Atombau und Bohr’sches Atommodell
Wie ein Atom aus Kern und Hülle aufgebaut ist, wie groß es ist und wie das Bohr’sche Modell die Elektronenbahnen mit Kräften, Energien und Quantenzahlen beschreibt.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Atom besteht aus einem positiv geladenen, schweren Kern und einer negativ geladenen Elektronenhülle; im neutralen Atom sind beide Ladungsbeträge gleich.
- Im neutralen Atom ist die Elektronenzahl gleich der Ordnungszahl (Protonenzahl); fast die gesamte Masse sitzt im Kern.
- Ein Atom misst etwa 0,1 nm, der Kern ist rund \(10^5\)-mal kleiner.
- Bohr: Elektronen kreisen auf stationären Bahnen mit gequanteltem Bahndrehimpuls und strahlen dort trotz Beschleunigung nicht; die Coulomb-Kraft hält der Fliehkraft das Gleichgewicht, die Gravitation wird vernachlässigt.
- Die Energie steigt mit dem Kernabstand; ein Sprung vom Grundzustand auf eine äußere Bahn erfordert umso mehr Energie \(W = h \cdot \nu\), je weiter außen die Zielbahn liegt.
- Nach dem Pauli-Prinzip unterscheiden sich zwei Elektronen in mindestens einer Quantenzahl; eine Schale fasst höchstens \(2n^2\) Elektronen, Edelgase haben eine voll besetzte Außenschale.
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Worum es geht
Jedes Atom besteht aus einem winzigen, schweren Kern und einer ausgedehnten, leichten Elektronenhülle. Das Bohr’sche Modell erklärt, warum diese Hülle stabil ist und nur bestimmte Energien annimmt. Darauf bauen Spektroskopie, Röntgenstrahlung und das Verständnis chemischer Bindung auf.
Kern und Hülle
Ein Atom besteht aus dem Atomkern und der Atomhülle. Der Kern enthält die Protonen und ist deshalb positiv geladen. Die Hülle besteht aus Elektronen und ist negativ geladen. Wie Protonen und Neutronen den Kern bilden, zeigt die Seite zu Nukleonen und Massenzahl.
Im neutralen Atom gleichen sich die Ladungen genau aus. Kern und Hülle tragen Ladungen gleichen Betrags. Trennt man Elektronen ab, entsteht ein positiv geladenes Ion:
\[\ce{Na -> Na+ + e-}\]
Die Ordnungszahl \(Z\) ist die Zahl der Protonen im Kern. Sie legt das Element und seinen Platz im Periodensystem fest. Im neutralen Atom ist die Elektronenzahl gleich \(Z\). Die Neutronen zählen dabei nicht mit. Steigt \(Z\) um 1, steigt auch die Elektronenzahl um 1: Kohlenstoff (\(Z = 6\)) hat sechs Elektronen, Stickstoff (\(Z = 7\)) sieben.
Die Masse ist dagegen sehr ungleich verteilt. Ein Proton ist rund 1836-mal schwerer als ein Elektron. Deshalb steckt nahezu die gesamte Atommasse im Kern. Die Hülle trägt weniger als ein Promille bei.
Größenordnungen
Ein Heliumatom hat einen Radius in der Größenordnung von 0,1 nm, also \(10^{-10}\) m. Ein Atomkern oder ein einzelnes Proton misst dagegen nur etwa \(10^{-15}\) m. Der Kernradius ist damit rund \(10^5\)-mal kleiner als der Atomradius. Die 0,1 nm beschreiben also das ganze Atom, nicht das Proton.
Wäre der Kern ein Stecknadelkopf von 1 mm, reichte die Hülle bis an den Rand eines Fußballfeldes. Ein Atom ist demnach fast leerer Raum. Im winzigen Kern sitzt aber fast die ganze Masse.
Bohr’sche Postulate
Nach klassischer Physik dürfte ein Atom nicht stabil sein. Ein kreisendes Elektron wird ständig zum Kern hin beschleunigt. Eine beschleunigte Ladung strahlt Energie ab. Das Elektron müsste also spiralförmig in den Kern stürzen. Niels Bohr löste das Problem 1913 mit Forderungen, die er nicht herleitete, sondern als Postulate setzte:
- Das Elektron umläuft den Kern auf Kreisbahnen, aber nur auf bestimmten, erlaubten Bahnen.
- Erlaubt sind die Bahnen, auf denen der Bahndrehimpuls gequantelt ist.
- Auf einer erlaubten Bahn strahlt das Elektron keine Energie ab, obwohl es radial beschleunigt wird.
- Energie wird nur beim Sprung zwischen zwei Bahnen aufgenommen oder abgegeben.
Die Quantenbedingung lautet:
\[L = m_e \cdot v \cdot r = n \cdot \frac{h}{2\pi}\]
Dabei ist \(L\) der Bahndrehimpuls, \(m_e\) die Elektronenmasse, \(v\) die Bahngeschwindigkeit, \(r\) der Bahnradius und \(h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\) J·s die Planck-Konstante. \(n = 1, 2, 3 \dots\) nummeriert die Bahnen. Gequantelt wird also der Drehimpuls. Energie und Impuls werden dabei nicht gleichgesetzt.
Ein erlaubter Bahnzustand des Elektrons mit fester, diskreter Energie, in dem es keine Strahlung aussendet. Er folgt aus der Quantelung des Bahndrehimpulses.
Kräfte auf der Bahn
Der Kern zieht das Elektron mit der Coulomb-Kraft an. Sie wirkt an jeder Stelle der Kreisbahn zum Kern hin. Im mitbewegten System wirkt ihr die Fliehkraft entgegen. Fliehkraft und Zentrifugalkraft sind dieselbe Kraft. Auf einer stationären Bahn sind beide gleich groß. Für Wasserstoff gilt:
\[\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r^2} = \frac{m_e \cdot v^2}{r}\]
Hier ist \(e\) die Elementarladung und \(\varepsilon_0\) die elektrische Feldkonstante. Das Elektron bewegt sich also im Coulomb-Feld des Kerns. Eine Reibungskraft braucht das Modell nicht, denn nichts bremst das Elektron.
Auch die Gravitation zieht Elektron und Proton an. Sie ist aber rund \(10^{39}\)-mal schwächer als die Coulomb-Kraft. Deshalb wird sie vernachlässigt. Die Bindung der Elektronen an den Kern ist elektrisch, nicht gravitativ.
Bahnenergie und Übergänge
Die innerste Bahn mit \(n = 1\) ist der Grundzustand. Er hat die niedrigste Energie. Jede Bahn weiter außen ist ein angeregter Zustand. Die Energie des Elektrons ist umso größer, je weiter es vom Kern entfernt ist. Das freie Elektron bei \(n = \infty\) setzt man auf null. Alle gebundenen Zustände haben daher negative Energien. Für Wasserstoff gilt:
\[E_n = -\frac{13{,}6\ \mathrm{eV}}{n^2}\]
Für einen Sprung nach außen muss das Atom Energie aufnehmen, etwa als Licht mit \(W = h \cdot \nu\). Wie diese Photonenenergie zustande kommt, steht dort. Je weiter außen die Zielbahn liegt, desto mehr Energie braucht der Sprung aus dem Grundzustand. Von \(n = 1\) nach \(n = 2\) sind es 10,2 eV, nach \(n = 3\) schon 12,1 eV. Beim Rücksprung wird dieselbe Energie als Licht frei. So entstehen Linienspektren.
Quantenzahlen und Schalen
Bohr kam mit einer einzigen Zahl \(n\) aus. Das quantenmechanische Atommodell beschreibt jedes Elektron mit vier Quantenzahlen. Ein Orbital gibt dabei die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons an.
| Quantenzahl | Symbol | Werte | bestimmt |
|---|---|---|---|
| Hauptquantenzahl | \(n\) | 1, 2, 3 … | Schale, wesentlich die Energie |
| Nebenquantenzahl | \(l\) | 0 bis \(n-1\) | Form des Orbitals (s, p, d, f) |
| Magnetquantenzahl | \(m_l\) | \(-l\) bis \(+l\) | Orientierung im Raum |
| Spinquantenzahl | \(m_s\) | \(+\frac{1}{2}\) oder \(-\frac{1}{2}\) | Eigendrehimpuls (Spin) |
Das Pauli-Prinzip besagt: Zwei Elektronen eines Atoms stimmen nie in allen vier Quantenzahlen überein. Ein Orbital ist durch \(n\), \(l\) und \(m_l\) festgelegt. Es fasst daher höchstens zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin. Eine Schale enthält \(n^2\) Orbitale.
Eine Schale fasst höchstens \(2n^2\) Elektronen, nicht \(n\): 2 für \(n = 1\), 8 für \(n = 2\), 18 für \(n = 3\), 32 für \(n = 4\).
Die Edelgase Helium, Neon, Argon, Krypton und Xenon haben eine voll besetzte Außenschale. Bei Helium (\(Z = 2\)) ist die erste Schale mit zwei Elektronen voll. Bei den übrigen, etwa Krypton (\(Z = 36\)), sind in der äußersten Schale s- und p-Orbitale komplett besetzt (\(ns^2\,np^6\), acht Elektronen). Diese abgeschlossene Konfiguration macht Edelgase so reaktionsträge.
Quiz
Aussage 1
Die Masse eines Atoms verteilt sich etwa zur Hälfte auf den Kern und auf die Elektronenhülle.
Ein Proton ist rund 1836-mal schwerer als ein Elektron. Nahezu die gesamte Atommasse steckt daher im Kern.
Aussage 2
Im Bohr’schen Modell strahlt ein Elektron auf einer stationären Bahn wegen seiner Radialbeschleunigung ständig Energie ab.
Bohr postuliert gerade das Gegenteil: Auf erlaubten Bahnen strahlt das Elektron trotz Beschleunigung keine Energie ab.
Aussage 3
Für den Übergang aus dem Grundzustand auf die Bahn \(n = 3\) muss ein Wasserstoffatom mehr Energie absorbieren als für den Übergang auf \(n = 2\).
Je weiter außen die Zielbahn, desto mehr Energie: 12,1 eV gegenüber 10,2 eV.
Aussage 4
Im Bohr’schen Modell hält die Gravitationsanziehung zwischen Kern und Elektron der Fliehkraft das Gleichgewicht.
Es ist die Coulomb-Kraft. Die Gravitation ist rund \(10^{39}\)-mal schwächer und wird vernachlässigt.
Aussage 5
Der Radius eines Atomkerns ist etwa \(10^5\)-mal kleiner als der Radius des ganzen Atoms.
Das Atom misst etwa \(10^{-10}\) m, der Kern etwa \(10^{-15}\) m.
Aussage 6
Die Schale mit der Hauptquantenzahl \(n = 3\) kann höchstens 18 Elektronen aufnehmen.
Die Höchstzahl beträgt \(2n^2 = 2 \cdot 9 = 18\).
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