Abgeleitete Größen und Einheiten im SI
Wie aus den sieben SI-Basiseinheiten über Definitionsgleichungen alle übrigen Einheiten entstehen und welche Größen deshalb keine Basisgrößen sind.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine abgeleitete Größe wird über eine Definitions-Größengleichung aus Basisgrößen festgelegt; ihre abgeleitete Einheit ist ein Produkt von Potenzen der Basiseinheiten ohne Zahlenfaktor.
- Kraft, Gewicht, Druck, Energie, Massendichte und Lichtgeschwindigkeit sind abgeleitete Größen, ebenso Ladung, Spannung und elektrische Feldstärke.
- Coulomb, Volt, Joule, Watt und Pascal sind benannte abgeleitete Einheiten, z. B. 1 Pa = 1 \(\mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}}\).
- Das Ampere ist Basiseinheit, das Coulomb abgeleitet: 1 C = 1 A·s, also 1 A = 1 C/s.
- Die Kapazität hat die Einheit Farad (1 F = 1 A·s/V), die Induktivität das Henry (1 H = 1 V·s/A).
- Die Kilokalorie und die Unze sind keine SI-Einheiten, die Stunde ist für Zeitintervalle zulässig.
Worum es geht
Das SI kommt mit sieben Basisgrößen aus. Kraft, Druck, Energie oder Ladung werden daraus über Gleichungen abgeleitet. Wer diese Ableitung beherrscht, ordnet Größen sicher ein und kann Einheiten wie Pascal oder Farad jederzeit auf Basiseinheiten zurückführen. Das braucht man bei jeder Rechnung mit Druck, Energie oder Ladung.
Prinzip der Ableitung
Das SI legt nur sieben Basisgrößen mit ihren Basiseinheiten fest. Alle anderen Größen sind abgeleitete Größen. Man definiert sie über eine Gleichung aus Basisgrößen oder aus bereits abgeleiteten Größen. So ist die Geschwindigkeit der Weg pro Zeit, die Kraft das Produkt aus Masse und Beschleunigung.
Eine Gleichung, die eine neue Größe aus bekannten Größen festlegt, etwa \(v = s/t\) oder \(F = m \cdot a\). Sie bestimmt zugleich, welche Einheit die neue Größe trägt.
Setzt man in diese Gleichung statt der Größen ihre Einheiten ein, entsteht die abgeleitete Einheit. Sie ist immer ein Produkt von Potenzen der Basiseinheiten. Im SI kommt dabei kein Zahlenfaktor hinzu. Man nennt das System deshalb kohärent. Aus \(F = m \cdot a\) folgt:
\[[F] = \mathrm{kg} \cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}} = \mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}} = \mathrm{N}\]
Häufig gebrauchte Kombinationen tragen einen eigenen Namen, meist nach einem Forscher: Newton, Pascal, Joule, Watt, Coulomb, Volt. Das SI kennt 22 solcher benannten abgeleiteten Einheiten. Der Name ist nur eine Abkürzung. Hinter jedem steckt ein Potenzprodukt aus Basiseinheiten, das man über die Kette der Definitionsgleichungen zurückverfolgen kann. Wie man damit Formeln prüft, zeigt Newton, Pascal und Beschleunigung in Basiseinheiten.
Man kann sich das wie einen Stammbaum vorstellen. Aus Meter, Kilogramm und Sekunde entstehen Geschwindigkeit, Beschleunigung und das Newton. Aus dem Newton folgen Pascal und Joule, aus dem Joule das Watt. Mit dem Ampere kommen Coulomb und Volt hinzu, aus diesen wiederum Farad und Henry.
Keine Basisgrößen
Die sieben Basisgrößen sind Länge, Masse, Zeit, elektrische Stromstärke, Temperatur, Stoffmenge und Lichtstärke. Alles andere ist abgeleitet, auch wenn es noch so grundlegend wirkt. Die sichere Prüfung lautet daher: Steht die Größe in dieser Siebenerliste? Wenn nicht, lässt sie sich über eine Definitionsgleichung auf die Liste zurückführen.
| Größe | Definitionsgleichung | Einheit | in Basiseinheiten |
|---|---|---|---|
| Kraft, Gewichtskraft, Coulombkraft | \(F = m \cdot a\) | N | \(\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}\) |
| Druck | \(p = F/A\) | Pa = N/m² | \(\mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}}\) |
| Energie, Arbeit, Wärme | \(W = F \cdot s\) | J = N·m | \(\mathrm{kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}}\) |
| Leistung | \(P = W/t\) | W = J/s | \(\mathrm{kg \cdot m^2 \cdot s^{-3}}\) |
| Massendichte | \(\rho = m/V\) | kg/m³ | \(\mathrm{kg \cdot m^{-3}}\) |
| Geschwindigkeit (auch \(c\)) | \(v = s/t\) | m/s | \(\mathrm{m \cdot s^{-1}}\) |
| Elektrische Ladung | \(Q = I \cdot t\) | C | \(\mathrm{A \cdot s}\) |
| Elektrische Spannung | \(U = W/Q\) | V = J/C | \(\mathrm{kg \cdot m^2 \cdot s^{-3} \cdot A^{-1}}\) |
| Elektrische Feldstärke | \(E = F/Q\) | V/m = N/C | \(\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-3} \cdot A^{-1}}\) |
Drei Einträge verdienen einen zweiten Blick. Das Gewicht ist physikalisch die Gewichtskraft \(G = m \cdot g\) und damit eine Kraft in Newton. Die Coulombkraft zwischen zwei Ladungen ist ebenfalls schlicht eine Kraft. Die Lichtgeschwindigkeit ist eine exakt festgelegte Naturkonstante, über die sogar das Meter definiert ist. Als Geschwindigkeit bleibt sie trotzdem eine abgeleitete Größe mit der Einheit m/s.
Die Masse ist Basisgröße mit der Einheit Kilogramm. Das Gewicht ist die Kraft, mit der diese Masse im Schwerefeld angezogen wird, gemessen in Newton. Zeigt eine Waage ein „Gewicht“ in Gramm an, meint sie eigentlich die Masse.
Examensklassiker: Kraft, Gewicht, Druck, Energie, Dichte, Ladung, Spannung, Feldstärke und Lichtgeschwindigkeit sind abgeleitete Größen. Coulomb, Volt, Joule, Watt und Pascal sind abgeleitete Einheiten. Achte besonders auf das Paar Ampere und Coulomb: Die Stromstärke ist Basisgröße, die Ladung nicht.
Neben den SI-Einheiten begegnen dir Einheiten außerhalb des Systems. Die Kilokalorie misst eine Wärmemenge, also eine Energie. Sie ist weder Basiseinheit noch überhaupt eine SI-Einheit. 1 kcal entspricht rund 4,2 kJ. Auch die Unze gehört nicht zum SI.
Anders steht es mit der Stunde. Sie ist keine SI-Einheit, ist aber für Zeitintervalle zusammen mit dem SI ausdrücklich zulässig, ebenso Minute und Tag. Es gilt 1 h = 3600 s. Umrechnungen weiterer Einheiten zeigt Verbreitete Einheiten außerhalb des SI.
Elektrische Einheiten
In der Elektrizitätslehre ist das Ampere die einzige Basiseinheit. Die Ladung wird daraus über \(Q = I \cdot t\) abgeleitet: Ladung ist Strom mal Zeit. Das liefert die Beziehung in beide Richtungen:
\[1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A \cdot s} \quad \Leftrightarrow \quad 1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C/s}\]
Ein Strom von 1 A heißt also: Pro Sekunde fließt 1 C Ladung durch den Leiterquerschnitt. Fließen 4 mA eine Minute lang, transportieren sie \(Q = 0{,}004\,\mathrm{A} \cdot 60\,\mathrm{s} = 0{,}24\,\mathrm{C}\). Was Strom und Spannung physikalisch bedeuten, erklärt Stromstärke, Stromdichte und Spannung.
Die Spannung ist Energie pro Ladung, \(U = W/Q\). Ihre Einheit ist das Volt, mit 1 V = 1 J/C = 1 W/A. Auf Ampere, Coulomb und Volt bauen zwei weitere Einheiten auf. Ein Kondensator speichert umso mehr Ladung, je höher die Spannung ist: \(C = Q/U\). Daraus folgt das Farad mit 1 F = 1 C/V = 1 A·s/V.
Die Induktivität einer Spule verknüpft die induzierte Spannung mit der Änderungsrate des Stroms: \(|U| = L \cdot \Delta I/\Delta t\). Nach \(L\) umgestellt ergibt sich das Henry mit 1 H = 1 V·s/A. Die Physik von Kondensator und Spule steht unter Kapazität, Plattenkondensator und Feldenergie.
Farad und Henry bestehen aus denselben Bausteinen Ampere, Sekunde und Volt. Nur Ampere und Volt tauschen zwischen Zähler und Nenner die Plätze. Die Abbildung stellt beide nebeneinander.
Die Tabelle ordnet jeder elektrischen Größe ihre Einheit zu. Das Formelzeichen \(C\) der Kapazität ist dabei nicht mit dem Einheitenzeichen C für Coulomb zu verwechseln.
| Größe | Formelzeichen | Einheit | Umrechnung |
|---|---|---|---|
| Stromstärke | \(I\) | A (Basiseinheit) | 1 A = 1 C/s |
| Ladung | \(Q\) | C | 1 C = 1 A·s |
| Spannung | \(U\) | V | 1 V = 1 J/C |
| Kapazität | \(C\) | F | 1 F = 1 A·s/V |
| Induktivität | \(L\) | H | 1 H = 1 V·s/A |
In Coulomb wird nur die Ladung angegeben. Farad ist Ladung pro Spannung, also A·s über V. Henry dreht es um: V·s über A.
Quiz
Aussage 1
Das Pascal lässt sich in SI-Basiseinheiten als \(\mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}}\) schreiben.
Aus \(p = F/A\) folgt N/m² = \(\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-2}}\) geteilt durch m², also \(\mathrm{kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}}\).
Aussage 2
Die Stunde ist keine SI-Einheit, darf aber für Zeitintervalle zusammen mit dem SI verwendet werden.
Stunde, Minute und Tag sind für Zeitangaben zulässig; 1 h = 3600 s.
Aussage 3
Das Henry mit 1 H = 1 V·s/A ist die Einheit der Kapazität.
Das Henry gehört zur Induktivität einer Spule. Die Kapazität wird in Farad (1 F = 1 A·s/V) angegeben.
Aussage 4
Das Coulomb gehört zu den sieben Basiseinheiten des SI.
Basiseinheit ist das Ampere. Das Coulomb ist abgeleitet: 1 C = 1 A·s.
Aussage 5
Das Gewicht eines Körpers ist eine abgeleitete Größe, die in Newton angegeben wird.
Das Gewicht ist die Gewichtskraft \(G = m \cdot g\), also eine Kraft. Basisgröße ist nur die Masse.
Aussage 6
Weil die Lichtgeschwindigkeit exakt festgelegt ist, zählt sie zu den SI-Basisgrößen.
Die Lichtgeschwindigkeit ist eine festgelegte Konstante, bleibt aber als Geschwindigkeit eine abgeleitete Größe mit der Einheit m/s.
Aussage 7
Die Einheit der Kapazität eines Kondensators lässt sich als A·s/V schreiben.
Aus \(C = Q/U\) folgt 1 F = 1 C/V = 1 A·s/V.
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