Flächen und Volumina geometrischer Körper
Wie man Fläche, Oberfläche und Volumen von Kreis, Kugel, Zylinder und Würfel berechnet, Füllhöhen in zylindrischen Gefäßen bestimmt und das Oberfläche-Volumen-Verhältnis deutet.
Das Wichtigste in Kürze
- Für Kreis, Kugel, Zylinder und Würfel lassen sich Fläche, Oberfläche und Volumen mit einfachen Formeln berechnen, für runde Körper bequem über den Durchmesser \(d\).
- Kreisfläche \(A = \frac{\pi}{4}d^2\), Kugeloberfläche \(A = \pi d^2\), Kugelvolumen \(V = \frac{\pi}{6}d^3\).
- Das Zylindervolumen ist \(V = A \cdot h = \frac{\pi}{4}d^2 h\), die Füllhöhe folgt aus \(h = V/A\) nach Umrechnung \(1\ \text{L} = 10^{-3}\ \text{m}^3\).
- Bei gleichem Volumen gilt \(d_1^2 h_1 = d_2^2 h_2\): halber Durchmesser, vierfache Füllhöhe.
- Beim Würfel ist \(V = a^3\) und das Oberfläche-Volumen-Verhältnis \(A/V = 6/a\); es sinkt mit wachsender Kante und hat die Einheit einer reziproken Länge.
- Beim Zerteilen in \(N\) Teilwürfel gilt \(a_k = a/\sqrt[3]{N}\); Gesamtoberfläche und \(A/V\) steigen um den Faktor \(\sqrt[3]{N}\).
Worum es geht
Wie hoch eine Flüssigkeit in einem Gefäß steht und wie viel Oberfläche ein Pulver bietet, lässt sich mit wenigen Formeln für Kreis, Kugel, Zylinder und Würfel berechnen. Diese Geometrie steckt hinter Füllhöhen im Messzylinder ebenso wie hinter der schnelleren Auflösung fein zerkleinerter Arzneistoffe.
Kreis und Kugel
Für Kreis und Kugel rechnet man in der Praxis meist mit dem Durchmesser \(d\), weil er sich direkt messen lässt. Über \(r = d/2\) hängen die Formeln mit den bekannten Radiusformeln zusammen. Entscheidend ist, mit welcher Potenz von \(d\) eine Größe wächst.
| Größe | Formel | wächst mit |
|---|---|---|
| Kreisumfang | \(U = \pi d\) | \(d\) |
| Kreisfläche | \(A = \frac{\pi}{4}d^2\) | \(d^2\) |
| Kugeloberfläche | \(A = \pi d^2\) | \(d^2\) |
| Kugelvolumen | \(V = \frac{\pi}{6}d^3\) | \(d^3\) |
Verdoppelt man den Durchmesser einer Kugel, vervierfacht sich ihre Oberfläche. Ihr Volumen steigt dagegen auf das Achtfache. Die Kugeloberfläche ist genau viermal so groß wie die Fläche eines Kreises mit gleichem Durchmesser.
Zylinder und Füllhöhe
Einen Zylinder kann man sich als Kreisfläche vorstellen, die um die Höhe \(h\) nach oben geschoben wird. Sein Volumen ist deshalb Grundfläche mal Höhe. Mit der Kreisfläche aus dem vorigen Abschnitt folgt:
\[V = A \cdot h = \frac{\pi}{4}d^2 h\]
Das Volumen wächst linear mit der Höhe und quadratisch mit dem Durchmesser.
Messzylinder, Bechergläser und viele Vorratsgefäße sind zylindrisch. Sind zwei der drei Größen bekannt, folgt die dritte direkt: \(h = V/A\) und \(A = V/h\).
Füllhöhe und Bodenfläche
Die meisten Fehler entstehen bei den Einheiten. Volumina stehen oft in Litern, Flächen in Quadratmetern. Vor dem Einsetzen rechnet man deshalb um: \(1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 10^{-3}\ \text{m}^3\). Den Umgang mit Zehnerpotenzen zeigt die Einheit Zehnerpotenzen und Logarithmen.
- Umrechnen: 2,5 L Lösung entsprechen \(2{,}5 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3\).
- Einsetzen: Bei einer Bodenfläche von \(0{,}05\ \text{m}^2\) gilt \(h = \frac{2{,}5 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3}{0{,}05\ \text{m}^2} = 0{,}05\ \text{m}\).
- Ergebnis: Die Füllhöhe beträgt 5 cm.
Umgekehrt funktioniert es genauso. Füllen 6 L ein Gefäß 0,3 m hoch, dann ist \(A = \frac{6 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3}{0{,}3\ \text{m}} = 0{,}02\ \text{m}^2\). Das sind 200 cm².
Füllhöhe bei anderem Durchmesser
Gießt man dieselbe Flüssigkeit in ein Gefäß mit anderem Durchmesser, bleibt \(V\) gleich. Der Faktor \(\pi/4\) kürzt sich heraus:
\[d_1^2 h_1 = d_2^2 h_2 \quad\Rightarrow\quad h_2 = h_1 \cdot \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2\]
Die Füllhöhe ändert sich also mit dem Quadrat des Durchmesserverhältnisses. Halber Durchmesser bedeutet vierfache Höhe, wie die Abbildung zeigt. Ein Beispiel: Eine Lösung steht in einem Becherglas mit 8 cm Durchmesser 3 cm hoch. In einem Zylinder mit 4 cm Durchmesser steigt sie auf \(3\ \text{cm} \cdot 2^2 = 12\ \text{cm}\). Verdreifacht man den Durchmesser, sinkt die Höhe auf ein Neuntel.
Würfel und Oberfläche-Volumen-Verhältnis
Ein Würfel mit der Kantenlänge \(a\) hat das Volumen \(V = a^3\). Verdoppelt man die Kante, steigt das Volumen also auf das Achtfache. Seine Oberfläche besteht aus sechs gleichen Quadraten: \(A = 6a^2\).
Das Verhältnis \(A/V\) gibt an, wie viel Oberfläche auf eine Volumeneinheit eines Körpers entfällt. Es hat die Einheit einer reziproken Länge, etwa \(\text{cm}^{-1}\) oder \(\text{m}^{-1}\).
Für den Würfel kürzt sich der Bruch zu \(A/V = 6a^2/a^3 = 6/a\). Das Verhältnis sinkt also umgekehrt proportional zur Kantenlänge. Kleine Körper haben viel Oberfläche im Verhältnis zu ihrem Inhalt, große wenig. Für die Kugel ergibt sich analog \(A/V = 6/d\).
Weil \(A/V\) eine Einheit trägt, hängt sein Zahlenwert von der gewählten Längeneinheit ab. Ein Würfel mit 3 cm Kante hat \(A/V = 2\ \text{cm}^{-1}\), einer mit 12 cm Kante nur \(0{,}5\ \text{cm}^{-1}\). In \(\text{m}^{-1}\) ausgedrückt wären beide Werte hundertmal größer. Ob das Verhältnis über oder unter 1 liegt, sagt deshalb nichts Grundsätzliches über den Körper aus.
Zerteilen in Teilwürfel
Zerlegt man einen Würfel in \(N\) gleich große Teilwürfel, bleibt das Gesamtvolumen erhalten: \(N \cdot a_k^3 = a^3\). Daraus folgt die Kantenlänge jedes Teilwürfels:
\[a_k = \frac{a}{\sqrt[3]{N}}\]
Aus 8 Teilwürfeln werden Würfel mit halber Kante, aus 1000 Teilwürfeln solche mit einem Zehntel der Kante. Die Gesamtoberfläche wächst um denselben Faktor \(\sqrt[3]{N}\), ebenso das Verhältnis \(A/V\). Die Abbildung zeigt das für einen Würfel mit 6 cm Kante. Seine 27 Teilwürfel haben je 2 cm Kante. Die Gesamtoberfläche steigt von 216 cm² auf 648 cm², \(A/V\) von \(1\ \text{cm}^{-1}\) auf \(3\ \text{cm}^{-1}\).
Genau diesen Effekt nutzt man beim Zerkleinern von Feststoffen. Feinere Partikel bieten mehr Oberfläche und lösen sich deshalb schneller.
Quiz
Aussage 1
Zerlegt man einen Würfel in 8 gleich große Teilwürfel, halbiert sich die Kantenlänge und das Verhältnis \(A/V\) verdoppelt sich.
Aus der Volumenerhaltung folgt \(a_k = a/\sqrt[3]{8} = a/2\). Mit \(A/V = 6/a\) verdoppelt sich das Verhältnis.
Aussage 2
Das Oberfläche-Volumen-Verhältnis eines Würfels ist eine dimensionslose Zahl.
\(A/V = 6/a\) hat die Einheit einer reziproken Länge, etwa \(\text{cm}^{-1}\). Sein Zahlenwert hängt daher von der Längeneinheit ab.
Aussage 3
Verdoppelt man den Durchmesser einer Kugel, steigt ihr Volumen auf das Achtfache.
Das Kugelvolumen \(V = \frac{\pi}{6}d^3\) wächst mit der dritten Potenz des Durchmessers: \(2^3 = 8\).
Aussage 4
Die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser \(d\) beträgt \(A = \pi d^2\).
\(\pi d^2\) ist die Oberfläche einer Kugel. Die Kreisfläche beträgt \(A = \frac{\pi}{4}d^2\).
Aussage 5
Füllt man dasselbe Volumen in einen Zylinder mit doppeltem Durchmesser, halbiert sich die Füllhöhe.
Wegen \(d_1^2 h_1 = d_2^2 h_2\) sinkt die Füllhöhe auf ein Viertel, denn der Durchmesser geht quadratisch ein.
Aussage 6
3 L Flüssigkeit in einem zylindrischen Gefäß mit einer Bodenfläche von \(0{,}06\ \text{m}^2\) stehen 5 cm hoch.
\(h = V/A = 3 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^3 / 0{,}06\ \text{m}^2 = 0{,}05\ \text{m} = 5\ \text{cm}\).
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