Verdünnungs- und Mischungsrechnung
Wie man Stammlösung und Wassermenge für eine Verdünnung berechnet und den Gehalt einer Mischung zweier Lösungen über eine Massenbilanz bestimmt.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Verdünnungs- und Mischungsrechnung bestimmt Gehalte und Mengen über eine Bilanz des gelösten Stoffes: Er bleibt erhalten und verteilt sich auf die Gesamtmasse.
- Beim Verdünnen mit Wasser bleibt die Stoffmasse konstant, die Gesamtmasse steigt um die Wassermasse: \(m_1 \cdot w_1 = m_2 \cdot w_2\), Wasser \(= m_2 - m_1\).
- Bei einem bekannten Wasserzusatz gilt \(w_2 = \frac{m_1 w_1}{m_1 + m_{\ce{H2O}}}\), der Nenner enthält Lösung plus Wasser.
- Beim Mischen zweier Lösungen werden Stoffmassen und Gesamtmassen getrennt addiert: \(w = \frac{m_1 w_1 + m_2 w_2}{m_1 + m_2}\). Prozentwerte darf man nicht mitteln.
- Ein Stoff aus nur einer Lösung verteilt sich auf die Gesamtmasse der Mischung.
- Für m/V-Angaben und Auffüllen auf ein Endvolumen gilt \(c_1 \cdot V_1 = c_2 \cdot V_2\). Volumina sind beim Mischen nicht streng additiv.
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Worum es geht
In der Rezeptur stellt man verdünnte Lösungen oft aus einer konzentrierten Stammlösung her, etwa eine Kochsalz- oder eine Konservierungsmittellösung. Alle Rechnungen beruhen auf einer einzigen Bilanz: Der gelöste Stoff geht nicht verloren, er verteilt sich nur auf mehr Masse. Wie Prozentangaben definiert sind, steht unter Konzentrationsangaben.
Verdünnen und Mischen
Eine Lösung besteht aus gelöstem Stoff und Lösungsmittel. Ihr Massenanteil \(w\) gibt an, welcher Teil der Gesamtmasse auf den Stoff entfällt: \(w = m_{Stoff} / m_{gesamt}\). Hier geht es darum, wie sich \(w\) ändert, wenn man verdünnt oder zwei Lösungen mischt.
Verdünnen: Die Stoffmasse bleibt erhalten
Gibt man reines Wasser zu einer Lösung, kommt kein gelöster Stoff hinzu. Wasser trägt den Gehalt null bei. Die Masse des gelösten Stoffes bleibt also konstant. Nur die Gesamtmasse wächst, und zwar genau um die Masse des zugesetzten Wassers. Dieselbe Stoffmasse verteilt sich auf mehr Lösung, deshalb sinkt der Massenanteil.
Man kann sich das wie einen Löffel Zucker vorstellen, der von einer Tasse in einen Krug wandert: Der Zucker bleibt derselbe, er schmeckt nur schwächer. Die Abbildung zeigt das mit Zahlen. 20 g Lösung enthalten 0,1 g Stoff, das sind 0,5 %. Nach Auffüllen auf 1000 g sind es immer noch 0,1 g Stoff, der Massenanteil beträgt nur noch 0,01 %.
Da die Stoffmasse \(m \cdot w\) vor und nach dem Verdünnen gleich ist, folgt daraus die Verdünnungsgleichung.
\[m_1 \cdot w_1 = m_2 \cdot w_2\]
\(m_1\) und \(w_1\) sind Masse (in g) und Massenanteil der Ausgangslösung, \(m_2\) und \(w_2\) die der Endlösung. Die zugesetzte Wassermasse ist \(m_2 - m_1\).
Aus drei bekannten Größen folgt die vierte. Ein schneller Test: Füllt man 10 g einer 0,1%igen Lösung auf 500 g auf, enthält die Lösung 0,01 g Stoff. Das ergibt \(0{,}01\ \text{g} / 500\ \text{g} = 0{,}002\,\%\). Die Masse steigt um den Faktor 50, der Gehalt sinkt um denselben Faktor.
Die Verdünnungsrechnung ist ein Examensklassiker: Mit \(m_1 \cdot w_1 = m_2 \cdot w_2\) berechnest du Stammlösungsmasse, Endgehalt oder Endmasse, die Wassermenge ist \(m_2 - m_1\). Achte darauf, ob die Angabe die Endmasse meint („auf 500 g auffüllen“) oder den Wasserzusatz („mit 500 g Wasser verdünnen“, Endmasse dann \(m_1 + 500\) g).
Stammlösung und Wassermenge berechnen
Meist sind Zielmasse, Zielkonzentration und Gehalt der Stammlösung gegeben. Gesucht sind die Masse der Stammlösung und die Wassermenge. Als Beispiel sollen 250 g einer 2%igen Lösung aus einer 10%igen Stammlösung entstehen.
- Bilanz aufstellen: \(m_{Stamm} \cdot c_{Stamm} = m_{gesamt} \cdot c_{Ziel}\), also \(m_1 \cdot 10\,\% = 250\ \text{g} \cdot 2\,\%\).
- Nach der Stammlösung auflösen: \(m_1 = \frac{250\ \text{g} \cdot 2\,\%}{10\,\%} = 50\ \text{g}\).
- Wasser berechnen: \(m_{\ce{H2O}} = m_2 - m_1 = 250\ \text{g} - 50\ \text{g} = 200\ \text{g}\).
- Probe: 50 g Stammlösung enthalten 5 g Stoff. In 250 g sind das 2 %.
Die Prozentzeichen kürzen sich heraus, solange auf beiden Seiten dieselbe Art von Angabe steht. Oft ist auch der umgekehrte Weg nötig: Man setzt eine bekannte Wassermasse zu und sucht den neuen Gehalt. Dann steht im Nenner die Summe aus Lösung und Wasser.
\[w_2 = \frac{m_1 \cdot w_1}{m_1 + m_{\ce{H2O}}}\]
Beispiel: 40 g einer 5%igen Lösung werden mit 60 g Wasser verdünnt. Die Lösung enthält 2 g Stoff. Die Gesamtmasse beträgt 100 g, der neue Massenanteil also 2 %.
Rechnen mit Volumina
Liegen die Konzentrationen in % (m/V) oder in mol/L vor, und füllt man auf ein Endvolumen auf, gilt dieselbe Bilanz mit Volumina: \(c_1 \cdot V_1 = c_2 \cdot V_2\). Dabei ist \(c\) die Konzentration und \(V\) das Volumen. Für 200 mL einer 0,5%igen (m/V) Lösung aus einer 5%igen (m/V) Stammlösung gilt \(V_1 = 200\ \text{mL} \cdot 0{,}5 / 5 = 20\ \text{mL}\). Man misst 20 mL Stammlösung ab und füllt ad 200 mL auf.
Die Wassermenge ergibt sich hier nicht zuverlässig als Differenz der Volumina. Volumina sind beim Mischen nicht streng additiv, bei Ethanol-Wasser-Mischungen kommt es sogar zu einer deutlichen Kontraktion. Deshalb rechnet man dort über Massen.
Die Bilanz stimmt nur, wenn beide Seiten zueinander passen: Massenanteile (m/m) mit Massen, Konzentrationen (m/V) mit Volumina. Wer % (m/m) mit Millilitern kombiniert, muss vorher über die Dichte umrechnen.
Mischungsrechnung: zwei Lösungen zusammengeben
Mischt man zwei Lösungen desselben Stoffes, bringen beide einen Teil des Stoffes mit. Die Verdünnung ist nur der Sonderfall, in dem eine der beiden Lösungen reines Wasser mit \(w = 0\) ist.
Die Mischungsrechnung bestimmt den Gehalt einer Mischung über eine Massenbilanz. Stoffmassen und Gesamtmassen werden getrennt addiert, der Gehalt (m/m) ist der Quotient beider Summen.
Als Formel für zwei Lösungen:
\[w = \frac{m_1 w_1 + m_2 w_2}{m_1 + m_2}\]
Die Abbildung rechnet das für Natriumchlorid durch. 300 g einer 0,9%igen Lösung enthalten 2,7 g NaCl, 200 g einer 3%igen Lösung enthalten 6,0 g. Zusammen sind das 8,7 g NaCl in 500 g Mischung, also 1,74 %.
Prozentwerte nie einfach mitteln. Der Mittelwert von 0,9 % und 3 % wäre 1,95 %, richtig sind 1,74 %, weil von der verdünnteren Lösung mehr Masse vorliegt.
Enthält nur eine der beiden Lösungen einen bestimmten Stoff, verteilt er sich trotzdem auf die gesamte Mischung. Beispiel: 150 g einer Lösung mit 0,2 % Kaliumsorbat werden mit 50 g 0,9%iger NaCl-Lösung gemischt. Die Mischung enthält 0,3 g Kaliumsorbat in 200 g, also 0,15 %. Die NaCl-Lösung zählt hier vollständig zur Gesamtmasse, ihr Salz aber nicht zur Stoffmasse des Sorbats. Für das NaCl gilt umgekehrt: 0,45 g in 200 g ergeben 0,225 %.
Das Mischungskreuz
Soll aus zwei vorhandenen Lösungen eine bestimmte Zwischenkonzentration entstehen, hilft das Mischungskreuz. Links stehen die beiden Ausgangsgehalte, in der Mitte der Zielgehalt. Rechts stehen über Kreuz die Differenzen ohne Vorzeichen. Sie geben die Massenteile an. Aus einer 10%igen und einer 2%igen Lösung soll eine 5%ige werden. Von der 10%igen nimmt man \(5 - 2 = 3\) Teile, von der 2%igen \(10 - 5 = 5\) Teile.
Für 400 g Mischung verteilt man 8 Teile, ein Teil entspricht also 50 g. Man braucht 150 g der 10%igen und 250 g der 2%igen Lösung. Die Mischungsformel bestätigt das: 15 g plus 5 g Stoff in 400 g ergeben 5 %. Verdünnt man mit Wasser, setzt man für Wasser 0 % ein. Das Kreuz gilt für Massenanteile und Massen, mit Volumina nur näherungsweise.
Quiz
Aussage 1
Mischt man 100 g einer 1%igen mit 300 g einer 5%igen Lösung desselben Stoffes, erhält man eine 3%ige Lösung.
Prozentwerte darf man nicht mitteln. Die Mischung enthält 1 g + 15 g = 16 g Stoff in 400 g, also 4 %.
Aussage 2
Ein Stoff, der nur in einer von zwei gemischten Lösungen enthalten ist, bezieht sich nach dem Mischen auf die Gesamtmasse beider Lösungen.
Der Stoff verteilt sich in der ganzen Mischung. Die zweite Lösung zählt vollständig zur Gesamtmasse, nicht aber zur Stoffmasse.
Aussage 3
Gibt man zu 50 g einer 4%igen Lösung 50 g Wasser, beträgt der neue Massenanteil 2 %.
2 g Stoff verteilen sich auf 100 g Lösung, das ergibt 2 %.
Aussage 4
Für 300 g einer 3%igen Lösung aus einer 15%igen Stammlösung benötigt man 60 g Stammlösung und 240 g Wasser.
\(m_1 = 300\ \text{g} \cdot 3 / 15 = 60\ \text{g}\), Wasser \(= 300\ \text{g} - 60\ \text{g} = 240\ \text{g}\).
Aussage 5
Bei Ethanol-Wasser-Mischungen ergibt sich die benötigte Wassermenge zuverlässig als Differenz von End- und Ausgangsvolumen.
Volumina sind beim Mischen nicht streng additiv, bei Ethanol und Wasser tritt eine Kontraktion auf. Deshalb rechnet man über Massen.
Aussage 6
Füllt man 10 g einer 0,1%igen Lösung mit Wasser auf 500 g auf, hat die neue Lösung einen Gehalt von 0,02 %.
Die Lösung enthält 0,01 g Stoff in 500 g, das sind 0,002 %. Die Masse steigt um den Faktor 50, der Gehalt sinkt um denselben Faktor.
Aussage 7
Um aus einer 20%igen und einer 5%igen Lösung eine 10%ige herzustellen, mischt man nach dem Mischungskreuz 10 Teile der 20%igen mit 5 Teilen der 5%igen Lösung.
Die Differenzen stehen über Kreuz: 10 − 5 = 5 Teile der 20%igen und 20 − 10 = 10 Teile der 5%igen Lösung.
Aussage 8
Verdünnt man eine Lösung mit Wasser, bleibt die Masse des gelösten Stoffes gleich, während die Gesamtmasse um die Wassermasse zunimmt.
Wasser bringt keinen gelösten Stoff mit. Es erhöht nur die Gesamtmasse, deshalb sinkt der Massenanteil.
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