Stoffmenge, Mol und Avogadro-Konstante
Wie das Mol definiert ist, welchen Wert die Avogadro-Konstante hat und wie man aus Stoffmenge oder Masse eine Teilchenzahl berechnet.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Stoffmenge \(n\) ist die SI-Basisgröße für die Teilchenzahl einer Portion. Ihre Einheit ist das Mol, das genau \(6{,}02214076 \cdot 10^{23}\) Teilchen umfasst (früher: so viele Teilchen wie Atome in 12 g \(\ce{^{12}C}\)).
- Gleiche Stoffmengen verschiedener Stoffe enthalten gleich viele Moleküle, aber je nach Formel unterschiedlich viele Atome: 1 mol \(\ce{H2O}\) hat 3, 1 mol \(\ce{C6H6}\) 12 Atome je Molekül.
- Die Avogadro-Konstante beträgt rund \(6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\) und gibt die Teilchenzahl pro Mol an. 1 mol \(\ce{N2O}\) enthält \(2 N_\mathrm{A}\) Stickstoffatome.
- \(N_\mathrm{A}\) verknüpft Konstanten pro Teilchen und pro Mol: \(N_\mathrm{A} = F/e = R/k_\mathrm{B}\) (Quotient, nicht Produkt).
- Die Teilchenzahl folgt aus \(N = n \cdot N_\mathrm{A}\) bzw. \(N = \frac{m}{M} \cdot N_\mathrm{A}\). Mikro steht für \(10^{-6}\).
- Mit \(M(\ce{H2O}) \approx\) 18 g/mol enthält 1 g Wasser etwa \(3{,}3 \cdot 10^{22}\) Moleküle, 100 g etwa \(3{,}3 \cdot 10^{24}\).
Worum es geht
Chemische Reaktionen laufen zwischen einzelnen Teilchen ab, doch in der Apotheke wiegt man Gramm und Milligramm ab. Die Stoffmenge und die Avogadro-Konstante verbinden diese beiden Ebenen. Mit ihnen rechnest du jede Einwaage in eine Teilchenzahl um, etwa die Zahl der Paracetamol-Moleküle in einer Tablette.
Mengengrößen im Überblick
Wie viel von einem Stoff vorliegt, lässt sich auf drei Arten angeben. Die Masse sagt, wie schwer eine Portion ist. Das Volumen sagt, wie viel Raum sie einnimmt. Die Stoffmenge sagt, wie viele Teilchen sie enthält.
| Mengengröße | Symbol | SI-Einheit | erfasst |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | kg | Schwere der Portion |
| Volumen | \(V\) | \(\mathrm{m^3}\) | eingenommenen Raum |
| Stoffmenge | \(n\) | mol | Zahl der Teilchen |
Die Stoffmenge ist eine der sieben Basisgrößen des SI. Ihre Einheit ist das Mol (Zeichen mol). Für die Chemie ist sie die natürlichste Mengenangabe. Reaktionsgleichungen beschreiben nämlich, wie viele Teilchen miteinander reagieren, und nicht, wie viele Gramm.
Daneben steht die Teilchenanzahl \(N\). Sie ist eine reine Zählgröße und damit dimensionslos: 1000 Moleküle sind einfach die Zahl 1000. Die Stoffmenge fasst diese riesigen Zahlen zu handlichen Paketen zusammen. Wie Masse und Volumen über die Dichte zusammenhängen, steht unter Dichte.
Definition des Mols
Das Mol ist ein Zählpaket, ähnlich wie ein Dutzend. Ein Dutzend sind immer zwölf Stück, ob Eier oder Schrauben. Ein Mol ist immer dieselbe, allerdings riesige Zahl von Teilchen.
1 mol ist die Stoffmenge, die genau \(6{,}02214076 \cdot 10^{23}\) Einzelteilchen enthält. Ein Mol ist also eine Stoffmenge mit einer festgelegten Teilchenanzahl.
Diese Fassung gilt seit 2019. Vorher wurde das Mol über Kohlenstoff definiert. 1 mol war die Stoffmenge, die so viele Teilchen enthält, wie Atome in 12 g des Nuklids \(\ce{^{12}C}\) stecken. Heute legt man stattdessen den Zahlenwert der Avogadro-Konstante fest. Praktisch ändert sich nichts: 12 g \(\ce{^{12}C}\) enthalten weiterhin, mit winziger Messunsicherheit, ein Mol Atome. Beide Formulierungen sind deshalb richtig, die neue ist die verbindliche.
Aus der Definition folgt direkt: Ein Mol jedes Stoffes enthält gleich viele Teilchen. Die Art der Teilchen spielt keine Rolle. Gleiche Stoffmengen verschiedener Stoffe enthalten also gleich viele Moleküle. 1 mol Wasser und 1 mol Benzen bestehen beide aus \(6{,}022 \cdot 10^{23}\) Molekülen.
Bei den Atomen sieht es anders aus. Ein Wassermolekül \(\ce{H2O}\) besteht aus 3 Atomen, ein Benzenmolekül \(\ce{C6H6}\) aus 12. Daher enthält 1 mol Wasser \(3 \cdot 6{,}022 \cdot 10^{23}\) Atome, 1 mol Benzen dagegen \(12 \cdot 6{,}022 \cdot 10^{23}\) Atome. Gleich ist nur die Zahl der Teilchen, auf die sich die Stoffmenge bezieht.
Deshalb muss man bei jeder Stoffmenge sagen, welche Teilchen gemeint sind: Atome, Moleküle, Ionen oder Elektronen. „1 mol Sauerstoff“ ist mehrdeutig. 1 mol \(\ce{O2}\)-Moleküle enthält doppelt so viele Sauerstoffatome wie 1 mol O-Atome.
Avogadro-Konstante
Die Avogadro-Konstante \(N_\mathrm{A}\) ist die Teilchenzahl pro Mol. Ihr Wert ist seit 2019 exakt festgelegt:
\[N_\mathrm{A} = 6{,}02214076 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\]
Für Rechnungen genügt \(6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\), für Abschätzungen rund \(6 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\). Die Einheit \(\mathrm{mol^{-1}}\) gehört dazu. Sie zeigt, dass \(N_\mathrm{A}\) eine Anzahl pro Stoffmenge ist und keine nackte Zahl.
Wert und Bedeutung von \(N_\mathrm{A}\) werden im Examen gerne gefragt: rund \(6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\), also die Teilchenzahl in 1 mol. Achte darauf, ob nach Molekülen oder nach Atomen gefragt ist, denn bei mehratomigen Teilchen vervielfacht sich die Atomzahl.
Der Zahlenwert lässt sich an einfachen Beispielen festmachen. Er entspricht der Zahl der Atome in 12 g \(\ce{^{12}C}\). Ebenso entspricht er der Atomzahl in 1 mol eines Elements, das atomar vorliegt, etwa des Edelgases Xenon. Dort ist jedes Teilchen ein einzelnes Atom.
Bei Verbindungen zählt man über die Formel. 1 mol Distickstoffmonoxid \(\ce{N2O}\) enthält \(N_\mathrm{A}\) Moleküle. Jedes Molekül trägt aber zwei Stickstoffatome. Also stecken darin doppelt so viele N-Atome, wie \(N_\mathrm{A}\) angibt, und genau \(N_\mathrm{A}\) Sauerstoffatome.
Zwei Größen werden leicht mit \(N_\mathrm{A}\) verwechselt. Die Masse eines \(\ce{^{12}C}\)-Atoms beträgt 12 u, also etwa \(1{,}99 \cdot 10^{-26}\) kg. Sie ist eine Masse und keine Teilchenzahl. Die Teilchenzahl je Volumen eines idealen Gases unter Normbedingungen ist die Loschmidt-Konstante. Sie liegt bei rund \(2{,}7 \cdot 10^{25}\,\mathrm{m^{-3}}\) und bezieht sich auf ein Volumen statt auf ein Mol.
Brücke zwischen Teilchen und Mol
Manche Naturkonstanten gibt es in zwei Fassungen: einmal pro Teilchen, einmal pro Mol. Die Avogadro-Konstante rechnet die eine in die andere um. Die Elementarladung \(e\) ist die Ladung eines einzelnen Elektrons. Die Faraday-Konstante \(F\) ist die Ladung eines Mols Elektronen. Daher gilt \(F = N_\mathrm{A} \cdot e\). Genauso ist die Gaskonstante \(R\) die molare Fassung der Boltzmann-Konstante \(k_\mathrm{B}\), also \(R = N_\mathrm{A} \cdot k_\mathrm{B}\).
Umgestellt ergibt sich:
\[N_\mathrm{A} = \frac{F}{e} = \frac{R}{k_\mathrm{B}}\]
Zur Probe: \(96\,485\,\mathrm{C/mol}\) geteilt durch \(1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\) ergibt \(6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\). Ebenso liefert \(8{,}314\,\mathrm{J/(mol\,K)}\) geteilt durch \(1{,}381 \cdot 10^{-23}\,\mathrm{J/K}\) denselben Wert. Was \(F\) in der Elektrochemie leistet, steht unter Faraday’sche Gesetze. \(R\) und \(k_\mathrm{B}\) begegnen dir bei der Zustandsgleichung idealer Gase.
\(N_\mathrm{A}\) ist der Quotient \(F/e\), nicht das Produkt \(F \cdot e\). Die Einheit verrät es: \(F \cdot e\) hätte die Einheit \(\mathrm{C^2/mol}\), nur \(F/e\) ergibt \(\mathrm{mol^{-1}}\).
Teilchenanzahl berechnen
Stoffmenge und Teilchenanzahl hängen über die Avogadro-Konstante zusammen. Man multipliziert die Zahl der Pakete mit der Zahl der Teilchen pro Paket.
\[N = n \cdot N_\mathrm{A}\]
\(N\): Teilchenanzahl (dimensionslos), \(n\): Stoffmenge in mol, \(N_\mathrm{A}\): Avogadro-Konstante in \(\mathrm{mol^{-1}}\).
Die Einheit mol kürzt sich gegen \(\mathrm{mol^{-1}}\). Übrig bleibt eine reine Zahl, wie es für eine Teilchenanzahl sein muss.
Kleine Stoffmengen mit Präfix
In der Analytik und bei Wirkstoffen sind Stoffmengen oft winzig. Man gibt sie dann mit einem dezimalen Vorsatz an. Der Vorsatz Mikro (\(\mu\)) steht für den Faktor \(10^{-6}\). 1 µmol sind also \(10^{-6}\) mol. Vor dem Einsetzen rechnest du den Vorsatz immer in eine Zehnerpotenz um.
- Umrechnen: \(n = 2{,}5\,\mu\mathrm{mol} = 2{,}5 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{mol}\)
- Einsetzen: \(N = 2{,}5 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{mol} \cdot 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\)
- Potenzen zusammenfassen: \(2{,}5 \cdot 6{,}022 \approx 15\) und \(10^{-6} \cdot 10^{23} = 10^{17}\)
- Ergebnis: \(N \approx 15 \cdot 10^{17} = 1{,}5 \cdot 10^{18}\) Teilchen
Auch ein Mikromol enthält also noch rund \(6 \cdot 10^{17}\) Teilchen. Zur schnellen Kontrolle addierst du nur die Exponenten: \(-6 + 23 = 17\).
Von der Masse zur Teilchenzahl
Meist ist nicht die Stoffmenge gegeben, sondern eine Einwaage. Dann braucht man einen Zwischenschritt über die molare Masse \(M\). Sie gibt an, wie viel Gramm ein Mol eines Stoffes wiegt, und wird unter Molare Masse und Konzentration ausführlich behandelt. Die Masse geteilt durch \(M\) ergibt die Stoffmenge \(n = m/M\). Diese Stoffmenge mal \(N_\mathrm{A}\) ergibt die Teilchenzahl.
Zusammengesetzt lautet die Beziehung:
\[N = \frac{m}{M} \cdot N_\mathrm{A}\]
Das Standardbeispiel ist Wasser. Seine molare Masse beträgt etwa 18 g/mol: zweimal 1 g/mol für Wasserstoff und 16 g/mol für Sauerstoff. Für 1 g Wasser ergibt sich:
\[N = \frac{1\,\mathrm{g}}{18\,\mathrm{g/mol}} \cdot 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} \approx 0{,}0556\,\mathrm{mol} \cdot 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} \approx 3{,}3 \cdot 10^{22}\]
1 g Wasser enthält also rund \(3{,}3 \cdot 10^{22}\) Moleküle. Dieser Wert wird im Examen gerne gefragt, und du solltest ihn sicher herleiten können. Achte darauf, durch 18 g/mol zu teilen und nicht mit \(M\) zu multiplizieren. Die Molekülzahl wächst proportional zur Masse. 100 g Wasser enthalten daher hundertmal so viele, also etwa \(3{,}3 \cdot 10^{24}\) Moleküle.
Dieselbe Rechnung funktioniert für jeden Arzneistoff. Eine Tablette mit 500 mg Paracetamol (\(M = 151{,}2\,\mathrm{g/mol}\)) enthält:
\[N = \frac{0{,}500\,\mathrm{g}}{151{,}2\,\mathrm{g/mol}} \cdot 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} \approx 3{,}31 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{mol} \cdot 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} \approx 2{,}0 \cdot 10^{21}\]
Soll statt der Molekülzahl eine Atomzahl herauskommen, multiplizierst du zum Schluss mit der Zahl dieser Atome pro Molekül. In 1 g Wasser stecken so etwa \(6{,}6 \cdot 10^{22}\) Wasserstoffatome.
Masse durch molare Masse ergibt Mol, Mol mal \(N_\mathrm{A}\) ergibt Teilchen. Präfixe wie Mikro vorher in Zehnerpotenzen übersetzen.
Quiz
Aussage 1
Seit 2019 ist das Mol über einen exakt festgelegten Zahlenwert der Avogadro-Konstante definiert.
Seit der SI-Reform gilt: 1 mol enthält genau \(6{,}02214076 \cdot 10^{23}\) Teilchen. Die frühere Definition bezog sich auf die Atome in 12 g \(\ce{^{12}C}\).
Aussage 2
In einem Mol Distickstoffmonoxid \(\ce{N2O}\) stecken genau so viele Stickstoffatome, wie der Zahlenwert der Avogadro-Konstante angibt.
1 mol \(\ce{N2O}\) enthält \(N_\mathrm{A}\) Moleküle mit je zwei N-Atomen, also \(2 N_\mathrm{A}\) Stickstoffatome.
Aussage 3
Ein Mol Wasser und ein Mol Benzen enthalten gleich viele Atome.
Gleich ist nur die Zahl der Moleküle. Ein \(\ce{H2O}\)-Molekül hat 3 Atome, ein \(\ce{C6H6}\)-Molekül 12, also enthält 1 mol Benzen viermal so viele Atome.
Aussage 4
Ein Gramm Wasser enthält rund \(3{,}3 \cdot 10^{22}\) Moleküle.
\(N = \frac{1\,\mathrm{g}}{18\,\mathrm{g/mol}} \cdot 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} \approx 3{,}3 \cdot 10^{22}\).
Aussage 5
Teilt man die Gaskonstante \(R\) durch die Boltzmann-Konstante \(k_\mathrm{B}\), ergibt sich die Avogadro-Konstante.
\(R\) ist die molare Fassung von \(k_\mathrm{B}\): \(R = N_\mathrm{A} \cdot k_\mathrm{B}\), also \(N_\mathrm{A} = R/k_\mathrm{B}\).
Aussage 6
Die Avogadro-Konstante hat den Wert von etwa \(6{,}022 \cdot 10^{23}\) und die Einheit \(\mathrm{mol^{-1}}\).
\(N_\mathrm{A}\) ist die Teilchenzahl pro Mol, daher die Einheit \(\mathrm{mol^{-1}}\).
Aussage 7
Multipliziert man die Faraday-Konstante mit der Elementarladung, erhält man die Avogadro-Konstante.
Es gilt \(F = N_\mathrm{A} \cdot e\), also \(N_\mathrm{A} = F/e\). Nur der Quotient liefert die Einheit \(\mathrm{mol^{-1}}\).
Aussage 8
Eine Stoffmenge von 3 µmol entspricht etwa \(1{,}8 \cdot 10^{24}\) Teilchen.
Mikro steht für \(10^{-6}\): \(3 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{mol} \cdot 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} \approx 1{,}8 \cdot 10^{18}\) Teilchen.
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