur 8,0 V. Dann ist \(R_i = 1000\ \Omega \cdot 1{,}0/8{,}0 = 125\) Ω. Hier geht es um die Quelle selbst. Wie ein Voltmeter eine Messung in einer fremden Schaltung verfälscht, zeigt die Einheit zur Strom- und Spannungsmessung.
Grenzfälle und Leistungsanpassung
Die Spannungsteilerformel lässt sich für zwei Grenzfälle sofort auswerten. Ist der Lastwiderstand sehr viel größer als der Innenwiderstand (\(R_a \gg R_i\)), geht der Bruch gegen 1. Die Klemmenspannung ist dann maximal und praktisch gleich \(U_0\). Der Strom ist dafür klein. Deshalb sollen Voltmeter einen möglichst großen Innenwiderstand haben.
Sind Innen- und Lastwiderstand gleich groß (\(R_a = R_i\)), teilt sich die Spannung genau hälftig. Am Verbraucher liegt \(U_K = U_0/2\), und der Strom beträgt die Hälfte des Kurzschlussstroms. Gerade bei dieser Einstellung erhält der Verbraucher die größte Leistung. Das zeigt die Leistung am Widerstand:
\[P_a = I^2 R_a = \frac{U_0^2 \, R_a}{(R_i + R_a)^2}\]
Bei kleinem \(R_a\) fließt viel Strom, aber es fällt kaum Spannung am Verbraucher ab. Bei großem \(R_a\) ist es umgekehrt. Dazwischen liegt ein Maximum, ähnlich wie ein Rechteck mit festem Umfang die größte Fläche als Quadrat hat.
Leistungsanpassung liegt vor, wenn der Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand ist (\(R_a = R_i\)). Dann gibt die Quelle die maximale Leistung \(P_{max} = U_0^2/(4 R_i)\) an den Verbraucher ab.
Die Abbildung zeigt alle drei Größen gegen \(R_a/R_i\). Der Strom fällt mit wachsendem Lastwiderstand, die Klemmenspannung steigt gegen \(U_0\). Die Leistungskurve hat ihr Maximum bei \(R_a/R_i = 1\). Dort geht allerdings die gleiche Leistung im Innenwiderstand als Wärme verloren. Der Wirkungsgrad liegt also nur bei 50 %.
Zwei Proportionalitäten helfen beim Abschätzen. Doppelte Quellenspannung bei gleichen Widerständen ergibt doppelten Strom und doppelte Klemmenspannung. Die Leistung steigt dann auf das Vierfache, weil \(U_0\) quadratisch eingeht.
Quiz
Aussage 1
Ist der Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand, beträgt die Klemmenspannung die Hälfte der Quellenspannung.
Bei \(R_a = R_i\) teilt sich \(U_0\) hälftig auf; dies ist zugleich der Fall der Leistungsanpassung.
Aussage 2
Die größte Leistung gibt eine Quelle an den Verbraucher ab, wenn der Lastwiderstand sehr viel größer als der Innenwiderstand ist.
Bei \(R_a \gg R_i\) ist zwar die Klemmenspannung maximal, der Strom aber klein. Die maximale Leistung erhält der Verbraucher bei \(R_a = R_i\).
Aussage 3
Werden an eine Quelle mit Innenwiderstand \(R_i\) drei gleiche Widerstände \(R\) parallel angeschlossen, fließt der Strom \(I = U_0/(R_i + R/3)\).
Drei gleiche Widerstände parallel ergeben den Ersatzwiderstand \(R/3\), der mit \(R_i\) in Reihe liegt.
Aussage 4
Eine Quelle mit \(U_0 = 6\) V und \(R_i = 2\) Ω liefert an einem Lastwiderstand von 4 Ω eine Klemmenspannung von 4 V.
\(U_K = 6\ \mathrm{V} \cdot 4/(4 + 2) = 4\) V nach der Spannungsteilerregel.
Aussage 5
Ein in Reihe geschaltetes Amperemeter verändert den Strom im Lastkreis nicht, weil sein Innenwiderstand parallel zur Last liegt.
Das Amperemeter liegt in Reihe, sein Innenwiderstand \(R_A\) addiert sich zum Gesamtwiderstand und verringert den Strom.
Aussage 6
Ein Voltmeter mit endlichem Innenwiderstand zeigt an einer unbelasteten Quelle genau die Leerlaufspannung \(U_0\) an.
Das Voltmeter ist selbst eine Last und bildet mit \(R_i\) einen Spannungsteiler; es zeigt \(U_K = U_0 \cdot R_V/(R_i + R_V)\), also weniger als \(U_0\).
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