Geraden, Steigung und Bewegungsdiagramme
Wie man Geradengleichungen liest, Steigungen aus Diagrammen bestimmt und Ort-, Geschwindigkeit- und Beschleunigung-Zeit-Diagramme über Tangenten ineinander übersetzt.
Das Wichtigste in Kürze
- Lineare Diagramme stellen Funktionen über Abszisse und Ordinate dar; die Tangentensteigung ist die Ableitung, die Fläche unter der Kurve das Integral.
- Eine steigende Gerade mit positivem Achsenabschnitt folgt \(y = a \cdot x + b\) mit \(a, b > 0\); eine Ursprungsgerade ist \(y = c \cdot x\).
- Die Steigung ist der Differenzenquotient \(\Delta y/\Delta x\), bei Ausgleichsgeraden aus zwei weit entfernten Punkten auf der Geraden abgelesen.
- Im s-t-Diagramm bedeutet eine waagrechte Tangente \(v = 0\); im v-t-Diagramm markiert die steilste Tangente die größte Beschleunigung.
- Eine parabelförmige s-t-Kurve zeigt gleichmäßige Beschleunigung; beim freien Fall aus der Ruhe beginnt sie mit Steigung null.
Worum es geht
Messwerte landen fast immer in einem Diagramm, etwa eine Temperaturkurve bei der Schmelzpunktbestimmung. Wer Steigung und Tangente sicher deutet, liest daraus Änderungsraten ab. Das ist die Grundlage für jede Auswertung im Praktikum und für die Bewegungsdiagramme der Mechanik.
Funktionen im Diagramm
Ein Diagramm hat zwei Achsen. Die waagrechte Abszisse trägt die unabhängige Größe, oft die Zeit. Die senkrechte Ordinate trägt die abhängige Größe. Die Punkte \((x, y)\) einer Funktion bilden ihren Graphen.
Zwei geometrische Eigenschaften des Graphen haben eine feste mathematische Bedeutung. Die Steigung der Tangente in einem Punkt ist die Ableitung an dieser Stelle. Die Fläche unter der Kurve ist das Integral. Unter einer v-t-Kurve liegt also der zurückgelegte Weg.
Geradengleichung
Eine Gerade folgt \(y = a \cdot x + b\). Die Steigung \(a\) sagt, um wie viel \(y\) pro Einheit \(x\) wächst. Der Achsenabschnitt \(b\) ist der y-Wert bei \(x = 0\). Liegen Messpunkte auf einer steigenden Geraden, die die y-Achse oberhalb des Ursprungs schneidet, passt der Term mit \(a > 0\) und \(b > 0\). Dagegen fällt \(y = b - a \cdot x\) mit positiven Konstanten. Eine Ursprungsgerade \(y = c \cdot x\) hat keinen additiven Achsenabschnitt. Als Gerade erscheint eine lineare Funktion nur bei linearen Achsen; logarithmische Skalen behandelt die Seite zur halblogarithmischen Darstellung.
Steigung ablesen
Die Steigung einer Geraden ist der Differenzenquotient zweier Punkte: Ordinatendifferenz durch Abszissendifferenz, im Temperatur-Zeit-Diagramm also \(\Delta T/\Delta t\). Bei streuenden Messwerten liest man die Punkte auf der Ausgleichsgeraden ab, nicht an einzelnen Messpunkten. Weit auseinanderliegende Punkte verringern den Ablesefehler.
Beispiel: Die Gerade läuft von 20 °C bei 0 min bis 50 °C bei 10 min. Dann gilt \(\Delta T/\Delta t = 30\ \mathrm{K}/10\ \mathrm{min} = 3\ \mathrm{K/min}\).
Bei einer gekrümmten Kurve ändert sich die Steigung von Punkt zu Punkt. Die Gerade durch zwei Kurvenpunkte heißt Sekante. Rückt der zweite Punkt immer näher, geht die Sekante in die Tangente über.
Der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(\Delta x \to 0\) ist der Differentialquotient \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\). Er ist die Steigung der Tangente und damit die Ableitung an dieser Stelle.
Bewegungsdiagramme
Im Ort-Zeit-Diagramm ist die Tangentensteigung die Geschwindigkeit \(v\). Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ist sie die Beschleunigung \(a\). Jedes Diagramm liefert also durch Ablesen der Steigung das nächste. Die Größen selbst erklärt die Seite zu Bewegungsdiagrammen.
| Merkmal im Diagramm | Bedeutung |
|---|---|
| s-t: waagrechte Tangente | \(v = 0\) |
| s-t: gerader Abschnitt | \(v\) konstant, waagrechte Stufe im v-t-Diagramm, \(a = 0\) |
| s-t: Parabelstück | gleichmäßig beschleunigt, v-t linear, a-t konstant |
| v-t: waagrechter Abschnitt | \(a = 0\) |
| v-t: steilste Tangente | betragsmäßig größte Beschleunigung |
Skalenwerte braucht man dafür nicht, die Form der Kurve genügt.
Das Zuordnen passender Bewegungsdiagramme wird im Examen gerne gefragt. Der freie Fall aus der Ruhe zeigt im Weg-Zeit-Diagramm eine Parabel, die mit waagrechter Tangente beginnt und immer steiler wird. Achte auf beides: Anfangssteigung null und Krümmung nach oben.
Quiz
Aussage 1
In einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ist der Betrag der Beschleunigung dort am größten, wo die Kurve die steilste Tangente hat.
Die Tangentensteigung im v-t-Diagramm ist die Beschleunigung, die steilste Stelle liefert also ihren größten Betrag.
Aussage 2
Die Gleichung \(y = b - a \cdot x\) mit positiven Konstanten \(a\) und \(b\) beschreibt eine steigende Gerade mit positivem Achsenabschnitt.
Wegen des negativen Vorzeichens vor \(a \cdot x\) fällt die Gerade. Steigend mit positivem Achsenabschnitt ist \(y = a \cdot x + b\) mit \(a, b > 0\).
Aussage 3
Die Steigung einer Ausgleichsgeraden bestimmt man am genauesten aus zwei benachbarten Messpunkten.
Man liest zwei weit auseinanderliegende Punkte auf der Ausgleichsgeraden selbst ab, nicht einzelne streuende Messpunkte.
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