Rechnen mit Halbwertszeiten und Zerfallskurven
Wie man mit der Halbierungsregel Restaktivitäten, Zerfallszeiten und Halbwertszeiten berechnet und Zerfallskurven in linearer und halblogarithmischer Auftragung abliest.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Halbierungsregel beschreibt den radioaktiven Zerfall: Nach jeder Halbwertszeit ist der aktuelle Rest von Aktivität, Masse oder Kernanzahl halbiert, \(A = A_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}\).
- Nach \(n\) Halbwertszeiten bleibt \((1/2)^n\): 25 % nach zwei, 12,5 % nach drei, rund 10 % nach 3,3 Halbwertszeiten. Der Wert null wird nie erreicht.
- Rechenweg: zuerst \(n = t/T_{1/2}\) bestimmen, \(t\) ab dem Zeitpunkt von \(A_0\) zählen. Die Zeit bis zu einem Bruchteil ist \(t = T_{1/2} \cdot \log_2(A_0/A)\).
- Langsamer Abfall bedeutet große Halbwertszeit. In der halblogarithmischen Auftragung gehört die steilere Gerade zur kürzeren Halbwertszeit.
- Eine Gerade entsteht nur bei logarithmischer Aktivitätsachse und linearer Zeitachse, bei \(\ln A\) gegen \(t\) mit der Steigung \(-\lambda\). Doppelt linear und doppelt logarithmisch bleibt die Kurve gekrümmt.
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Worum es geht
Radioaktive Präparate verlieren in festen Zeitabständen jeweils die Hälfte ihrer Aktivität. Mit dieser einen Regel berechnet man, wie viel von einem Radiopharmakon nach dem Transport noch übrig ist, wann eine Probe abgeklungen ist und welche Halbwertszeit ein unbekanntes Nuklid hat.
Halbierungsregel
Die Halbwertszeit \(T_{1/2}\) ist die Zeit, in der die Hälfte der vorhandenen Kerne zerfällt. Wie sie mit der Zerfallskonstante \(\lambda\) zusammenhängt, steht unter Aktivität und Zerfallsgesetz. Zum Rechnen ist die Form mit der Zweierpotenz am handlichsten.
\[A(t) = A_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} = A_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(A(t)\) | Aktivität zum Zeitpunkt \(t\) | Bq |
| \(A_0\) | Anfangsaktivität bei \(t = 0\) | Bq |
| \(t\) | verstrichene Zeit | s, h, d, a |
| \(T_{1/2}\) | Halbwertszeit | dieselbe Einheit wie \(t\) |
| \(n = t/T_{1/2}\) | Zahl der Halbwertszeiten | dimensionslos |
Dieselbe Gleichung gilt für die Masse \(m\) und die Kernanzahl \(N\) eines Nuklids. Die Aktivität ist nämlich der Zahl der noch vorhandenen Kerne proportional.
Was nach n Halbwertszeiten bleibt
In jeder Halbwertszeit halbiert sich der aktuelle Rest, nicht die Anfangsmenge. Nach einer Halbwertszeit bleibt die Hälfte, nach zwei ein Viertel (25 %), nach drei ein Achtel (12,5 %), nach vier ein Sechzehntel (rund 6 %). Allgemein bleibt nach \(n\) Halbwertszeiten der Anteil \((1/2)^n = 1/2^n\).
Man kann sich das wie einen Kuchen vorstellen, von dem jeder Gast genau die Hälfte des Rests nimmt. Der Rest wird immer kleiner, verschwindet aber nie ganz. Die Aktivität nähert sich null also nur asymptotisch und erreicht den Wert null nie. Nach zwei Halbwertszeiten ist deshalb noch ein Viertel der Kerne vorhanden.
Zwei Werte helfen beim Abschätzen. Nach etwa 3,3 Halbwertszeiten ist die Aktivität auf 10 % gesunken, denn \(2^{3{,}3} \approx 10\). Nach zehn Halbwertszeiten bleibt rund ein Tausendstel, weil \(2^{10} = 1024\).
Halbwertszeit und Abfallgeschwindigkeit
Je langsamer die Aktivität eines Präparats abfällt, desto größer ist seine Halbwertszeit. \(\ce{^{99m}Tc}\) mit 6 Stunden ist nach gut einem Tag weitgehend abgeklungen. \(\ce{^{131}I}\) mit rund 8 Tagen braucht dafür Wochen.
Die Halbierungsregel ist ein Examensklassiker: Nach \(n\) Halbwertszeiten bleibt \((1/2)^n\), also 25 % nach zwei, 12,5 % nach drei und rund 10 % nach 3,3 Halbwertszeiten. Achte darauf, dass sich jeweils der Rest halbiert. Nach zwei Halbwertszeiten ist darum nicht alles zerfallen, sondern ein Viertel übrig.
Rechenaufgaben
Alle Aufgaben laufen auf dieselbe Gleichung hinaus. Gesucht ist der Rest, die Zeit oder die Halbwertszeit. Diese Rechnungen gehören zum Pflichtprogramm im Examen: Bestimme immer zuerst die Zahl der Halbwertszeiten \(n = t/T_{1/2}\) und arbeite dann mit \((1/2)^n\).
Restaktivität und Restmasse
Ist \(n\) ganzzahlig, rechnet man im Kopf. Sonst liefert der Taschenrechner \(2^{-n}\). Ein Beispiel: Ein \(\ce{^{99m}Tc}\)-Präparat mit \(T_{1/2}\) = 6 h hat bei der Kalibrierung 800 MBq. Wie hoch ist die Aktivität 9 h später?
- Zahl der Halbwertszeiten: \(n = 9/6 = 1{,}5\).
- Restanteil: \(2^{-1{,}5} \approx 0{,}354\), also rund 35 %.
- Restaktivität: \(A \approx 800 \cdot 0{,}354 \approx 283\) MBq.
- Plausibilität: Der Wert liegt zwischen 400 MBq nach einer und 200 MBq nach zwei Halbwertszeiten.
Für die Masse rechnet man genauso. Von 40 mg eines Nuklids mit \(T_{1/2}\) = 5 d bleiben nach 15 d drei Halbierungen später noch 40 mg / 8 = 5 mg.
Zeit bis zu einem Bruchteil
Nach \(t\) aufgelöst lautet das Gesetz:
\[t = T_{1/2} \cdot \log_2\frac{A_0}{A}\]
Den Zweierlogarithmus erhält man als \(\log_2 x = \ln x / \ln 2\). Für \(\ce{^{99m}Tc}\) dauert der Abfall auf 10 % also \(6\ \mathrm{h} \cdot \log_2 10 \approx 6\ \mathrm{h} \cdot 3{,}32 \approx 20\) h. Bei Zweierpotenzen geht es ohne Rechner: Für ein Zweiunddreißigstel (\(2^5\)) braucht man fünf Halbwertszeiten.
Halbwertszeit aus dem verbliebenen Anteil
Umgekehrt liefert der gemessene Restanteil die Halbwertszeit: \(T_{1/2} = t / \log_2(A_0/A)\). Fällt die Aktivität einer Probe in 24 Tagen von 120 kBq auf 15 kBq, ist sie auf ein Achtel gesunken. Das sind drei Halbwertszeiten, also \(T_{1/2}\) = 8 d. Bis 1,875 kBq vergehen dann weitere drei Halbwertszeiten, also 24 Tage, gezählt ab der zweiten Messung.
Die Zahl der Halbwertszeiten ist \(n = t/T_{1/2}\), nicht der Kehrwert, und beide Zeiten stehen in derselben Einheit. Die Zeit \(t\) zählt ab dem Zeitpunkt, für den \(A_0\) gilt, etwa ab Kalibrierung oder Einsatzbeginn. Ist der zerfallene Anteil genannt, rechne zuerst den Rest aus: 75 % zerfallen heißt 25 % übrig.
Zerfallskurven
Wie die Abnahme im Diagramm aussieht, hängt von der Teilung der Achsen ab. In linearer Auftragung ergibt \(A\) gegen \(t\) eine fallende, gekrümmte Kurve. Sie ist anfangs steil, wird immer flacher und nähert sich der Zeitachse, ohne sie zu erreichen.
Halbwertszeit aus der linearen Kurve
Man liest \(A_0\) bei \(t = 0\) ab und sucht den Zeitpunkt, an dem die Kurve \(A_0/2\) erreicht. Die Zeit bis dahin ist die Halbwertszeit. Von \(A_0/2\) bis \(A_0/4\) vergeht dieselbe Zeit, ebenso bis \(A_0/8\). Gleich lange Abschnitte für jede Halbierung kennzeichnen den exponentiellen Zerfall.
Die halblogarithmische Darstellung
Gekrümmte Kurven lassen sich schlecht vergleichen. Deshalb streckt man die Aktivitätsachse logarithmisch.
Diagramm mit linear geteilter Zeitachse und logarithmisch geteilter Größenachse, auf der gleiche Abstände gleiche Faktoren bedeuten. Jede exponentielle Abnahme erscheint darin als fallende Gerade.
Der Grund steckt im logarithmierten Zerfallsgesetz. Es hat die Form einer Geradengleichung:
\[\ln A = \ln A_0 - \lambda t\]
Trägt man \(\ln A\) gegen \(t\) auf, entsteht eine fallende Gerade mit der Steigung \(-\lambda\) und dem Achsenabschnitt \(\ln A_0\). Wegen \(\lambda = \ln 2 / T_{1/2}\) bestimmt die Halbwertszeit die Steigung. Je kürzer die Halbwertszeit, desto steiler die Gerade. Mit dem dekadischen Logarithmus ändert sich nur der Zahlenwert der Steigung um den Faktor \(1/\ln 10\). Wie logarithmische Achsen allgemein aufgebaut sind, erklärt Exponentialfunktionen im halblogarithmischen Diagramm.
Mehrere Zerfallskurven vergleicht man so:
- Der Wert bei \(t = 0\) ist die Anfangsaktivität \(A_0\).
- Die steilere Gerade gehört zum Nuklid mit größerem \(\lambda\) und kürzerer Halbwertszeit.
- Parallele Geraden bedeuten gleiche Halbwertszeit, auch bei verschiedener Anfangsaktivität.
- Zum Ablesen von \(T_{1/2}\) geht man von einem beliebigen Punkt auf den halben Wert. Auf der logarithmischen Achse ist das immer derselbe senkrechte Abstand.
Welche Auftragung eine Gerade liefert
Das wird im Examen gerne gefragt: Eine Gerade entsteht nur bei logarithmischer Aktivitätsachse und linearer Zeitachse. In doppelt linearer Auftragung bleibt die Kurve gekrümmt. Auch die doppelt logarithmische Auftragung ergibt eine Kurve, denn sie macht nur Potenzfunktionen zu Geraden, wie im doppelt-logarithmischen Diagramm gezeigt. Das gilt für \(A\), \(N\) und \(A/A_0\) gleichermaßen.
Quiz
Aussage 1
Im halblogarithmischen Diagramm gehört von zwei Zerfallsgeraden die steilere zum Nuklid mit der kürzeren Halbwertszeit.
Die Steigung ist \(-\lambda = -\ln 2 / T_{1/2}\). Kleines \(T_{1/2}\) bedeutet großes \(\lambda\) und damit eine steilere Gerade.
Aussage 2
Trägt man den Logarithmus der Aktivität gegen den Logarithmus der Zeit auf, erscheint der radioaktive Zerfall als Gerade.
Doppelt logarithmisch bleibt die Kurve gekrümmt. Eine Gerade entsteht nur bei logarithmischer Aktivitätsachse und linearer Zeitachse.
Aussage 3
Um auf 10 % ihres Anfangswerts zu sinken, braucht die Aktivität eines Nuklids etwa zehn Halbwertszeiten.
Es sind nur etwa 3,3 Halbwertszeiten, weil \(2^{3{,}3} \approx 10\). Nach zehn Halbwertszeiten bleibt rund ein Tausendstel.
Aussage 4
Ist die Aktivität einer Probe nach 30 Stunden auf 12,5 % gesunken, beträgt die Halbwertszeit 10 Stunden.
12,5 % sind \((1/2)^3\), also drei Halbwertszeiten in 30 h. Daraus folgt \(T_{1/2}\) = 10 h.
Aussage 5
Nach drei Halbwertszeiten sind noch 12,5 % der Anfangsaktivität eines Radionuklids vorhanden.
Dreimal halbieren ergibt \((1/2)^3 = 1/8 = 12{,}5\) %.
Aussage 6
Fällt die Aktivität eines Präparats langsamer ab als die eines anderen, hat es die kürzere Halbwertszeit.
Umgekehrt: Je langsamer der Abfall, desto größer die Halbwertszeit.
Aussage 7
Von 40 mg eines Radionuklids mit einer Halbwertszeit von 8 Tagen sind nach 16 Tagen noch 10 mg übrig.
16 d entsprechen zwei Halbwertszeiten. Es bleibt ein Viertel, also 10 mg.
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