Absolute und relative Unsicherheit, Unsicherheitsbalken
Wie man absolute und relative Unsicherheiten berechnet, ineinander umrechnet, sinnvoll rundet und an Unsicherheitsbalken in Diagrammen abliest.
Das Wichtigste in Kürze
- Die absolute Unsicherheit \(\Delta x\) hat die Einheit des Messwerts, die relative Unsicherheit \(\Delta x/x\) ist der dimensionslose Quotient aus absoluter Unsicherheit und Messwert.
- Die relative Unsicherheit gibt man als Dezimalzahl, als Zehnerpotenz, in Prozent (mal 100 %) oder in Promille (mal 1000 ‰) an.
- Die absolute Unsicherheit erhält man zurück als Produkt aus relativer Unsicherheit und Messwert, z. B. 0,4 % von 250 mL = 1 mL.
- Erst die Unsicherheit auf eine bis zwei geltende Ziffern runden, dann den Messwert auf dieselbe Dezimalstelle.
- Die halbe Länge eines Unsicherheitsbalkens entspricht \(\Delta y\); bei einem Achsenbruch muss man die Werte an der Achse ablesen statt nach Augenmaß zu schätzen.
Worum es geht
Jedes Messergebnis besteht aus einem Wert und seiner Unsicherheit. Ob eine Abweichung von 0,01 g klein oder groß ist, hängt vom Messwert ab: Bei einer Rezeptur-Einwaage von 0,1 g ist sie beträchtlich, bei 100 g vernachlässigbar. Dafür braucht man die relative Unsicherheit, und sie ist die Grundlage für jede spätere Fehlerrechnung.
Absolute und relative Unsicherheit
Jede Messung ist mit einer Messunsicherheit behaftet. Man kann sie auf zwei Arten angeben. Beide Angaben beschreiben dieselbe Unsicherheit, nur aus einem anderen Blickwinkel.
Die absolute Unsicherheit \(\Delta x\) (auch \(u(x)\) geschrieben) gibt an, um wie viel der wahre Wert vom Messwert abweichen kann. Sie hat dieselbe Einheit wie der Messwert. Man schreibt das Ergebnis als \(x \pm \Delta x\), etwa \(12{,}4\,\text{g} \pm 0{,}2\,\text{g}\). Der wahre Wert liegt dann vermutlich zwischen 12,2 g und 12,6 g.
Die relative Unsicherheit setzt die absolute Unsicherheit ins Verhältnis zum Messwert. Sie ist der Quotient aus absoluter Unsicherheit und Messwert. Weil sich die Einheiten kürzen, ist sie dimensionslos. Für die Einwaage oben ergibt sich \(0{,}2\,\text{g} / 12{,}4\,\text{g} \approx 0{,}016\).
Das Prinzip gilt für jede Messgröße gleich. Für eine Masse schreibt man \(\Delta m/m\), für eine Dichte \(\Delta \rho/\rho\), für einen Widerstand \(\Delta R/R\). Bei Länge, Weg und Volumen heißt es entsprechend \(\Delta l/l\), \(\Delta s/s\) und \(\Delta V/V\). Erst die relative Angabe macht Messungen vergleichbar, auch wenn sie ganz verschiedene Einheiten haben.
Schreibweisen
Die dimensionslose Zahl lässt sich auf drei Arten angeben. Man multipliziert mit 100 % für Prozent oder mit 1000 ‰ für Promille. Alternativ schreibt man sie als Zehnerpotenz. Wer dabei unsicher ist, findet die Regeln unter Prozent, Promille und Zehnerpotenzen. Für das Beispiel gilt:
\[0{,}016 = 1{,}6 \cdot 10^{-2} = 1{,}6\,\% = 16\,‰\]
Rückrechnung
Oft ist die relative Unsicherheit vorgegeben, etwa als Herstellerangabe eines Geräts. Dann erhält man die absolute Unsicherheit als Produkt aus relativer Unsicherheit und Messwert. Ein Messkolben mit 250 mL und 0,4 % Unsicherheit hat also \(0{,}004 \cdot 250\,\text{mL} = 1\,\text{mL}\) absolute Unsicherheit.
\[\text{relativ: } \frac{\Delta x}{x} \qquad \text{absolut: } \Delta x = \frac{\Delta x}{x} \cdot x\]
\(\Delta x\): absolute Unsicherheit in der Einheit von \(x\); \(x\): Messwert; \(\Delta x/x\): dimensionslos, in Prozent mal 100 %.
Die relative Unsicherheit als \(\Delta x/x\) ist ein Examensklassiker. Achte darauf, die Unsicherheit durch den Messwert zu teilen und vorher beide in dieselbe Einheit zu bringen. Für Prozent multiplizierst du das Ergebnis mit 100 %.
Berechnung
Die Rechnung ist immer gleich aufgebaut. Fehler entstehen meist beim Umrechnen der Einheiten oder beim Übergang zu Prozent und Promille.
- Einheiten angleichen: Messwert und absolute Unsicherheit in dieselbe Einheit bringen, etwa beide in g.
- Teilen: absolute Unsicherheit durch Messwert, ergibt eine dimensionslose Zahl.
- Umrechnen: mal 100 % für Prozent, mal 1000 ‰ für Promille oder als Zehnerpotenz schreiben.
Die Tabelle zeigt einige Beispiele. Man sieht: Dieselbe absolute Unsicherheit wiegt bei kleinen Messwerten relativ schwerer.
| Messergebnis | \(\Delta x/x\) | in Prozent |
|---|---|---|
| \(5{,}00\,\text{g} \pm 0{,}05\,\text{g}\) | \(0{,}01 = 10^{-2}\) | 1 % |
| \(40\,\text{g} \pm 1\,\text{g}\) | \(0{,}025\) | 2,5 % |
| \(600\,\text{g} \pm 20\,\text{g}\) | \(0{,}033\) | ca. 3,3 % |
| \(470\,\Omega \pm 4{,}7\,\Omega\) | \(10^{-2}\) | 1 % |
| \(8{,}0\,\text{s} \pm 0{,}2\,\text{s}\) | \(0{,}025\) | 2,5 % |
Mit einer geforderten Genauigkeit vergleichen
In der Praxis lautet die Frage oft: Hält die Messung eine vorgegebene Grenze ein? Dazu berechnet man die relative Unsicherheit und vergleicht sie mit der Grenze. Angenommen, eine Waage wiegt auf \(\pm 0{,}01\,\text{g}\) genau, und gefordert sind höchstens 1 %. Eine Einwaage von 4,00 g kommt auf 0,25 % und erfüllt die Vorgabe. Bei 0,80 g sind es dagegen 1,25 %, also zu ungenau. Die kleinste zulässige Einwaage liegt hier bei \(0{,}01\,\text{g} / 0{,}01 = 1\,\text{g}\).
Von Promille zur absoluten Unsicherheit
Auch die Gegenrichtung kommt vor. Eine Stoppuhr misst 3,20 s mit einer relativen Unsicherheit von 0,5 ‰. Promille heißt Tausendstel, also \(0{,}0005\). Damit gilt \(\Delta t = 0{,}0005 \cdot 3{,}20\,\text{s} = 0{,}0016\,\text{s} = 1{,}6\,\text{ms}\). Achte am Ende auf die verlangte Einheit.
Messwert sinnvoll runden
Ein Messwert ist nur so genau wie seine Unsicherheit. Ein Voltmeter zeigt 4,876 V an, der Hersteller gibt 2 % vom Messwert an. Die absolute Unsicherheit beträgt dann \(0{,}02 \cdot 4{,}876\,\text{V} \approx 0{,}0975\,\text{V}\), gerundet 0,1 V. Die Stellen hinter der ersten Dezimale sind damit bedeutungslos. Das sinnvolle Ergebnis lautet \((4{,}9 \pm 0{,}1)\,\text{V}\).
Erst die Unsicherheit auf eine, höchstens zwei geltende Ziffern runden. Dann den Messwert auf dieselbe Dezimalstelle runden.
Wie sich relative Unsicherheiten verhalten, wenn man Messgrößen multipliziert oder addiert, folgt in der Einheit zur maximalen Unsicherheit bei Summen und Produkten.
Unsicherheitsbalken
In Diagrammen zeigt man die Unsicherheit als Unsicherheitsbalken, auch Fehlerbalken genannt. Der Balken reicht vom Messpunkt um die absolute Unsicherheit nach oben und ebenso weit nach unten. Er spannt also das Intervall von \(y - \Delta y\) bis \(y + \Delta y\) auf. Seine halbe Länge ist die absolute Unsicherheit, die ganze Länge entspricht \(2\Delta y\).
Ein senkrechter Balken beschreibt die Unsicherheit der Größe auf der y-Achse. Ist auch die x-Größe unsicher, kommt ein waagerechter Balken hinzu. So entsteht ein kleines Kreuz um den Messpunkt.
Absolute Unsicherheit ablesen
Das Ablesen an Fehlerbalken wird im Examen gerne gefragt: Man liest die Balkenenden auf der Achse ab und halbiert die Differenz, oder man misst vom Messpunkt bis zu einem Ende. Das Ergebnis ist \(\Delta y\) in der Einheit der Achse. Teilt man es durch den abgelesenen Messwert, erhält man die relative Unsicherheit. Das funktioniert in jedem Diagrammtyp gleich, ob p-V-Diagramm, Dichtemessung oder Weg-Zeit- und Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm.
Ein Beispiel: Ein Messpunkt liegt bei 45 mL, der Balken reicht von 44 mL bis 46 mL. Dann ist \(\Delta V = 1\,\text{mL}\) und \(\Delta V/V = 1/45 \approx 2{,}2\,\%\).
Achsenbrüche
Viele Diagramme beginnen nicht bei null. Ein Zickzack auf der Achse markiert einen solchen Achsenbruch. Er spreizt den interessanten Bereich, sodass die Balken groß wirken. Die relative Unsicherheit bleibt trotzdem dieselbe, wie die beiden Diagramme zeigen.
Schätze die relative Unsicherheit nie aus dem optischen Verhältnis von Balkenlänge zu Abstand vom Diagrammrand. Lies immer die Zahlenwerte an der Achse ab und teile \(\Delta y\) durch den tatsächlichen Messwert.
Quiz
Aussage 1
Wiegt eine Waage stets auf \(\pm 0{,}01\,\text{g}\) genau, hat eine kleinere Einwaage die kleinere relative Unsicherheit.
Bei gleicher absoluter Unsicherheit wird die relative Unsicherheit größer, je kleiner der Messwert ist. 0,80 g ergeben 1,25 %, 4,00 g nur 0,25 %.
Aussage 2
Die gesamte Länge eines Unsicherheitsbalkens entspricht der absoluten Unsicherheit \(\Delta y\) des Messwerts.
Der Balken reicht von \(y - \Delta y\) bis \(y + \Delta y\). Die ganze Länge ist \(2\Delta y\), die halbe Länge entspricht \(\Delta y\).
Aussage 3
Eine Einwaage von \(25\,\text{g} \pm 0{,}5\,\text{g}\) hat eine relative Unsicherheit von 2 %.
\(0{,}5\,\text{g} / 25\,\text{g} = 0{,}02\), mal 100 % ergibt 2 %.
Aussage 4
Die relative Unsicherheit einer Massenbestimmung hat die Einheit Gramm.
Beim Quotienten \(\Delta m/m\) kürzen sich die Einheiten. Die relative Unsicherheit ist dimensionslos, nur die absolute Unsicherheit hat die Einheit Gramm.
Aussage 5
Eine Zeitmessung von 1,5 s mit einer relativen Unsicherheit von 2 ‰ hat eine absolute Unsicherheit von 3 ms.
2 ‰ sind 0,002. \(0{,}002 \cdot 1{,}5\,\text{s} = 0{,}003\,\text{s} = 3\,\text{ms}\).
Aussage 6
Bei einem Diagramm mit Achsenbruch lässt sich die relative Unsicherheit aus dem optischen Verhältnis von Balkenlänge zum Abstand des Punktes vom Diagrammrand abschätzen.
Der Achsenbruch verzerrt dieses Verhältnis. Man liest \(\Delta y\) und den Messwert an der Achse ab und bildet den Quotienten aus den Zahlenwerten.
Aussage 7
Ein Messkolben von 500 mL mit einer relativen Unsicherheit von 0,2 % hat eine absolute Unsicherheit von 1 mL.
Absolute Unsicherheit = relative Unsicherheit mal Messwert: \(0{,}002 \cdot 500\,\text{mL} = 1\,\text{mL}\).
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