Röntgenröhre und Bremsstrahlung
Wie eine Röntgenröhre Elektronen beschleunigt, warum beim Abbremsen ein kontinuierliches Spektrum entsteht und wie die Anodenspannung die Grenzwellenlänge festlegt.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine Röntgenröhre ist evakuiert: Eine Glühkathode setzt Elektronen frei, die Anodenspannung beschleunigt sie, in der Anode entsteht beim Abbremsen Bremsstrahlung.
- Jedes Elektron trifft mit \(E_{kin} = e \cdot U_A\) auf, in eV zahlenmäßig gleich der Spannung in Volt. Anodenstrom und Heizspannung ändern nur die Zahl der Elektronen.
- Bremsstrahlung ist elektromagnetische Strahlung mit kontinuierlichem Spektrum und wird im Magnetfeld nicht abgelenkt.
- Über der Wellenlänge setzt das Spektrum bei \(\lambda_{min} > 0\) ein, steigt steil zum Maximum und fällt langsam ab. Über der Energie endet es scharf bei \(E_{max} = e \cdot U\).
- Die Grenzwellenlänge \(\lambda_{min} = hc/(eU)\) ist umgekehrt proportional zur Anodenspannung. Faustformel: \(\lambda_{min}\) in nm \(\approx 1{,}24/U\) in kV.
- Höhere Spannung verschiebt Grenze und Maximum zu kürzeren Wellenlängen und erhöht den Anteil harter Strahlung.
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Worum es geht
Eine Röntgenröhre erzeugt Röntgenstrahlung, indem sie schnelle Elektronen in einer Metallanode abbremst. Aus der angelegten Spannung folgen die Energie der Elektronen und die kürzeste Wellenlänge des Spektrums. Das braucht man für die Röntgendiagnostik ebenso wie für die Röntgenanalytik von Arzneistoffkristallen.
Aufbau der Röhre
Eine Röntgenröhre ist ein evakuierter Glaskolben mit zwei Elektroden. Sie enthält kein Füllgas, auch kein Edelgas. Die Elektronen sollen ungehindert von einer Elektrode zur anderen fliegen. Gasmoleküle würden sie abbremsen und streuen.
Die Glühkathode ist ein Wolframdraht, den ein eigener Heizkreis stark erhitzt. Bei hoher Temperatur verlassen Elektronen das Metall durch Glühemission. Gegenüber sitzt die Anode, meist aus Wolfram. Zwischen Kathode und Anode liegt eine Hochspannung von einigen zehn Kilovolt.
Die Hochspannung setzt keine Elektronen frei. Das erledigt allein die Heizung. Die Hochspannung beschleunigt die bereits freien Elektronen zur Anode und gibt ihnen die nötige kinetische Energie. In der Anode werden sie abgebremst. Nur ein kleiner Teil ihrer Energie tritt als Röntgenstrahlung aus, der Rest wird zu Wärme.
Der Anodenstrom besteht daher aus Elektronen, die aus der Kathode stammen. Anders als in einer Gasentladung entstehen keine Ionen durch Stoßionisation, denn im Vakuum gibt es kein Gas, das ionisiert werden könnte.
Energie der Elektronen
Ein Elektron mit der Elementarladung \(e\) durchläuft auf dem Weg zur Anode die Anodenspannung \(U_A\). Das elektrische Feld verrichtet dabei die Arbeit \(e \cdot U_A\). Weil das Elektron nahezu ruhend aus der Kathode startet, steckt diese Arbeit beim Aufprall vollständig als kinetische Energie im Elektron:
\[E_{kin} = e \cdot U_A\]
Dabei ist \(e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\), \(U_A\) die Anodenspannung in Volt und \(E_{kin}\) die Energie in Joule.
Bequemer ist das Elektronenvolt. Ein Elektron, das 1 V durchläuft, gewinnt 1 eV \(= 1{,}602 \cdot 10^{-19}\) J. Deshalb ist die Energie in eV zahlenmäßig gleich der Spannung in Volt. Bei 40 kV trifft jedes Elektron mit 40 keV auf. In Joule sind das \(4 \cdot 10^{4} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J} = 6{,}41 \cdot 10^{-15}\,\mathrm{J}\).
Die Zahl der Spannung übernimmt man nur in der Einheit eV. Für Joule multipliziert man mit \(1{,}602 \cdot 10^{-19}\), 40 keV sind also winzige \(6{,}41 \cdot 10^{-15}\) J.
Eine Röntgenröhre hat drei Stellgrößen. Nur eine davon legt die Energie des einzelnen Elektrons fest.
| Größe | Was sie steuert | Einfluss auf \(E_{kin}\) je Elektron |
|---|---|---|
| Heizspannung | Temperatur der Kathode, Zahl der emittierten Elektronen | keiner |
| Anodenstrom | Zahl der Elektronen pro Sekunde | keiner |
| Anodenspannung | Beschleunigung jedes einzelnen Elektrons | \(E_{kin} = e \cdot U_A\) |
Heizung und Anodenstrom bestimmen also, wie viele Elektronen ankommen, nicht wie schnell jedes einzelne ist. Man kann sich das wie Regen vorstellen: Mehr Tropfen machen keinen einzelnen Tropfen schneller.
Bremsspektrum
Trifft ein schnelles Elektron auf die Anode, gerät es in das elektrische Feld der positiven Atomkerne. Es wird abgelenkt und verlangsamt. Eine abgebremste Ladung strahlt elektromagnetische Wellen ab.
Elektromagnetische Strahlung, die ein geladenes Teilchen beim Abbremsen im Feld eines Atomkerns aussendet. Die Energie des Photons entspricht dem Energieverlust des Elektrons.
Wie nah ein Elektron einem Kern kommt, ist Zufall. Ein naher Vorbeiflug kostet viel Energie, ein ferner wenig. Viele Elektronen geben ihre Energie in mehreren Schritten ab. Deshalb kommt jede Photonenenergie zwischen null und der vollen Elektronenenergie vor. Das Spektrum ist kontinuierlich, wie andere kontinuierliche Spektren auch.
Röntgenstrahlung besteht aus Photonen, also aus elektromagnetischen Wellen wie Licht, nur viel kurzwelliger. Photonen tragen keine Ladung. Anders als der Elektronenstrahl in der Röhre werden Röntgenstrahlen deshalb im Magnetfeld nicht abgelenkt.
Das Spektrum im Diagramm
Trägt man die Intensität über der Wellenlänge auf, zeigt das Bremsspektrum eine typische Form:
- Unterhalb der Grenzwellenlänge \(\lambda_{min}\) ist die Intensität null. \(\lambda_{min}\) ist stets größer als null.
- Ab \(\lambda_{min}\) steigt die Intensität steil zu einem Maximum an.
- Zu großen Wellenlängen fällt sie langsam in einem langen Ausläufer ab.
- Auf dem Kontinuum sitzen schmale Spitzen der charakteristischen Strahlung, die vom Anodenmaterial abhängen.
Über der Photonenenergie aufgetragen sieht dieselbe Strahlung anders aus. Die Kurve fällt zu hohen Energien hin ab und endet scharf bei \(E_{max} = e \cdot U_A\). Die Grenze liegt im Wellenlängendiagramm also links, im Energiediagramm rechts. Der Grund ist \(E = h\nu = hc/\lambda\): Große Energie gehört zu kleiner Wellenlänge.
Im Diagramm erkennt man die Bremsstrahlung am breiten Untergrund, der an einer festen Stelle abrupt einsetzt. Die schmalen Linien darauf gehören zur charakteristischen Strahlung.
Grenzwellenlänge
Die kürzeste Wellenlänge entsteht, wenn ein Elektron seine gesamte kinetische Energie in einem einzigen Prozess an ein einziges Photon abgibt. Mehr als \(e \cdot U\) kann kein Photon erhalten. Die Quantenenergie der Bremsstrahlung ist also höchstens gleich der kinetischen Energie der auftreffenden Elektronen. Setzt man Photonenenergie und Elektronenenergie gleich, folgt:
\[\frac{h \cdot c}{\lambda_{min}} = e \cdot U\]
\[\lambda_{min} = \frac{h \cdot c}{e \cdot U}\]
Hier ist \(h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\) J·s das Planck’sche Wirkungsquantum, \(c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\) m/s die Lichtgeschwindigkeit, \(e\) die Elementarladung und \(U\) die Anodenspannung in Volt. \(\lambda_{min}\) ergibt sich in Metern.
Im Zähler stehen nur Naturkonstanten. Damit ist die Grenzwellenlänge umgekehrt proportional zur Anodenspannung: \(\lambda_{min} \propto 1/U\). Höhere Spannung verkleinert sie. Eine kleinere Spannung verschiebt die Grenze zu größeren Wellenlängen.
Die Beziehung \(\lambda_{min} = hc/(eU)\) ist ein Examensklassiker. Die Grenze hängt allein von der Anodenspannung ab: Doppelte Spannung, halbe Grenzwellenlänge. Ein höherer Anodenstrom steigert nur die Intensität, die Grenze bleibt an derselben Stelle.
Harte und weiche Strahlung
Harte Röntgenstrahlung ist kurzwellig, energiereich und durchdringt Materie gut. Weiche Strahlung ist langwelliger und wird leichter absorbiert. Steigt die Spannung, rückt nicht nur die Grenze nach links. Auch das Maximum wandert zu kürzeren Wellenlängen, und das Spektrum wird insgesamt höher. Der Anteil harter Strahlung nimmt zu. Bei 25, 50 und 100 kV liegt \(\lambda_{min}\) bei 0,050, 0,025 und 0,012 nm.
Rechnen mit der Grenzwellenlänge
Für schnelle Rechnungen fasst man \(hc\) in praktischen Einheiten zusammen.
\(\lambda_{min} \cdot E_{max} \approx 1{,}24\,\mathrm{nm \cdot keV}\), oft gerundet auf 1,2. Mit \(U\) in kV gilt also: \(\lambda_{min}\) in nm \(\approx 1{,}24 / U\).
Beispiel für eine Röhre mit 80 kV:
- Elektronenenergie: \(e \cdot U = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C} \cdot 8 \cdot 10^{4}\,\mathrm{V} = 1{,}282 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{J}\).
- Zähler: \(h \cdot c = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\,s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s} = 1{,}986 \cdot 10^{-25}\,\mathrm{J\,m}\).
- Teilen: \(\lambda_{min} = 1{,}986 \cdot 10^{-25} / 1{,}282 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{m} = 1{,}55 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{m} = 15{,}5\,\mathrm{pm}\).
- Kontrolle mit der Faustformel: \(1{,}24 / 80\,\mathrm{nm} = 0{,}0155\,\mathrm{nm}\), dasselbe Ergebnis.
Ist eine Grenzwellenlänge schon bekannt, braucht man keine Konstanten. Aus \(\lambda \propto 1/U\) folgt \(\lambda_2 = \lambda_1 \cdot U_1 / U_2\). Eine Röhre liefert bei 40 kV etwa 31 pm. Erhöht man auf 120 kV, steigt die Spannung um den Faktor 3. Die Grenzwellenlänge sinkt auf ein Drittel, also auf rund 10 pm.
Quiz
Aussage 1
Der Anodenstrom einer Röntgenröhre wird überwiegend von Ionen getragen, die durch Stoßionisation einer Edelgasfüllung entstehen.
Die Röhre ist evakuiert. Der Strom besteht aus Elektronen, die die Glühkathode durch Glühemission freisetzt.
Aussage 2
Bei einer Anodenspannung von 30 kV treffen die Elektronen mit einer kinetischen Energie von 30 keV auf die Anode.
In eV entspricht die Energie zahlenmäßig der durchlaufenen Spannung in Volt. In Joule wären es \(4{,}8 \cdot 10^{-15}\) J.
Aussage 3
Mit steigender Anodenspannung nimmt der Anteil harter, kurzwelliger Röntgenstrahlung zu.
Grenze und Maximum des Spektrums wandern zu kürzeren Wellenlängen, das Spektrum wird energiereicher.
Aussage 4
Verdoppelt man bei gleicher Anodenspannung den Anodenstrom, trifft jedes Elektron mit doppelter kinetischer Energie auf die Anode.
Der Anodenstrom bestimmt nur die Zahl der Elektronen pro Sekunde. Die Energie je Elektron hängt allein von der Anodenspannung ab: \(E_{kin} = e \cdot U_A\).
Aussage 5
Senkt man die Anodenspannung, verschiebt sich die kurzwellige Grenze des Bremsspektrums zu kleineren Wellenlängen.
Kleinere Spannung bedeutet kleinere Elektronenenergie und damit eine größere Grenzwellenlänge.
Aussage 6
Trägt man die Intensität der Bremsstrahlung über der Photonenenergie auf, endet das Spektrum scharf bei \(E_{max} = e \cdot U\).
Kein Photon kann mehr Energie tragen, als ein Elektron aus der Anodenspannung gewonnen hat.
Aussage 7
Röntgenstrahlen werden in einem Magnetfeld abgelenkt, weil sie aus abgebremsten Elektronen bestehen.
Röntgenstrahlen sind ungeladene Photonen, also elektromagnetische Wellen, und werden im Magnetfeld nicht abgelenkt.
Aussage 8
Wird die Anodenspannung einer Röntgenröhre verdoppelt, halbiert sich die Grenzwellenlänge des Bremsspektrums.
Aus \(\lambda_{min} = hc/(eU)\) folgt \(\lambda_{min} \propto 1/U\).
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