Größen und Einheiten

Newton, Pascal und Beschleunigung in Basiseinheiten

Wie man die Einheiten von Beschleunigung, Kraft, Druck und Oberflächenspannung auf kg, m und s zurückführt und Formeln über ihre Einheiten auf Plausibilität prüft.

Prüfungsrelevanz: relevant ✓ gelesen
Das Wichtigste in Kürze5 Punkte
  • Die Dimensionsanalyse prüft einen Ausdruck, indem man nur die Einheiten einsetzt und mit der erwarteten Einheit vergleicht.
  • Die Beschleunigung hat die Einheit \(\mathrm{m \cdot s^{-2}}\), auch die Radialbeschleunigung. \(a \cdot t\) ergibt m/s, \(a \cdot t^2\) ergibt m.
  • Aus \(F = m \cdot a\) folgt \(1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}\). Der Impuls hat dagegen \(\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}\).
  • Aus \(p = F/A\) folgt \(1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}}\).
  • Die Oberflächenspannung ist Kraft pro Länge (N/m) oder gleichwertig Energie pro Fläche (\(\mathrm{J/m^2}\)).

Worum es geht

Beschleunigung, Kraft, Druck und Oberflächenspannung lassen sich in einer Kette auseinander ableiten. Wer diese Kette in Basiseinheiten kennt, erkennt sofort, ob eine Formel stimmen kann. Das hilft beim Rechnen mit Tablettenpressen, Manometern oder Tensidlösungen.

Beschleunigung und Geschwindigkeit

Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit, \(a = \Delta v/\Delta t\). Ihre Einheit ist daher (m/s)/s = \(\mathrm{m \cdot s^{-2}}\). Die Länge steht also linear im Zähler, nur die Zeit ist quadriert. Wie man Einheiten aus solchen Definitionsgleichungen gewinnt, steht bei den abgeleiteten Einheiten.

📖 Definition: Dimensionsanalyse

Bei der Dimensionsanalyse setzt man in einen Ausdruck statt der Zahlen nur die Einheiten ein. Stimmt das Ergebnis nicht mit der erwarteten Einheit überein, ist der Ausdruck falsch. Addieren lassen sich nur Größen gleicher Einheit.

So prüft man kinematische Ausdrücke:

  • \(a \cdot t\): \(\mathrm{m/s^2 \cdot s} = \mathrm{m/s}\), also eine Geschwindigkeit.
  • \(v_0 + a \cdot t\): beide Summanden haben m/s, die Summe ist eine Geschwindigkeit.
  • \(a \cdot t^2\): \(\mathrm{m/s^2 \cdot s^2} = \mathrm{m}\), also eine Länge und keine Geschwindigkeit.

Ein eigenes Beispiel: Ist \(\sqrt{2 a s}\) eine Geschwindigkeit? Einsetzen ergibt \(\sqrt{\mathrm{m/s^2 \cdot m}} = \sqrt{\mathrm{m^2/s^2}} = \mathrm{m/s}\). Die Zahl 2 hat keine Einheit und fällt heraus.

Auch die Radialbeschleunigung \(a_r = v^2/r\) hat die Einheit \(\mathrm{m \cdot s^{-2}}\), denn \((\mathrm{m/s})^2/\mathrm{m} = \mathrm{m/s^2}\). Die Einheit \(\mathrm{rad \cdot s^{-2}}\) gehört dagegen zur Winkelbeschleunigung.

Newton

Kraft ist Masse mal Beschleunigung, \(F = m \cdot a\). Multipliziert man \(\mathrm{m \cdot s^{-2}}\) mit kg, erhält man das Newton:

\[1\,\mathrm{N} = 1\,\frac{\mathrm{kg \cdot m}}{\mathrm{s^2}} = 1\,\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}\]

Der Exponent der Sekunde unterscheidet die Kraft vom Impuls. Der Impuls \(p = m \cdot v\) hat die Einheit \(\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}\), also N·s. Multipliziert man das Newton dagegen mit einem Meter, entsteht N·m. Das ist die Einheit von Energie oder Drehmoment, nicht von Kraft. Mehr dazu bei Joule und Watt.

Pascal

Druck ist Kraft pro Fläche, \(p = F/A\). Seine Einheit ist das Pascal. Man leitet sie in drei Schritten her:

  1. Definitionsgleichung: \([p] = [F]/[A] = \mathrm{N/m^2}\).
  2. Newton einsetzen: \(\mathrm{N/m^2} = \mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}/\mathrm{m^2}\).
  3. Kürzen: Ein Meter kürzt sich, es bleibt \(1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}} = 1\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m \cdot s^2}}\).

Der Meter steht beim Pascal also mit negativem Exponenten. Die Einheit N·m gehört dagegen zu Energie und Drehmoment, denn dort wird mit der Länge multipliziert statt durch die Fläche geteilt. Wie Druck in Flüssigkeiten entsteht, behandelt der Schweredruck.

Oberflächenspannung

Die Oberflächenspannung \(\sigma\) lässt sich auf zwei Arten auffassen. Als Kraft pro Länge ist \(\sigma = F/l\) mit der Einheit N/m. Als Energie pro Fläche ist \(\sigma = \Delta E/\Delta A\) mit der Einheit \(\mathrm{J/m^2}\). Man braucht also Energie, um die Oberfläche zu vergrößern.

Das Bügelmodell verbindet beide Sichtweisen. Die Lamelle zieht mit der Kraft \(F\) am Querdraht der Länge \(l\). Verschiebt man ihn um \(\Delta x\), leistet man die Arbeit \(F \cdot \Delta x\), und die Fläche wächst um \(\Delta A\). Dass die Lamelle zwei Oberflächen hat, ändert nur einen Zahlenfaktor, nicht die Einheit.

Rechteckiger Drahtbügel mit Seifenlamelle, rechts ein verschiebbarer Querdraht, an dem ein Kraftpfeil nach innen zeigt; die beim Verschieben hinzukommende Fläche ist schraffiert.

Bügelmodell: Die Lamelle zieht mit der Kraft \(F\) am Querdraht der Länge \(l\); beim Verschieben wächst die Fläche um \(\Delta A\).

Die Gleichwertigkeit zeigt man über die Basiseinheiten:

\[\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m^2}} = \frac{\mathrm{N \cdot m}}{\mathrm{m^2}} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} = \mathrm{kg \cdot s^{-2}}\]

Kraft pro Fläche wäre dagegen Druck, also Pascal. Energie pro Länge ergibt J/m = N und damit eine Kraft. Auch N·m passt nicht, denn das ist eine Energie.

💡 Merke

Oberflächenspannung: Newton durch Meter. Druck: Newton durch Quadratmeter. Ein Meter im Nenner macht den Unterschied.

Die ganze Kette von der Beschleunigung bis zum Pascal zeigt die folgende Abbildung. Jeder Schritt ist eine Multiplikation oder Division mit einer Basiseinheit.

Flussdiagramm mit Kästchen für Beschleunigung, Kraft, Impuls, Energie, Oberflächenspannung und Druck, verbunden durch Pfeile mit den Operationen mal kg, mal s, mal m, durch m und durch m².

Vom \(\mathrm{m \cdot s^{-2}}\) zum Pascal: Jede Einheit entsteht aus der vorigen durch Multiplizieren oder Dividieren mit einer Basiseinheit.

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Aussage 1

In SI-Basiseinheiten lautet das Pascal \(\mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}}\).

\(\mathrm{N/m^2} = \mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}/\mathrm{m^2}\), ein Meter kürzt sich.

Aussage 2

Der Ausdruck \(v_0 + a \cdot t\) hat die Einheit einer Geschwindigkeit.

\(a \cdot t\) ergibt \(\mathrm{m/s^2 \cdot s} = \mathrm{m/s}\), und \(v_0\) hat ebenfalls m/s.

Aussage 3

Die Oberflächenspannung hat dieselbe Einheit wie der Druck, weil beide eine Kraft auf eine Fläche beziehen.

Kraft pro Fläche ist Druck (\(\mathrm{N/m^2}\)). Die Oberflächenspannung ist Kraft pro Länge (N/m) bzw. Energie pro Fläche (\(\mathrm{J/m^2}\)).

Aussage 4

Die Einheit \(\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}\) entspricht dem Newton.

\(\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}\) ist die Einheit des Impulses. Das Newton entspricht \(\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}\).

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