Dichte: Definition, Einheit und Berechnung
Die Dichte als bezogene Größe: Definition, SI-Einheit, Umrechnung, Eigenschaften und Berechnung für Würfel, Quader und Kugel.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Dichte ist eine bezogene Größe: der Quotient aus Masse und Volumen, \(\rho = m/V\).
- Die SI-Einheit ist \(\mathrm{kg/m^3}\), und es gilt \(1\,\mathrm{g/cm^3} = 10^3\,\mathrm{kg/m^3}\).
- Die Teilchenanzahldichte \(n = N/V\) gibt die Teilchenzahl pro Volumen an.
- Die Dichte ist materialspezifisch und temperaturabhängig, aber auf Mond und Erde bei gleicher Temperatur gleich.
- Würfel: \(\rho = m/a^3\), Quader: \(\rho = m/(abc)\), Kugel: \(\rho\) ist proportional zu \(m/d^3\).
Worum es geht
Die Dichte verknüpft Masse und Volumen eines Stoffes. In der Apotheke braucht man sie ständig, etwa um die abgewogene Masse einer Flüssigkeit wie Glycerol in ein Volumen umzurechnen. Sie ist das bekannteste Beispiel einer bezogenen Größe.
Bezogene Größen
Eine bezogene Größe ist der Quotient zweier Größen. Sie gibt an, wie viel von einer Größe auf eine Einheit der anderen entfällt. Aus SI-Basisgrößen entstehen so abgeleitete Größen.
Steht das Volumen im Nenner, spricht man von volumenbezogenen Größen, oft auch von einer Dichte. Steht die Stoffmenge im Nenner, entstehen stoffmengenbezogene oder molare Größen wie die molare Masse. Ein weiteres Beispiel ist die Teilchenanzahldichte \(n = N/V\). Sie zählt die Teilchen pro Volumen und hat die Einheit \(\mathrm{m^{-3}}\).
Definition und Einheit
Die Massendichte, kurz Dichte, teilt die Masse eines Körpers durch sein Volumen.
\[\rho = \frac{m}{V}\]
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| \(\rho\) | Massendichte | \(\mathrm{kg/m^3}\) |
| \(m\) | Masse | \(\mathrm{kg}\) |
| \(V\) | Volumen | \(\mathrm{m^3}\) |
Die SI-Einheit ist \(\mathrm{kg/m^3}\). Im Labor rechnet man meist mit \(\mathrm{g/cm^3}\), was \(\mathrm{g/mL}\) entspricht. Zum Umrechnen ersetzt man Zähler und Nenner getrennt: \(1\,\mathrm{g} = 10^{-3}\,\mathrm{kg}\) und \(1\,\mathrm{cm^3} = 10^{-6}\,\mathrm{m^3}\).
\[1\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}} = \frac{10^{-3}\,\mathrm{kg}}{10^{-6}\,\mathrm{m^3}} = 10^{3}\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\]
Wasser hat also rund 1 g/cm³ = 1000 kg/m³. Ein häufiger Fehler ist, nur den Faktor der Masse zu beachten oder den Nenner nicht zu kubieren.
Eigenschaften der Dichte
Die Dichte ist materialspezifisch. Ein Liter Ethanol wiegt weniger als ein Liter Wasser, ein Liter Quecksilber deutlich mehr. Deshalb hilft die Dichte, Stoffe zu identifizieren.
Sie hängt von der Temperatur ab. Die meisten Stoffe dehnen sich beim Erwärmen aus, das Volumen wächst bei gleicher Masse, und die Dichte sinkt. Die Ursache behandelt die Volumenausdehnung. Dichteangaben gelten daher immer für eine bestimmte Temperatur.
Vom Ort hängt die Dichte dagegen nicht ab. Auf dem Mond ist die Gewichtskraft kleiner, doch Masse und Volumen bleiben gleich. Bei gleicher Temperatur hat ein Körper auf Mond und Erde dieselbe Dichte.
Dichte geometrischer Körper
Bei einem homogenen Körper mit einfacher Form berechnet man das Volumen aus den Abmessungen. Für den Würfel gilt \(V = a^3\), für den Quader \(V = a \cdot b \cdot c\) und für die Kugel \(V = \frac{\pi}{6} d^3 = \frac{4}{3}\pi r^3\).
Ein Metallquader wiegt 48,6 g und misst 2 cm × 3 cm × 3 cm.
- Volumen: \(V = 2\,\mathrm{cm} \cdot 3\,\mathrm{cm} \cdot 3\,\mathrm{cm} = 18\,\mathrm{cm^3}\)
- Dichte: \(\rho = 48{,}6\,\mathrm{g} / 18\,\mathrm{cm^3} = 2{,}7\,\mathrm{g/cm^3}\)
- Umrechnen: \(2{,}7\,\mathrm{g/cm^3} = 2700\,\mathrm{kg/m^3}\), passend zu Aluminium
Für die Kugel folgt \(\rho = \frac{6m}{\pi d^3}\), also ist \(\rho\) proportional zu \(m/d^3\). Verdoppelt sich bei gleicher Masse der Durchmesser, sinkt die Dichte auf ein Achtel. Typische Fehler sind, Radius und Durchmesser zu verwechseln oder Kanten in unterschiedlichen Einheiten zu multiplizieren.
Quiz
Aussage 1
Eine Dichte von \(0{,}8\,\mathrm{g/cm^3}\) entspricht \(800\,\mathrm{kg/m^3}\).
Es gilt \(1\,\mathrm{g/cm^3} = 10^3\,\mathrm{kg/m^3}\), also \(0{,}8\,\mathrm{g/cm^3} = 800\,\mathrm{kg/m^3}\).
Aussage 2
Hat eine Kugel bei gleicher Masse den doppelten Durchmesser, halbiert sich ihre Dichte.
Die Dichte ist proportional zu \(m/d^3\). Der doppelte Durchmesser verachtfacht das Volumen, die Dichte sinkt auf ein Achtel.
Aussage 3
Ein Eisenwürfel hat auf dem Mond eine kleinere Dichte als auf der Erde, weil dort die Schwerkraft geringer ist.
Masse und Volumen hängen nicht vom Ort ab. Nur die Gewichtskraft ist auf dem Mond kleiner, die Dichte bleibt bei gleicher Temperatur gleich.
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