Messung und Auswertung

Maximale Unsicherheit bei Summen und Produkten

Wie sich die Unsicherheiten einzelner Messgrößen auf Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten übertragen, als Maximalabschätzung und nach Gauß.

Prüfungsrelevanz: gut zu wissen ✓ gelesen
Das Wichtigste in Kürze5 Punkte
  • Die maximale Unsicherheit einer berechneten Größe beschreibt den ungünstigsten Fall, in dem alle Einzelabweichungen in dieselbe Richtung wirken.
  • Bei Summen und Differenzen addieren sich die Beträge der absoluten Unsicherheiten, etwa bei einer Einwaage aus zwei Wägungen.
  • Bei Produkten und Quotienten addieren sich die relativen Unsicherheiten, z. B. \(\Delta W/W = \Delta U/U + \Delta I/I + \Delta t/t\).
  • Die Gaußsche Fehlerfortpflanzung addiert unabhängige Unsicherheiten quadratisch und liefert nie mehr als die Maximalabschätzung.
  • Zwei gleiche Widerstände in Reihe: Nach Gauß sinkt die relative Toleranz um den Faktor \(\sqrt{2}\).

Worum es geht

Viele Ergebnisse misst man nicht direkt, sondern berechnet sie aus mehreren Messwerten. Eine Einwaage etwa ergibt sich aus zwei Wägungen. Wie genau ein solches Ergebnis ist, folgt aus den Unsicherheiten der Einzelwerte.

Zusammengesetzte Größen

Jede Messgröße trägt eine absolute oder relative Unsicherheit. Die maximale Unsicherheit fragt nach dem ungünstigsten Fall: Alle Einzelabweichungen wirken gleichzeitig in dieselbe Richtung. Man addiert deshalb immer Beträge, nie mit Vorzeichen. Welche Unsicherheiten man addiert, hängt von der Rechenart ab.

Summen und Differenzen

Bei Summen und Differenzen addieren sich die Beträge der absoluten Unsicherheiten. Das gilt auch beim Subtrahieren, denn ein zu großer erster und ein zu kleiner zweiter Wert verfälschen die Differenz gemeinsam.

\[\Delta m = |\Delta m_1| + |\Delta m_2|\]

Beispiel Einwaage: Das leere Gefäß wiegt 25,40 g ± 0,02 g, das gefüllte 27,85 g ± 0,02 g. Die Salzmasse beträgt also 2,45 g ± 0,04 g. Die relative Unsicherheit steigt dabei auf rund 1,6 %, weil die Differenz klein ist.

Produkte und Quotienten

Bei Produkten addieren sich die relativen Unsicherheiten. Die Abbildung zeigt den Grund: Sind beide Seiten eines Rechtecks zu groß gemessen, wächst die Fläche um zwei Streifen \(b\,\Delta a\) und \(a\,\Delta b\). Das Eckstück \(\Delta a\,\Delta b\) ist winzig. Teilt man durch \(A = ab\), bleibt die Summe der relativen Unsicherheiten.

Rechteck mit Seiten a und b, an zwei Seiten schmale Streifen der Breite Δa und Δb sowie ein kleines Eckquadrat.

Zusatzfläche bei zu groß gemessenen Seiten: Die beiden Streifen bestimmen die Unsicherheit, das Eckstück ist vernachlässigbar.

\[\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b}\]

Für ein Quadervolumen kommt der Term \(\Delta c/c\) der dritten Kante hinzu. Quotienten behandelt man genauso. Bei der elektrischen Leistung \(P = U \cdot I\) addiert man \(\Delta U/U\) und \(\Delta I/I\). Die in einem Widerstand umgesetzte Energie ist \(W = U \cdot I \cdot t\), hier zählen drei Terme. Mit 1 % für \(U\), 2 % für \(I\) und 0,5 % für \(t\) ist \(W\) auf 3,5 % unsicher. Die elektrischen Größen selbst erklärt die Seite zur Reihenschaltung.

💡 Merke

Plus und Minus: absolute Unsicherheiten addieren. Mal und Geteilt: relative Unsicherheiten addieren.

Gaußsche Fehlerfortpflanzung

Unabhängige Abweichungen gleichen sich teilweise aus. Die Gaußsche Fehlerfortpflanzung berücksichtigt das: Bei einer Summe addiert sie die absoluten Unsicherheiten quadratisch.

\[\Delta R_{ges} = \sqrt{\Delta R_1^2 + \Delta R_2^2}\]

Geometrisch ist die Maximalabschätzung der Weg entlang beider Katheten, Gauß die kürzere Hypotenuse. Das Gaußsche Ergebnis ist daher nie größer.

Rechtwinkliges Dreieck, Katheten mit Δx und Δy beschriftet, Hypotenuse als Gaußsche Gesamtunsicherheit hervorgehoben.

Maximalabschätzung und Gaußsche Fehlerfortpflanzung als Kathetenweg und Hypotenuse.

Beispiel: Zwei Widerstände von je 100 Ω ± 5 % liegen in Reihe. Gesamt sind es 200 Ω. Nach Gauß ist \(\Delta R_{ges} = \sqrt{2} \cdot 5\ \Omega \approx 7{,}1\ \Omega\), also 3,5 %. Die relative Toleranz sinkt um den Faktor \(\sqrt{2}\). Die Maximalabschätzung liefert dagegen 10 Ω und unverändert 5 %. Den statistischen Hintergrund liefert die Normalverteilung.

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Aussage 1

Wird eine Masse als Differenz zweier Wägungen mit je ± 0,03 g bestimmt, so ist die maximale absolute Unsicherheit der Masse null, weil sich die Unsicherheiten beim Subtrahieren aufheben.

Auch bei Differenzen addieren sich die Beträge der absoluten Unsicherheiten. Die maximale Unsicherheit beträgt hier ± 0,06 g.

Aussage 2

Schaltet man zwei gleiche Widerstände mit unabhängigen Toleranzen in Reihe, verringert sich nach der Gaußschen Fehlerfortpflanzung die relative Toleranz um den Faktor \(\sqrt{2}\).

Die absolute Unsicherheit wächst nur um \(\sqrt{2}\), der Gesamtwiderstand aber um 2. Die relative Toleranz sinkt daher um \(\sqrt{2}\).

Aussage 3

Ist die Spannung auf 2 % und die Stromstärke auf 3 % genau bekannt, beträgt die maximale relative Unsicherheit der Leistung \(P = U \cdot I\) 5 %.

Bei Produkten addieren sich die relativen Unsicherheiten: 2 % + 3 % = 5 %.

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