Winkelfunktionen und Bogenmaß
Sinus und Kosinus am Einheitskreis, die Umrechnung zwischen Grad und Bogenmaß, die Werte bei besonderen Winkeln und die Symmetrie beider Funktionen.
Das Wichtigste in Kürze
- Sinus und Kosinus sind die y- und x-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis, der zum Winkel \(\varphi\) gehört.
- Das Bogenmaß ist die Bogenlänge auf dem Einheitskreis: 360° entsprechen \(2\pi\), umgerechnet wird mit \(x = \alpha \cdot \pi/180°\).
- Der rechte Winkel beträgt im Bogenmaß \(\pi/2\).
- \(\sin(\pi) = \cos(\pi/2) = 0\), aber \(\cos(0) = 1\).
- Der Kosinus ist gerade, \(\cos(-x) = \cos(x)\), der Sinus ungerade, \(\sin(-x) = -\sin(x)\).
Worum es geht
Sinus und Kosinus ordnen jedem Winkel eine Zahl zwischen −1 und +1 zu. Man braucht sie überall, wo Winkel oder periodische Vorgänge vorkommen, etwa beim Zerlegen von Kräften oder bei Schwingungen.
Sinus, Kosinus und Bogenmaß
Am Einheitskreis, einem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung, liest man beide Funktionen direkt ab. Ein Radius schließt mit der x-Achse den Winkel \(\varphi\) ein. Sein Endpunkt P hat die Koordinaten \((\cos\varphi;\ \sin\varphi)\). Der Kosinus ist also die waagerechte, der Sinus die senkrechte Koordinate.
Den Winkel kann man in Grad angeben oder als Länge des Bogens, den er auf dem Einheitskreis abschneidet.
Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Bogens auf dem Einheitskreis. Die Einheit ist der Radiant (rad). Sie ist eine reine Zahl, weil Bogenlänge und Radius beide Längen sind.
Ein voller Umlauf entspricht dem Kreisumfang \(2\pi\). Also entsprechen 360° dem Wert \(2\pi\). Daraus folgt die Umrechnung:
\[x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180°}\]
Dabei ist \(\alpha\) der Winkel in Grad und \(x\) der Winkel im Bogenmaß. Beispiel: \(60° \cdot \pi/180° = \pi/3 \approx 1{,}05\). Umgekehrt entspricht 1 rad etwa 57,3°.
Läuft P weiter um den Kreis, wiederholen sich die Werte nach \(2\pi\). Beide Graphen sind deshalb Wellenlinien mit der Periode \(2\pi\) und bleiben zwischen −1 und +1. Die Kosinuskurve ist gegenüber der Sinuskurve um \(\pi/2\) nach links verschoben. Physikalisch beschreiben solche Kurven eine harmonische Schwingung. Auch die Zerlegung von Vektoren in Komponenten beruht auf diesen Koordinaten.
Werte besonderer Winkel
Die wichtigsten Werte liest man ab, wenn P genau auf einer Achse liegt. Der rechte Winkel von 90° ist ein Viertelumlauf, im Bogenmaß also \(\pi/2\). Dort liegt P oben auf der y-Achse. Der Kosinus ist 0, der Sinus 1.
| Grad | Bogenmaß | \(\sin\) | \(\cos\) |
|---|---|---|---|
| 0° | \(0\) | 0 | 1 |
| 90° | \(\pi/2\) | 1 | 0 |
| 180° | \(\pi\) | 0 | −1 |
| 270° | \(3\pi/2\) | −1 | 0 |
| 360° | \(2\pi\) | 0 | 1 |
Der Sinus hat seine Nullstellen bei 0, \(\pi\) und \(2\pi\). Der Kosinus hat sie bei \(\pi/2\) und \(3\pi/2\). Wo die eine Funktion null ist, hat die andere den Betrag 1, also ein Maximum oder Minimum.
Es gilt also \(\sin(\pi) = \cos(\pi/2) = 0\), in Grad \(\sin(180°) = \cos(90°) = 0\). Der Startwert ist anders: Bei 0° liegt P rechts auf der x-Achse. Deshalb ist \(\cos(0°) = 1\) und damit ungleich \(\sin(180°) = 0\).
Mit den Nullstellen prüft man auch Ausdrücke mit Vorzeichen schnell. So gilt \(-\cos(\tfrac12\pi) = \cos(-\tfrac12\pi)\), denn beide Seiten sind null. Ein Minuszeichen vor einer Null ändert nichts.
Symmetrie
Ein negativer Winkel wird im Uhrzeigersinn abgetragen. Am Einheitskreis entsteht so das Spiegelbild von P an der x-Achse. Der Punkt P’ hat dieselbe x-Koordinate, aber die entgegengesetzte y-Koordinate.
Daraus ergeben sich zwei Symmetrietypen von Funktionen:
Es gilt \(f(-x) = f(x)\). Der Graph ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse. Beispiel: \(\cos(-x) = \cos(x)\).
Es gilt \(f(-x) = -f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Beispiel: \(\sin(-x) = -\sin(x)\).
Der Kosinus ist also gerade, der Sinus ungerade. Zahlenbeispiele: \(\cos(-60°) = \cos(60°) = 0{,}5\), dagegen \(\sin(-30°) = -\sin(30°) = -0{,}5\). Die Namen passen zu den Potenzen: \(x^2\) ist gerade, \(x^3\) ungerade.
Der Kosinus schluckt das Minuszeichen des Winkels, der Sinus zieht es vor die Funktion.
Quiz
Aussage 1
Der Graph der Kosinusfunktion ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse.
Der Kosinus ist eine gerade Funktion, \(\cos(-x) = \cos(x)\), und gerade Funktionen sind spiegelsymmetrisch zur y-Achse.
Aussage 2
Ein Winkel von 90° entspricht im Bogenmaß dem Wert \(\pi/2\).
90° ist ein Viertel von 360°, also ein Viertel von \(2\pi\).
Aussage 3
Für alle \(x\) gilt \(\sin(-x) = \sin(x)\).
Der Sinus ist ungerade: \(\sin(-x) = -\sin(x)\). Die Spiegelung an der x-Achse kehrt das Vorzeichen der y-Koordinate um.
Aussage 4
\(\cos(0°)\) und \(\sin(180°)\) haben denselben Wert.
\(\cos(0°) = 1\), weil P bei 0° rechts auf der x-Achse liegt. \(\sin(180°)\) ist dagegen 0.
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