Quadratisches Abstandsgesetz für Punktquellen
Wie die Intensität einer punktförmigen Strahlungsquelle mit dem Abstand abnimmt und wie man sie für einen anderen Abstand berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Das quadratische Abstandsgesetz beschreibt, wie Intensität und Strahlungsflussdichte einer Punktquelle mit dem Abstand abnehmen: \(I \propto 1/r^2\).
- Ursache ist Geometrie: Dieselbe Leistung verteilt sich auf die Kugeloberfläche \(4\pi r^2\), doppelter Abstand ergibt ein Viertel.
- Das Gesetz gilt nur ohne Absorption. Die Schwächung in Materie verläuft dagegen exponentiell.
- Für zwei Abstände gilt \(I_2/I_1 = (r_1/r_2)^2\), der Ausgangsabstand steht im Zähler.
- Häufige Fehler sind das vergessene Quadrat und vertauschte Abstände.
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Worum es geht
Die Intensität einer Strahlungsquelle sinkt mit wachsendem Abstand, und zwar mit dem Quadrat des Abstands. Das gilt für Licht ebenso wie für γ-Strahlung. Es erklärt, warum schon etwas mehr Abstand im Umgang mit Radiopharmaka viel Strahlenschutz bringt.
Gesetz und Bedingungen
Eine Punktquelle ist eine Strahlungsquelle, deren Ausdehnung klein gegen den Abstand zum Messort ist. Sie strahlt gleichmäßig in alle Richtungen. Die Strahlungsflussdichte \(\Phi\) gibt an, wie viel Strahlung (Energie oder Teilchen) pro Zeit durch eine Fläche tritt. Für sie und für die Intensität \(I\) gilt dasselbe Gesetz.
\[I = \frac{P}{4\pi r^2} \quad\Rightarrow\quad I \propto \frac{1}{r^2}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(I\) | Intensität (Leistung pro Fläche) | W/m² |
| \(P\) | abgegebene Strahlungsleistung der Quelle | W |
| \(r\) | Abstand von der Quelle | m |
Die Quelle gibt in jedem Abstand dieselbe Leistung ab. Diese verteilt sich auf eine Kugeloberfläche \(4\pi r^2\). Doppelter Abstand bedeutet vierfache Fläche, also ein Viertel der Intensität. Dreifacher Abstand ergibt ein Neuntel.
Das Gesetz gilt nur ohne Absorption auf dem Weg. Es beschreibt reine Geometrie. Die Schwächung in Materie folgt dagegen dem exponentiellen Schwächungsgesetz: Jede gleich dicke Schicht nimmt denselben Anteil weg. Beim Abstandsgesetz ist der Faktor je Schritt verschieden. Von 1 m auf 2 m fällt die Intensität auf 1/4, von 2 m auf 3 m nur noch auf 4/9. Nahe der Quelle ist der Abfall deshalb besonders steil.
Wird im Examen gerne gefragt: Die Intensität einer Punktquelle fällt ohne Absorption mit \(1/r^2\) und nicht exponentiell. Doppelter Abstand ergibt ein Viertel, nicht die Hälfte.
Berechnung
Vergleicht man zwei Abstände, kürzen sich \(P\) und \(4\pi\) heraus. Übrig bleibt ein reines Verhältnis:
\[\frac{I_2}{I_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\]
Der Ausgangsabstand \(r_1\) steht im Zähler. Das ist plausibel: Ein größeres \(r_2\) muss ein kleineres \(I_2\) liefern. Diesen Rechenweg solltest du sicher können.
Beispiel: In 0,5 m Abstand misst man 360 µW/cm². Gesucht ist die Intensität in 1,5 m Abstand.
- Abstandsverhältnis: \(r_1/r_2 = 0{,}5\ \text{m} / 1{,}5\ \text{m} = 1/3\)
- Quadrieren: \((1/3)^2 = 1/9\)
- Einsetzen: \(I_2 = 360\ \text{µW/cm}^2 \cdot 1/9 = 40\ \text{µW/cm}^2\)
Genauso bestimmt man den registrierten Anteil. Rückt ein Detektor von 2 m auf 10 m ab, misst er nur noch \((2/10)^2 = 1/25\), also 4 %. Für Dosisleistungen gilt dasselbe, siehe Dosisleistung und Abstand.
Typische Fehler:
- Quadrat vergessen: Dreifacher Abstand ergibt ein Neuntel, nicht ein Drittel.
- Kehrwert: Vertauschte Abstände liefern eine Zunahme statt einer Abnahme.
- Einheiten: Beide Abstände in derselben Einheit einsetzen. Das Verhältnis ist dann einheitenlos.
Quiz
Aussage 1
Nach dem quadratischen Abstandsgesetz verringert jeder gleich große Abstandsschritt die Intensität um denselben Faktor.
Ein konstanter Faktor je Schritt kennzeichnet die exponentielle Schwächung im Absorber. Beim Abstandsgesetz ändert sich der Faktor: von 1 m auf 2 m auf 1/4, von 2 m auf 3 m auf 4/9.
Aussage 2
Verdreifacht man den Abstand zu einer Punktquelle ohne Absorption, sinkt die Intensität auf ein Neuntel.
Es gilt \(I \propto 1/r^2\). Dreifacher Abstand ergibt \(1/3^2 = 1/9\).
Aussage 3
Misst man in 1 m Abstand von einer Punktquelle 80 µW/cm², beträgt die Intensität in 4 m Abstand 20 µW/cm².
Das Abstandsverhältnis muss quadriert werden: \((1/4)^2 = 1/16\). Richtig sind 5 µW/cm².
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