Größen und Einheiten

Flächen- und Volumeneinheiten umrechnen

Wie man Flächen- und Volumenangaben umrechnet, indem man den Faktor der Vorsilbe oder der fremden Längeneinheit quadriert bzw. in die dritte Potenz erhebt.

Prüfungsrelevanz: gut zu wissen ✓ gelesen
Das Wichtigste in Kürze5 Punkte
  • Beim Umrechnen von Flächen- und Volumeneinheiten wird der Längenfaktor quadriert bzw. in die dritte Potenz erhoben.
  • \(1\,\mathrm{cm^2} = 10^{-4}\,\mathrm{m^2} = 100\,\mathrm{mm^2}\), denn der Präfixfaktor \(10^{-2}\) wird mitquadriert.
  • \(1\,\mathrm{cm^3} = 10^{-6}\,\mathrm{m^3} = 10^{3}\,\mathrm{mm^3}\); ein Kubikzentimeter enthält \(10^{12}\) Mikrometerwürfel.
  • Zellzahlen erhält man, indem man Gesamtvolumen und Zellvolumen in dieselbe Einheit bringt und teilt.
  • Mit \(1\,\mathrm{inch} = 2{,}54\,\mathrm{cm}\) gilt \(1\,\mathrm{inch^2} = (2{,}54)^2\,\mathrm{cm^2}\) und \(1\,\mathrm{inch^3} = (2{,}54)^3\,\mathrm{cm^3} \approx\) 16,39 cm³.

Worum es geht

Flächen und Volumina tragen Einheiten wie \(\mathrm{mm^2}\) oder \(\mathrm{cm^3}\). Beim Umrechnen geht der Längenfaktor im Quadrat bzw. in der dritten Potenz ein. Das braucht man etwa, um Zellzahlen in einem Volumen abzuschätzen oder Angaben in Zoll ins metrische System zu übertragen.

Präfix mitpotenzieren

Eine Vorsilbe steht für einen Faktor vor der Längeneinheit, etwa c für \(10^{-2}\) (siehe Dezimale Vorsilben). In \(\mathrm{cm^2}\) gilt das Quadrat für das ganze Zeichen cm, nicht nur für m. Deshalb wird der Präfixfaktor mitquadriert: \(1\,\mathrm{cm^2} = (10^{-2}\,\mathrm{m})^2 = 10^{-4}\,\mathrm{m^2}\). Bei Volumina gilt die dritte Potenz: \(1\,\mathrm{cm^3} = (10^{-2}\,\mathrm{m})^3 = 10^{-6}\,\mathrm{m^3}\).

Der Zentimeterwürfel macht das sichtbar. Jede Kante besteht aus 10 mm. Eine Seitenfläche enthält daher 10 · 10 = 100 Millimeterquadrate, das Volumen 10 · 10 · 10 = 1000 Millimeterwürfel.

Würfel mit 1 cm Kante, unterteilt in 10 mal 10 mal 10 Millimeterwürfel, eine Seitenfläche mit 100 Millimeterquadraten hervorgehoben.

Ein Zentimeterwürfel: 10 mm Kante, 100 mm² Seitenfläche, 1000 mm³ Volumen.
Länge Fläche Volumen
\(1\,\mathrm{cm} = 10^{-2}\,\mathrm{m}\) \(1\,\mathrm{cm^2} = 10^{-4}\,\mathrm{m^2}\) \(1\,\mathrm{cm^3} = 10^{-6}\,\mathrm{m^3}\)
\(1\,\mathrm{cm} = 10\,\mathrm{mm}\) \(1\,\mathrm{cm^2} = 100\,\mathrm{mm^2}\) \(1\,\mathrm{cm^3} = 10^{3}\,\mathrm{mm^3}\)
\(1\,\mathrm{cm} = 10^{4}\,\mu\mathrm{m}\) \(1\,\mathrm{cm^2} = 10^{8}\,\mu\mathrm{m^2}\) \(1\,\mathrm{cm^3} = 10^{12}\,\mu\mathrm{m^3}\)

Beim Wechsel von \(\mathrm{mm^2}\) zu \(\mathrm{cm^2}\) ändert sich der Zahlenwert also um den Faktor \(10^{-2}\). Von \(\mathrm{mm^3}\) zu \(\mathrm{cm^3}\) ist es \((10^{-1})^3 = 10^{-3}\), also \(1\,\mathrm{mm^3} = 10^{-3}\,\mathrm{cm^3}\) und \(250\,\mathrm{mm^3} = 0{,}25\,\mathrm{cm^3}\). Die größere Einheit braucht den kleineren Zahlenwert.

💡 Merke

Die Vorsilbe gehört immer mit in die Klammer: \((10^{-2}\,\mathrm{m})^3\) ergibt \(10^{-6}\,\mathrm{m^3}\), nicht \(10^{-2}\,\mathrm{m^3}\).

Rechnen mit Kantenlängen

Für eine Fläche rechnet man jede Kante zuerst in Meter um und multipliziert dann. Ein Rechteck mit 500 nm und 4 µm Kantenlänge hat \(A = 5 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m} \cdot 4 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{m} = 2 \cdot 10^{-12}\,\mathrm{m^2}\).

Ähnlich zählt man würfelförmige Zellen in einem Volumen:

  1. Zellvolumen: Kante 20 µm, also \((20\,\mu\mathrm{m})^3 = 8 \cdot 10^{3}\,\mu\mathrm{m^3}\).
  2. Gesamtvolumen umrechnen: \(1\,\mathrm{mm^3} = (10^{3}\,\mu\mathrm{m})^3 = 10^{9}\,\mu\mathrm{m^3}\).
  3. Teilen: \(10^{9} / (8 \cdot 10^{3}) = 1{,}25 \cdot 10^{5}\) Zellen.

Fremde Längeneinheiten

Dasselbe Prinzip gilt für Längeneinheiten außerhalb des metrischen Systems. Der Zoll ist festgelegt als \(1\,\mathrm{inch} = 2{,}54\,\mathrm{cm}\). Für Flächen quadriert man diesen Faktor, für Volumina erhebt man ihn in die dritte Potenz:

\[1\,\mathrm{inch^2} = (2{,}54)^2\,\mathrm{cm^2} \approx 6{,}45\,\mathrm{cm^2}\]

\[1\,\mathrm{inch^3} = (2{,}54)^3\,\mathrm{cm^3} \approx 16{,}39\,\mathrm{cm^3}\]

Ein Volumen von \(5\,\mathrm{inch^3}\) entspricht also etwa \(5 \cdot 16{,}39\,\mathrm{cm^3} \approx 81{,}9\,\mathrm{cm^3}\). Eine Fläche von \(20\,\mathrm{inch^2}\) sind rund \(129\,\mathrm{cm^2}\). Wer nur einmal mit 2,54 multipliziert, erhält einen viel zu kleinen Wert. Denn jede der drei Kanten eines Zollwürfels ist 2,54 cm lang.

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Aussage 1

Wegen \(1\,\mathrm{inch} = 2{,}54\,\mathrm{cm}\) entspricht ein Kubikzoll rund \(7{,}62\,\mathrm{cm^3}\).

Der Längenfaktor wird nicht verdreifacht, sondern in die dritte Potenz erhoben: \((2{,}54)^3\,\mathrm{cm^3} \approx 16{,}39\,\mathrm{cm^3}\).

Aussage 2

Ein Quadratmeter entspricht \(10^{4}\,\mathrm{cm^2}\).

Da \(1\,\mathrm{cm^2} = (10^{-2}\,\mathrm{m})^2 = 10^{-4}\,\mathrm{m^2}\) ist, passen \(10^{4}\) Quadratzentimeter in einen Quadratmeter.

Aussage 3

In einen Würfel von 1 cm Kantenlänge passen \(10^{6}\) Würfel mit 1 µm Kantenlänge.

1 cm sind \(10^{4}\) µm. In der dritten Potenz ergibt das \(10^{12}\) Mikrometerwürfel.

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