Kubische Gitter und dichteste Kugelpackungen
Wie man kubische Gitter beschreibt, Atome, Masse und Volumen einer Einheitszelle berechnet und die beiden dichtesten Kugelpackungen unterscheidet.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Raumgitter ist die periodische Anordnung der Bausteine eines Kristalls. Es wird durch eine Einheitszelle mit den Gitterkonstanten \(a\), \(b\), \(c\) und den Winkeln \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) beschrieben.
- Im kubischen System gilt \(a = b = c\) und \(\alpha = \beta = \gamma = 90°\). \(a = b \neq c\) mit \(\gamma = 120°\) ist hexagonal.
- Ein Eckatom zählt zu einem Achtel, ein Flächenatom zur Hälfte. Kubisch-raumzentriert enthält 2, kubisch-flächenzentriert 4 Atome.
- Das Zellvolumen folgt aus \(V = \frac{n \cdot M}{N_A \cdot \rho}\), die Zellmasse aus \(n \cdot M/N_A\).
- Im NaCl-Gitter ist jedes \(\ce{Na+}\) oktaedrisch von 6 \(\ce{Cl-}\) umgeben. Der kürzeste Abstand zweier \(\ce{Na+}\) ist um \(\sqrt{2}\) größer als der Abstand \(\ce{Na+}\) zu \(\ce{Cl-}\).
- Hexagonal (ABAB) und kubisch (ABC) dichteste Packung haben beide Koordinationszahl 12 und dieselbe Packungsdichte. Nur die kubische entspricht dem kubisch-flächenzentrierten Gitter.
Dieses Kapitel ist für Supporter
Relaxed ins Stex ist ein kleines, unabhängiges Projekt. Mit einem Zugang unterstützt du uns und schaltest das ganze 1. Staatsexamen frei. ❤️
Bitte bestätige zuerst deine E-Mail-Adresse
Wir haben dir einen Link geschickt. Erst mit bestätigter E-Mail-Adresse kannst du einen Zugang freischalten und nutzen.
Ordnung im Festkörper
Kristalline Feststoffe bestehen aus Bausteinen, die sich in einem festen Muster wiederholen. Wer dieses Muster mit wenigen Größen beschreibt, kann Atomzahl, Masse und Volumen einer Gitterzelle berechnen. Das ist die Grundlage, um Salze wie Natriumchlorid oder Metallgitter zu verstehen.
Raumgitter und Einheitszelle
In einem Kristall wiederholen sich Atome, Ionen oder Moleküle regelmäßig in allen drei Raumrichtungen. Diese periodische Anordnung heißt Raumgitter. Man muss sie nicht als Ganzes beschreiben. Es genügt ein kleiner Grundbaustein, der sich immer wieder aneinanderreiht.
Die Einheitszelle ist ein Parallelepiped, aus dem sich der ganze Kristall durch lückenlose Verschiebung in drei Raumrichtungen aufbauen lässt. Sie ist durch drei Kantenlängen \(a\), \(b\), \(c\) und die drei Winkel \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) zwischen den Kanten festgelegt.
Die Kantenlängen heißen Gitterkonstanten. Sie liegen meist bei einigen hundert Pikometern. Man kann sich die Einheitszelle wie einen Ziegelstein vorstellen, aus dem eine Mauer ohne Fugen entsteht.
Die Bausteine sitzen dabei nicht starr. Sie schwingen um ihre Ruhelagen, die Gitterpunkte. Mit steigender Temperatur wächst die Schwingungsweite. Wird sie zu groß, bricht die Ordnung zusammen und der Kristall schmilzt.
Kubisches Kristallsystem
Je nach Kantenlängen und Winkeln der Einheitszelle unterscheidet man sieben Kristallsysteme. Das kubische System ist das symmetrischste. Hier sind alle drei Gitterkonstanten gleich, \(a = b = c\). Alle Winkel sind rechte Winkel, \(\alpha = \beta = \gamma = 90°\). Die Einheitszelle ist also ein Würfel.
Schon eine Abweichung führt aus dem kubischen System heraus. Gilt \(a = b \neq c\) bei lauter rechten Winkeln, ist das System tetragonal. Kommt dazu \(\alpha = \beta = 90°\) und \(\gamma = 120°\), liegt das hexagonale System vor.
Innerhalb des kubischen Systems gibt es drei Gittertypen. Im kubisch-primitiven Gitter sitzen Atome nur auf den Würfelecken, etwa beim Polonium. Das kubisch-raumzentrierte Gitter hat zusätzlich ein Atom in der Würfelmitte, so bei \(\alpha\)-Eisen, Natrium und Kalium. Das kubisch-flächenzentrierte Gitter trägt zusätzlich Atome auf allen sechs Flächenmitten, so bei Kupfer, Silber und Aluminium.
Inhalt der Einheitszelle
Ein Atom auf einer Würfelecke gehört nicht allein zu einer Zelle. An jeder Ecke stoßen acht Würfel zusammen. Jede Zelle erhält daher nur ein Achtel des Eckatoms. Ein Atom auf einer Fläche teilen sich zwei Zellen. Ein Atom im Zentrum gehört ganz zur Zelle.
Mit diesen Anteilen zählt man die Atome jeder kubischen Zelle:
| Gittertyp | Rechnung | Atome pro Zelle |
|---|---|---|
| kubisch-primitiv | \(8 \cdot \frac{1}{8}\) | 1 |
| kubisch-raumzentriert | \(8 \cdot \frac{1}{8} + 1\) | 2 |
| kubisch-flächenzentriert | \(8 \cdot \frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{2}\) | 4 |
Aus der Atomzahl \(n\) folgt die Masse der Zelle. Ein einzelnes Atom wiegt \(M/N_A\), also molare Masse geteilt durch die Avogadro-Konstante. Die Zelle wiegt damit \(m = n \cdot M/N_A\). Teilt man durch die Dichte \(\rho\), erhält man das Zellvolumen:
\[V = \frac{n \cdot M}{N_A \cdot \rho}\]
Hier ist \(n\) die Atomzahl pro Zelle, \(M\) die molare Masse in g/mol, \(N_A = 6{,}022 \cdot 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}\) und \(\rho\) die Dichte in g/cm³. \(V\) ergibt sich in cm³.
- Atomzahl: \(\alpha\)-Eisen ist kubisch-raumzentriert, also \(n = 2\).
- Zellmasse: \(m = 2 \cdot 55{,}85\ \mathrm{g/mol} \,/\, 6{,}022 \cdot 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}} = 1{,}855 \cdot 10^{-22}\ \mathrm{g}\).
- Zellvolumen: Mit \(\rho = 7{,}87\ \mathrm{g/cm^3}\) folgt \(V = 2{,}36 \cdot 10^{-23}\ \mathrm{cm^3}\).
- Gitterkonstante: \(a = \sqrt[3]{V} = 2{,}87 \cdot 10^{-8}\ \mathrm{cm} = 287\ \mathrm{pm}\).
Kochsalzgitter
Im Kochsalzgitter bilden \(\ce{Na+}\) und \(\ce{Cl-}\) je ein kubisch-flächenzentriertes Teilgitter. Beide sind um eine halbe Kantenlänge gegeneinander verschoben. Entlang jeder Würfelkante wechseln sich die beiden Ionensorten daher ab.
Wie viele nächste Nachbarn ein Baustein hat, gibt die Koordinationszahl an. Verbindet man die Nachbarn gedanklich, entsteht das Koordinationspolyeder. Jedes \(\ce{Na+}\) ist von 6 \(\ce{Cl-}\) umgeben: je eines oben, unten, vorn, hinten, links und rechts. Diese sechs Ionen bilden ein Oktaeder. Umgekehrt ist auch jedes \(\ce{Cl-}\) oktaedrisch von sechs \(\ce{Na+}\) umgeben.
Die Abstände folgen direkt aus der Würfelgeometrie:
- Ungleichnamige Nachbarn: \(\ce{Na+}\) und \(\ce{Cl-}\) liegen auf derselben Kante im Abstand \(a/2\).
- Gleichnamige Nachbarn: Das nächste \(\ce{Na+}\) sitzt auf einer Flächenmitte, wenn das erste auf einer Ecke liegt. Ihr Abstand ist die halbe Flächendiagonale.
- Flächendiagonale: Nach Pythagoras gilt \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\), die Hälfte ist \(a\sqrt{2}/2\).
- Verhältnis: \(\frac{a\sqrt{2}/2}{a/2} = \sqrt{2}\). Der kürzeste Abstand zweier \(\ce{Na+}\) ist also um den Faktor \(\sqrt{2}\) größer.
Mit \(a = 564\ \mathrm{pm}\) für NaCl liegen \(\ce{Na+}\) und \(\ce{Cl-}\) 282 pm auseinander, zwei \(\ce{Na+}\) dagegen etwa 399 pm.
Dichteste Kugelpackungen
Gleich große Kugeln füllen den Raum am besten in einer dichtesten Kugelpackung. In jeder Lage berührt eine Kugel sechs Nachbarn. Dazu kommen drei Kugeln in der Mulde darüber und drei darunter. Jede Kugel hat damit die Koordinationszahl 12. Zum Vergleich: Im kubisch-raumzentrierten Gitter sind es nur 8.
Die erste Lage heißt A. Die zweite Lage B legt sich in jede zweite Mulde von A. Für die dritte Lage gibt es zwei Möglichkeiten. Liegt sie wieder genau über A, entsteht die Folge ABAB und damit die hexagonal dichteste Packung, etwa bei Magnesium und Zink. Besetzt sie die bisher freien Positionen C, entsteht ABCABC, die kubisch dichteste Packung, etwa bei Kupfer und Aluminium.
In der Draufsicht erkennt man den Typ an den Lücken. Bei ABAB bleiben die C-Positionen in allen Lagen frei, man blickt durch durchgehende Kanäle. Bei ABC wird jeder Zwischenraum einer Lage in der nächsten oder übernächsten Lage von einer Kugel abgedeckt. Die Draufsicht zeigt dann keine Durchsicht mehr.
Beide Packungen haben trotz verschiedener Stapelfolge die gleiche Packungsdichte von rund 74 %. Sie unterscheiden sich im Kristallsystem. Die kubisch dichteste Packung gehört zum kubischen System und entspricht dem kubisch-flächenzentrierten Gitter. Die Stapelrichtung ist dabei die Raumdiagonale des Würfels. Dasselbe Raumgitter beschreibt auch den Diamanten. Die hexagonal dichteste Packung gehört dagegen zum hexagonalen System und lässt sich durch kein kubisches Gitter beschreiben.
Zwei Lagen im Wechsel (ABAB) sind hexagonal, drei Lagen im Wechsel (ABC) sind kubisch-flächenzentriert. Koordinationszahl 12 und 74 % Raumfüllung gelten für beide.
Quiz
Aussage 1
Ein Kristallsystem mit \(a = b \neq c\), \(\alpha = \beta = 90°\) und \(\gamma = 120°\) gehört zum kubischen System.
Diese Parameter beschreiben das hexagonale System. Kubisch ist ein System nur mit \(a = b = c\) und drei rechten Winkeln.
Aussage 2
Bei gleicher Atomzahl und molarer Masse hat ein Stoff mit höherer Dichte das größere Volumen der Einheitszelle.
Die Dichte steht im Nenner von \(V = \frac{n \cdot M}{N_A \cdot \rho}\). Höhere Dichte bedeutet ein kleineres Zellvolumen.
Aussage 3
Im Kochsalzgitter ist jedes \(\ce{Na+}\) tetraedrisch von vier \(\ce{Cl-}\) umgeben.
Jedes \(\ce{Na+}\) ist oktaedrisch von sechs \(\ce{Cl-}\) umgeben, die Koordinationszahl ist 6.
Aussage 4
Die Stapelfolge ABC kennzeichnet die kubisch dichteste Kugelpackung, in der jede Kugel wie in der hexagonalen Packung zwölf nächste Nachbarn hat.
ABC ist kubisch dichteste Packung (kubisch-flächenzentriert), ABAB hexagonal. Beide haben Koordinationszahl 12.
Aussage 5
Eine kubisch-raumzentrierte Einheitszelle enthält zwei Atome, weil die acht Eckatome zusammen genau ein Atom beitragen.
Jedes Eckatom zählt zu einem Achtel: \(8 \cdot \frac{1}{8} + 1 = 2\).
Aussage 6
Im NaCl-Gitter ist der kürzeste Abstand zwischen zwei \(\ce{Na+}\) um den Faktor \(\sqrt{2}\) größer als der Abstand eines \(\ce{Na+}\) zum benachbarten \(\ce{Cl-}\).
\(\ce{Na+}\) zu \(\ce{Cl-}\) beträgt \(a/2\), zwei \(\ce{Na+}\) liegen eine halbe Flächendiagonale \(a\sqrt{2}/2\) auseinander.
Fehler entdeckt oder eine Idee? Wir verbessern die Inhalte laufend. Melde es uns gerne über dieses Formular ❤️
Teile der Inhalte wurden mithilfe von KI-Systemen erstellt und werden fortlaufend redaktionell geprüft. Trotz Sorgfalt können Fehler enthalten sein. Wichtige Informationen bitte anhand offizieller Quellen prüfen. Relaxed ins Stex ist ein unabhängiges Angebot und steht in keiner Kooperation mit dem IMPP. Das Angebot ist weder vom IMPP autorisiert noch mit diesem verbunden.