Größen und Einheiten

Zusammengesetzte Einheiten umrechnen

Wie man Einheiten wie m/s, m/s², g/cm³ oder kJ/g umrechnet, indem man Zähler und Nenner getrennt behandelt.

Prüfungsrelevanz: gut zu wissen ✓ gelesen
Das Wichtigste in Kürze5 Punkte
  • Eine zusammengesetzte Einheit ist ein Bruch aus Einheiten. Man rechnet Zähler und Nenner getrennt um.
  • \(1\,\mathrm{m/s} = 3{,}6\,\mathrm{km/h}\): von m/s nach km/h mal 3,6, zurück durch 3,6.
  • \(1\,\mathrm{cm/s} = 0{,}036\,\mathrm{km/h}\) und \(1\,\mathrm{m/s} = 10^{-3}\,\mathrm{mm/\mu s}\).
  • Wird bei einer Beschleunigung nur die Längeneinheit auf ein Hundertstel verkleinert, wird der Zahlenwert 100-mal größer.
  • \(1\,\mathrm{g/cm^3} = 1\,\mathrm{kg/L} = 10^{3}\,\mathrm{kg/m^3}\) und \(1\,\mathrm{kJ/g} = 10^{6}\,\mathrm{J/kg}\).

Worum es geht

Geschwindigkeit, Dichte und Energie pro Masse haben Einheiten, die aus mehreren Einheiten zusammengesetzt sind. Man rechnet sie um wie einen Bruch. In der Pharmazie braucht man das etwa für Dichteangaben von Flüssigkeiten in g/cm³, kg/L oder kg/m³.

Geschwindigkeit

Eine zusammengesetzte Einheit wie m/s ist ein Bruch. Man rechnet deshalb Zähler und Nenner getrennt um und setzt die neuen Einheiten ein. Die nötigen Vorsilben stehen unter Dezimale Vorsilben.

  1. Zähler: \(1\,\mathrm{m} = \frac{1}{1000}\,\mathrm{km}\).
  2. Nenner: \(1\,\mathrm{s} = \frac{1}{3600}\,\mathrm{h}\).
  3. Zusammensetzen: \(1\,\mathrm{m/s} = \frac{1/1000\,\mathrm{km}}{1/3600\,\mathrm{h}} = 3{,}6\,\mathrm{km/h}\).

Schema: m pro s wird über 1 m = 1/1000 km und 1 s = 1/3600 h zu 3,6 km pro h umgerechnet; Pfeile zeigen Multiplikation und Division mit 3,6.

Herleitung des Faktors 3,6: Länge im Zähler und Zeit im Nenner werden getrennt umgerechnet.

Von m/s nach km/h multipliziert man also mit 3,6. Zurück teilt man durch 3,6. So sind 20 m/s genau 72 km/h, und 90 km/h ergeben 25 m/s.

💡 Merke

km/h ist die kleinere Einheit. Deshalb wird der Zahlenwert beim Wechsel von m/s nach km/h größer: mal 3,6.

Nach demselben Muster entsteht jeder andere Faktor. Für cm/s gilt \(1\,\mathrm{cm/s} = \frac{10^{-5}\,\mathrm{km}}{1/3600\,\mathrm{h}} = 0{,}036\,\mathrm{km/h}\). Auch sehr kleine Einheiten gehen so: \(1\,\mathrm{m/s} = \frac{10^{3}\,\mathrm{mm}}{10^{6}\,\mathrm{\mu s}} = 10^{-3}\,\mathrm{mm/\mu s}\).

Um Geschwindigkeiten zu vergleichen, bringt man alle auf eine gemeinsame Einheit:

Angabe Rechnung in km/h
0,4 m/s \(0{,}4 \cdot 3{,}6\) 1,44
20 m/min \(20 \cdot 60 / 1000\) 1,2
1200 m/h \(1200 / 1000\) 1,2
800 mm/min \(0{,}8 \cdot 60 / 1000\) 0,048

Am schnellsten ist hier 0,4 m/s.

Beschleunigung

Bei der Beschleunigung steht die Länge im Zähler und die Zeit zum Quadrat im Nenner (siehe Beschleunigung in Basiseinheiten). Ändert man nur die Längeneinheit, ändert sich der Zahlenwert um denselben Faktor wie bei einer Länge.

Ein Meter hat 1000 Millimeter, also gilt \(1\,\mathrm{m/s^2} = 10^{3}\,\mathrm{mm/s^2}\). Ist die neue Längeneinheit ein Hundertstel der alten, wird der Zahlenwert hundertmal größer: \(9{,}81\,\mathrm{m/s^2} = 981\,\mathrm{cm/s^2}\). Das folgt aus der Regel kleinere Einheit, größerer Zahlenwert.

Erst wenn sich die Zeiteinheit ändert, wirkt das Quadrat im Nenner. Aus \(1\,\mathrm{m/s^2} = \frac{1\,\mathrm{m}}{(1/60\,\mathrm{min})^2}\) werden \(3600\,\mathrm{m/min^2}\).

Dichte und spezifische Energie

Dichten werden oft in g/cm³ angegeben (zur Größe selbst siehe Dichte). Weil \(1\,\mathrm{cm^3} = 1\,\mathrm{mL}\) ist (Liter), bedeutet g/cm³ dasselbe wie kg/L. Zähler und Nenner wachsen beide um den Faktor 1000, der Zahlenwert bleibt gleich.

Für kg/m³ rechnet man getrennt: \(1\,\mathrm{g} = 10^{-3}\,\mathrm{kg}\) und \(1\,\mathrm{cm^3} = 10^{-6}\,\mathrm{m^3}\). Daraus folgt \(1\,\mathrm{g/cm^3} = 10^{3}\,\mathrm{kg/m^3}\). Glycerol mit 1,26 g/cm³ hat also 1,26 kg/L oder 1260 kg/m³. Mikro und Milli lösen sich genauso auf: \(1\,\mathrm{mg/\mu L} = \frac{10^{-3}\,\mathrm{g}}{10^{-3}\,\mathrm{mL}} = 1\,\mathrm{g/mL}\).

Die spezifische Energie ist Energie pro Masse (Joule). Hier gilt \(1\,\mathrm{kJ/g} = \frac{10^{3}\,\mathrm{J}}{10^{-3}\,\mathrm{kg}} = 10^{6}\,\mathrm{J/kg}\). Das Kilo im Zähler und das Gramm im Nenner wirken in dieselbe Richtung. Kohlenhydrate liefern etwa 17 kJ/g, also \(1{,}7 \cdot 10^{7}\,\mathrm{J/kg}\).

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Aussage 1

Eine Dichte von 1 g/cm³ entspricht 1 kg/m³.

\(1\,\mathrm{g/cm^3}\) entspricht \(1\,\mathrm{kg/L}\) und damit \(10^{3}\,\mathrm{kg/m^3}\), weil \(1\,\mathrm{cm^3} = 10^{-6}\,\mathrm{m^3}\) ist.

Aussage 2

Rechnet man eine Beschleunigung von m/s² in cm/s² um, wird der Zahlenwert mit \(10^{4}\) multipliziert.

Nur die Längeneinheit ändert sich, und 1 m sind 100 cm. Der Zahlenwert wird also mit 100 multipliziert. Das Quadrat wirkt nur bei einer geänderten Zeiteinheit.

Aussage 3

Eine Geschwindigkeit von 15 m/s entspricht 54 km/h.

Von m/s nach km/h multipliziert man mit 3,6: \(15 \cdot 3{,}6 = 54\).

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