Physikalische Größe als Zahlenwert mal Einheit
Wie sich jede physikalische Größe aus Zahlenwert und Einheit zusammensetzt und wie sich der Zahlenwert ändert, wenn man die Einheit wechselt.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine physikalische Größe ist eine messbare Eigenschaft und das Produkt aus Zahlenwert und Einheit: \(G = \{G\} \cdot [G]\).
- Das gilt für Basisgrößen wie für abgeleitete Größen.
- Der Quotient \(G/[G]\) ist eine reine Zahl, der Zahlenwert, und selbst keine physikalische Größe.
- Bei gleicher Größe verhalten sich Zahlenwert und Einheit umgekehrt proportional: größere Einheit, kleinerer Zahlenwert.
- Wird die Längeneinheit \(k\)-fach größer, sinkt die Maßzahl einer Fläche um \(k^2\) und die eines Volumens um \(k^3\).
Einordnung
Ob 500 mg Paracetamol, 37 °C Körpertemperatur oder 5 mL Saft: Jede Angabe besteht aus einer Zahl und einer Einheit. Wer diese Zusammensetzung versteht, kann Dosierungen und Messwerte sicher umrechnen und vermeidet Fehler um Zehnerpotenzen.
Was eine physikalische Größe ist
Eine physikalische Größe ist eine messbare Eigenschaft eines Körpers oder Vorgangs, etwa Masse, Länge oder Zeit. Messen heißt vergleichen. Man prüft, wie oft eine festgelegte Vergleichsgröße, die Einheit, in der zu messenden Größe enthalten ist.
Das Ergebnis dieses Vergleichs ist der Zahlenwert, auch Maßzahl genannt. In Größengleichungen schreibt man das Formelzeichen allein für die ganze Größe. Geschweifte Klammern bezeichnen den Zahlenwert, eckige Klammern die Einheit. Für eine Masse \(m = 500\ \mathrm{mg}\) gilt also \(\{m\} = 500\) und \([m] = \mathrm{mg}\).
Zahlenwert und Einheit
Jede messbare Größe ist das Produkt aus Zahlenwert und Einheit. Das gilt für SI-Basisgrößen wie die Länge \(l = 3\ \mathrm{m}\) genauso wie für abgeleitete Größen wie die Geschwindigkeit \(v = 5\ \mathrm{m/s}\). Zahl und Einheit sind multipliziert, nicht durcheinander geteilt.
\[G = \{G\} \cdot [G]\]
\(G\) ist die physikalische Größe, \(\{G\}\) ihr Zahlenwert (reine Zahl), \([G]\) ihre Einheit.
Stellt man die Gleichung um, entsteht der Quotient aus Größe und Einheit. Er ergibt eine reine Zahl, nämlich genau den Zahlenwert:
\[\frac{G}{[G]} = \{G\} \qquad \text{z. B. } \frac{3\ \mathrm{m}}{\mathrm{m}} = 3\]
Die Einheit kürzt sich heraus. Deshalb ist dieser Quotient selbst keine physikalische Größe mehr. Anders als Basisgrößen und abgeleitete Größen trägt er keine Einheit. So beschriftet man auch Tabellenköpfe und Diagrammachsen, etwa mit \(t/\mathrm{s}\): Darunter stehen nur noch Zahlen.
Einheitenwechsel
Die Größe selbst ändert sich nicht, wenn man sie in einer anderen Einheit angibt. Das Produkt \(\{G\} \cdot [G]\) bleibt also konstant. Daraus folgt: Zahlenwert und Einheit verhalten sich umgekehrt proportional. Wird die Einheit um den Faktor \(k\) kleiner, wird der Zahlenwert um den Faktor \(1/k\) größer. Eine größere Einheit liefert einen kleineren Zahlenwert.
Dieselbe Strecke misst 3 m oder 300 cm. Der Zentimeter ist um den Faktor \(1/100\) kleiner als der Meter, also wächst der Zahlenwert auf das Hundertfache. Dieser Wechsel über dezimale Vorsilben funktioniert immer gleich: Man ersetzt die Vorsilbe durch ihre Zehnerpotenz.
Flächen und Volumina
Bei Flächen und Volumina steckt die Längeneinheit im Quadrat bzw. in der dritten Potenz. Eine Fläche hat die Einheit \([l]^2\), ein Volumen \([l]^3\). Der Faktor der Längeneinheit wirkt deshalb mehrfach. So leitet man es ab:
- Einheit ersetzen: Die neue Längeneinheit ist \(k\)-mal so groß wie die alte.
- Potenzieren: Die Flächeneinheit wird \(k^2\)-mal, die Volumeneinheit \(k^3\)-mal so groß.
- Zahlenwert anpassen: Weil das Produkt konstant bleibt, sinkt der Zahlenwert der Fläche um \(k^2\), der des Volumens um \(k^3\).
Bei verzehnfachter Längeneinheit, etwa von cm zu dm, sinkt die Maßzahl einer Fläche also auf ein Hundertstel und die eines Volumens auf ein Tausendstel. Aus 5000 cm³ werden 5 dm³. Bei 100-fach größerer Längeneinheit, von cm zu m, schrumpft die Maßzahl eines Volumens um \(100^3 = 10^6\): 2 000 000 cm³ sind 2 m³.
Die Abbildung zeigt den Grund: Ein Würfel mit 1 dm Kante enthält 10 × 10 × 10 Würfelchen zu 1 cm³. Mehr Übung mit Vorsilben bei Flächen und Volumina folgt unter Flächen- und Volumeneinheiten umrechnen.
Längeneinheit \(k\)-fach größer: Zahlenwert einer Länge durch \(k\), einer Fläche durch \(k^2\), eines Volumens durch \(k^3\).
Quiz
Aussage 1
Wird die Längeneinheit verzehnfacht, sinkt die Maßzahl eines Volumens auf ein Tausendstel.
Die Volumeneinheit enthält die Länge in der dritten Potenz: \(10^3 = 1000\).
Aussage 2
Auch eine abgeleitete Größe wie die Geschwindigkeit lässt sich als Produkt aus Zahlenwert und Einheit schreiben.
Die Darstellung \(G = \{G\} \cdot [G]\) gilt für jede messbare Größe, etwa \(v = 5\ \mathrm{m/s}\).
Aussage 3
Gibt man eine Länge statt in Metern in Millimetern an, wird ihr Zahlenwert tausendmal kleiner.
Der Millimeter ist die kleinere Einheit. Der Zahlenwert wird deshalb tausendmal größer.
Aussage 4
Teilt man eine physikalische Größe durch ihre Einheit, erhält man eine abgeleitete Größe.
Die Einheit kürzt sich heraus. Der Quotient ist eine reine Zahl, der Zahlenwert.
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